Египетская фракция

Конечная сумма отдельных дробей

Математический папирус Ринда

Египетская дробь — это конечная сумма различных единичных дробей , таких как То есть каждая дробь в выражении имеет числитель, равный 1, и знаменатель, который является положительным целым числом , и все знаменатели отличаются друг от друга. Значение выражения этого типа — положительное рациональное число ; например, египетская дробь выше дает в сумме . Каждое положительное рациональное число может быть представлено египетской дробью. Суммы этого типа и подобные суммы, также включающие и в качестве слагаемых , использовались в качестве серьезной записи рациональных чисел древними египтянами и продолжали использоваться другими цивилизациями вплоть до средневековья. В современной математической нотации египетские дроби были заменены вульгарными дробями и десятичной записью. Однако египетские дроби продолжают оставаться объектом изучения в современной теории чисел и развлекательной математике , а также в современных исторических исследованиях древней математики . $${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {43}{48}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

Приложения

Помимо своего исторического использования, египетские дроби имеют некоторые практические преимущества по сравнению с другими представлениями дробных чисел. Например, египетские дроби могут помочь в разделении еды или других объектов на равные части. ^[1] Например, если кто-то хочет разделить 5 пицц поровну между 8 обедающими, египетская дробь означает, что каждый обедающий получает половину пиццы плюс еще одну восьмую пиццы, например, разделив 4 пиццы на 8 половин, а оставшуюся пиццу на 8 восьмых. Упражнения по выполнению такого рода справедливого разделения еды являются стандартным примером для класса при обучении студентов работе с единичными дробями. ^[2] $${\displaystyle {\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}$$

Египетские дроби могут предоставить решение головоломок с горением веревок , в которых заданная продолжительность должна быть измерена путем поджигания неоднородных веревок, которые сгорают через единицу времени. Любая рациональная дробь единицы времени может быть измерена путем расширения дроби в сумму единичных дробей, а затем для каждой единичной дроби , сжигая веревку так, чтобы она всегда имела одновременно горящие точки, где она горит. Для этого приложения не обязательно, чтобы единичные дроби отличались друг от друга. Однако это решение может потребовать бесконечного числа шагов повторного зажигания. ^[3] ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x}$

Ранняя история

Египетская система записи дробей была разработана в Среднем царстве Египта . Пять ранних текстов, в которых появляются египетские дроби, — это Египетский математический кожаный свиток , Московский математический папирус , Папирус Рейснера , Папирус Кахуна и Деревянная табличка Ахмима . Более поздний текст, Математический папирус Ринда , представил улучшенные способы записи египетских дробей. Папирус Ринда был написан Ахмесом и датируется Вторым промежуточным периодом ; он включает в себя таблицу египетских дробных расширений для рациональных чисел ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$ , а также 84 словесные задачи . Решения каждой задачи были записаны в стенографии писцов, а окончательные ответы всех 84 задач были выражены в египетской системе записи дробей. Таблицы расширений для , подобные той, что находится в папирусе Ринда, также встречаются в некоторых других текстах. Однако, как показывает Папирус Кахуна , в своих вычислениях писцы также использовали вульгарные дроби . ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$

Обозначение

Для записи дробей, используемых в египетской системе записи дробей, иероглифическим письмом египтяне использовали иероглиф :

( er , "[один] среди" или, возможно, re , рот) над числом, чтобы представить обратную величину этого числа. Аналогично в иератическом письме они рисовали линию над буквой, представляющей число. Например:

У египтян были специальные символы для , , и , которые использовались для уменьшения размера чисел, больших, чем когда такие числа были преобразованы в ряд египетских дробей. Оставшееся число после вычитания одной из этих специальных дробей записывалось как сумма отдельных единичных дробей в соответствии с обычной египетской записью дробей. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Египтяне также использовали альтернативную нотацию, модифицированную из Древнего царства, для обозначения специального набора дробей формы (для ) и сумм этих чисел, которые обязательно являются двоичными рациональными числами. Они были названы «дробь Гора-Глаз» после теории (ныне дискредитированной) ^[4] , что они были основаны на частях символа Глаз Гора . Они использовались в Среднем царстве в сочетании с более поздней нотацией для египетских дробей для подразделения геката , основной древнеегипетской меры объема для зерна, хлеба и других малых количеств объема, как описано в Деревянной табличке Ахмим . Если какой-либо остаток оставался после выражения количества в дробях Ока Гора от геката, остаток записывался с использованием обычной египетской нотации дробей как кратные a ro , единицы, равной геката. ${\displaystyle 1/2^{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots ,6}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{320}}}$

Методы расчета

Современные историки математики изучили папирус Ринда и другие древние источники в попытке обнаружить методы, которые египтяне использовали для вычислений с египетскими дробями. В частности, исследования в этой области были сосредоточены на понимании таблиц расширений для чисел вида в папирусе Ринда. Хотя эти расширения в целом можно описать как алгебраические тождества, методы, используемые египтянами, могут не соответствовать напрямую этим тождествам. Кроме того, расширения в таблице не соответствуют ни одному тождеству; скорее, различные тождества соответствуют расширениям для простых и для составных знаменателей, и более чем одно тождество соответствует числам каждого типа: ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$

• Для малых нечетных простых знаменателей использовалось расширение . ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{(p+1)/2}}+{\frac {1}{p(p+1)/2}}}$$
• Для больших простых знаменателей использовалось расширение вида , где — число со многими делителями (например, практическое число ) между и . Оставшийся член был расширен путем представления числа в виде суммы делителей и формирования дроби для каждого такого делителя в этой сумме. ^[5] Например, расширение Ахмеса соответствует этой схеме с и , как и . Может быть много различных расширений этого типа для заданного ; однако, как заметил К. С. Браун, расширение, выбранное египтянами, часто было тем, которое приводило к тому, что наибольший знаменатель был как можно меньше, среди всех расширений, соответствующих этой схеме. $${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2A-p}{Ap}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (2A-p)/Ap}$ ${\displaystyle 2A-p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {d}{Ap}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{37}}={\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{111}}+{\tfrac {1}{296}}}$ ${\displaystyle A=24}$ ${\displaystyle 2A-p=11=8+3}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{111}}={\tfrac {8}{24\cdot 37}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{296}}={\tfrac {3}{24\cdot 37}}}$ ${\displaystyle p}$
• Для некоторых составных знаменателей, разложенных на , расширение для имеет форму расширения для с каждым знаменателем, умноженным на . Этот метод, по-видимому, использовался для многих составных чисел в папирусе Ринда, ^[6] но есть исключения, в частности , , и . ^[7] ${\displaystyle p\cdot q}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{pq}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{p}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{35}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{91}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{95}}}$
• Можно также расширить Например, Ахмес расширяет . Более поздние писцы использовали более общую форму этого расширения, которая работает, когда кратно . ^[8] $${\displaystyle {\frac {2}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/2}}+{\frac {1}{q(p+q)/2}}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{35}}={\tfrac {2}{5\cdot 7}}={\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{42}}}$ $${\displaystyle {\frac {n}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/n}}+{\frac {1}{q(p+q)/n}},}$$ ${\displaystyle p+q}$ ${\displaystyle n}$
• Конечное (простое) расширение в папирусе Ринда, , не подходит ни к одной из этих форм, но вместо этого использует расширение , которое может быть применено независимо от значения . То есть, . Связанное расширение также использовалось в Египетском математическом кожаном свитке для нескольких случаев. ${\displaystyle {\tfrac {2}{101}}}$ $${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{101}}={\tfrac {1}{101}}+{\tfrac {1}{202}}+{\tfrac {1}{303}}+{\tfrac {1}{606}}}$

Более позднее использование

Египетская система записи дробей продолжала использоваться во времена Греции и в Средние века, ^[9] несмотря на жалобы еще в « Альмагесте » Птолемея на неуклюжесть этой системы записи по сравнению с альтернативами, такими как вавилонская система счисления с основанием 60. Связанные с этим проблемы разложения на единичные дроби также изучались в Индии в IX веке джайнским математиком Махавирой . ^[10] Важный текст средневековой европейской математики, « Liber Abaci» (1202) Леонардо Пизанского (более известного как Фибоначчи), дает некоторое представление об использовании египетских дробей в Средние века и вводит темы, которые продолжают оставаться важными в современном математическом изучении этих рядов.

Основной темой Liber Abaci являются вычисления, включающие десятичную и вульгарную дробь, которая в конечном итоге заменила египетские дроби. Сам Фибоначчи использовал сложную запись для дробей, включающую комбинацию смешанной системы счисления с суммами дробей. Многие вычисления в книге Фибоначчи включают числа, представленные в виде египетских дробей, и один из разделов этой книги ^[11] содержит список методов преобразования вульгарных дробей в египетские дроби. Если число еще не является единичной дробью, первый метод в этом списке — попытаться разбить числитель на сумму делителей знаменателя; это возможно, когда знаменатель является практическим числом , и Liber Abaci включает таблицы расширений этого типа для практических чисел 6, 8, 12, 20, 24, 60 и 100.

Следующие несколько методов включают алгебраические тождества, такие как: Например, Фибоначчи представляет дробь ⁠ $${\displaystyle {\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}.}$$8/11⁠ путем разбиения числителя на сумму двух чисел, каждое из которых делит единицу плюс знаменатель: ⁠8/11⁠ = ⁠6/11⁠ + ⁠2/11⁠ . Фибоначчи применяет алгебраическое тождество выше к каждой из этих двух частей, производя расширение ⁠8/11⁠ = ⁠1/2⁠ + ⁠1/22⁠ + ⁠1/6⁠ + ⁠1/66⁠ . Фибоначчи описывает аналогичные методы для знаменателей, которые на два или три меньше числа со многими множителями.

В редком случае, когда все эти методы терпят неудачу, Фибоначчи предлагает «жадный» алгоритм вычисления египетских дробей, в котором многократно выбирается единичная дробь с наименьшим знаменателем, которая не больше оставшейся дроби, подлежащей разложению: то есть, в более современной записи, мы заменяем дробь ⁠х/у⁠ с помощью расширения , где ⌈ ⌉ представляет собой функцию потолка ; поскольку (− y ) mod x < x , этот метод дает конечное расширение. $${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac {(-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil }},}$$

Фибоначчи предлагает перейти к другому методу после первого такого расширения, но он также приводит примеры, в которых это жадное расширение повторялось до тех пор, пока не было построено полное египетское дробное расширение: ⁠4/13⁠ = ⁠1/4⁠ + ⁠1/18⁠ + ⁠1/468⁠ и ⁠17/29⁠ = ⁠1/2⁠ + ⁠1/12⁠ + ⁠1/348⁠ .

По сравнению с древнеегипетскими расширениями или более современными методами этот метод может производить расширения, которые являются довольно длинными, с большими знаменателями, и сам Фибоначчи отмечал неуклюжесть расширений, полученных этим методом. Например, жадный метод расширяет, в то время как другие методы приводят к более короткому расширению $${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+{\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}},}$$ $${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.}$$

Последовательность Сильвестра 2, 3, 7, 43, 1807, ... можно рассматривать как сгенерированную бесконечным жадным расширением этого типа для числа 1, где на каждом шаге мы выбираем знаменатель ⌊ ⁠у/х⁠ ⌋ + 1 вместо ⌈ ⁠у/х⁠ ⌉ , а иногда жадный алгоритм Фибоначчи приписывают Джеймсу Джозефу Сильвестру .

После описания жадного алгоритма Фибоначчи предлагает еще один метод, расширяющий дробь ⁠а/б⁠ путем поиска числа c, имеющего много делителей, с ⁠б/2⁠ < c < b , заменяя ⁠а/б⁠ от ⁠переменный ток/до нашей эры⁠ и разложение ac в сумму делителей bc , аналогично методу, предложенному Хультшем и Бруинсом для объяснения некоторых разложений в папирусе Ринда.

Современная теория чисел

Хотя египетские дроби больше не используются в большинстве практических приложений математики, современные специалисты по теории чисел продолжают изучать множество различных проблем, связанных с ними. К ним относятся проблемы ограничения длины или максимального знаменателя в представлениях египетских дробей, нахождения расширений определенных специальных форм или таких, в которых все знаменатели являются некоторого специального типа, прекращения различных методов расширения египетских дробей и демонстрация того, что расширения существуют для любого достаточно плотного множества достаточно гладких чисел .

• Одна из самых ранних публикаций Пола Эрдёша доказала, что гармоническая прогрессия не может образовать египетское дробное представление целого числа . Причина в том, что обязательно, по крайней мере, один знаменатель прогрессии будет делиться на простое число , которое не делит никакой другой знаменатель. ^[12] Последняя публикация Эрдёша, почти через 20 лет после его смерти, доказывает, что каждое целое число имеет представление, в котором все знаменатели являются произведениями трёх простых чисел. ^[13]
• Гипотеза Эрдёша –Грэхема в комбинаторной теории чисел утверждает, что если целые числа, большие 1, разбить на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств имеет конечное подмножество самого себя, сумма обратных величин которого равна единице. То есть для каждого r > 0 и каждой r -раскраски целых чисел, больших единицы, существует конечное монохроматическое подмножество S этих целых чисел, такое что Гипотеза была доказана в 2003 году Эрнестом С. Крутом III . $${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.}$$
• Проблема Знама и первичные псевдосовершенные числа тесно связаны с существованием египетских дробей вида Например, первичное псевдосовершенное число 1806 является произведением простых чисел 2, 3, 7 и 43 и дает египетскую дробь 1 = ⁠ $${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.}$$1/2⁠ + ⁠1/3⁠ + ⁠1/7⁠ + ⁠1/43⁠ + ⁠1/1806⁠ .
• Египетские дроби обычно определяются как требующие, чтобы все знаменатели были различны, но это требование может быть смягчено, чтобы разрешить повторяющиеся знаменатели. Однако эта смягченная форма египетских дробей не позволяет представить любое число с использованием меньшего количества дробей, поскольку любое расширение с повторяющимися дробями может быть преобразовано в египетскую дробь равной или меньшей длины путем повторного применения замены, если k нечетно, или просто путем замены ⁠ $${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1)}}}$$1/к⁠ + ⁠1/к⁠ от ⁠2/к⁠ если k четное. Этот результат был впервые доказан Такенучи (1921).
• Грэхем и Джуэтт ^[14] доказали, что аналогичным образом можно преобразовать разложения с повторяющимися знаменателями в (более длинные) египетские дроби с помощью замены. Этот метод может привести к длинным разложениям с большими знаменателями, например, Боттс (1967) первоначально использовал этот метод замены, чтобы показать, что любое рациональное число имеет представление в виде египетских дробей с произвольно большими минимальными знаменателями. $${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k(k+1)}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac {1}{992}}+{\frac {1}{1806}}+{\frac {1}{865\,830}}.}$$
• Любая дробь ⁠х/у⁠ имеет египетское дробное представление, в котором максимальный знаменатель ограничен ^[15] и представление с не более чем членами. ^[16] Количество членов должно быть иногда по крайней мере пропорционально log log y ; например, это верно для дробей в последовательности ⁠ $${\displaystyle O\left(y\log y\left(\log \log y\right)^{4}\left(\log \log \log y\right)^{2}\right),}$$ $${\displaystyle O\left({\sqrt {\log y}}\right)}$$1/2⁠ , ⁠2/3⁠ , ⁠6/7⁠ , ⁠42/43⁠ , ⁠1806/1807⁠ , ... чьи знаменатели образуют последовательность Сильвестра . Было высказано предположение, что O (log log y ) членов всегда достаточно. ^[17] Также возможно найти представления, в которых и максимальный знаменатель, и число членов малы. ^[18]
• Грэхем (1964) охарактеризовал числа, которые могут быть представлены египетскими дробями, в которых все знаменатели являются степенями n . В частности, рациональное число q может быть представлено в виде египетской дроби с квадратными знаменателями тогда и только тогда, когда q лежит в одном из двух полуоткрытых интервалов $${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right).}$$
• Мартин (1999) показал , что любое рациональное число имеет очень плотные разложения, используя постоянную долю знаменателей вплоть до N для любого достаточно большого N.
• Разложение Энгеля , иногда называемое египетским произведением , является формой разложения египетской дроби, в которой каждый знаменатель является кратным предыдущему: Кроме того, последовательность множителей a _i должна быть неубывающей. Каждое рациональное число имеет конечное разложение Энгеля, в то время как иррациональные числа имеют бесконечное разложение Энгеля. $${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .}$$
• Аншель и Голдфельд (1991) изучают числа, имеющие несколько различных представлений египетских дробей с одинаковым числом членов и одинаковым произведением знаменателей; например, один из примеров, который они приводят, это В отличие от древних египтян, они допускают повторение знаменателей в этих расширениях. Они применяют свои результаты для этой проблемы к характеристике свободных произведений абелевых групп с помощью небольшого числа числовых параметров: ранга подгруппы коммутатора , числа членов в свободном произведении и произведения порядков множителей. $${\displaystyle {\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}.}$$
• Число различных n -членных египетских дробей, представляющих число один, ограничено сверху и снизу двойными показательными функциями от n . ^[19]

Открытые проблемы

Несмотря на значительные усилия математиков, некоторые важные проблемы, связанные с египетскими дробями, остаются нерешенными.

• Гипотеза Эрдёша –Штрауса ^[17] касается длины кратчайшего расширения для дроби вида ⁠4/н⁠ . Существует ли расширение для каждого n ? Известно, что оно верно для всех n < 10 ¹⁷ , и для всех, кроме исчезающе малой доли возможных значений n , но общая истинность гипотезы остается неизвестной. $${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$$
• Неизвестно, существует ли нечетное жадное расширение для каждой дроби с нечетным знаменателем. Если жадный метод Фибоначчи модифицировать так, чтобы он всегда выбирал наименьший возможный нечетный знаменатель, при каких условиях этот модифицированный алгоритм даст конечное расширение? Очевидное необходимое условие заключается в том, что начальная дробь ⁠х/у⁠ имеют нечетный знаменатель y , и предполагается, но не известно, что это также достаточное условие. Известно ^[20] , что каждый ⁠х/у⁠ с нечетным y имеет разложение на отдельные нечетные единичные дроби, построенные с использованием метода, отличного от жадного алгоритма.
• Можно использовать алгоритмы поиска методом грубой силы, чтобы найти египетское дробное представление заданного числа с наименьшим количеством возможных членов ^[21] или минимизируя наибольший знаменатель; однако такие алгоритмы могут быть весьма неэффективны. Существование полиномиальных алгоритмов времени для этих задач или, в более общем смысле, вычислительная сложность таких задач остаются неизвестными.

Гай (2004) описывает эти проблемы более подробно и перечисляет многочисленные дополнительные открытые проблемы.

Смотрите также

• Список сумм обратных величин
• 17-головоломка о наследовании животных

Примечания

1. Дик и Огл (2018); Кошалева и Крейнович (2021)
2. Уилсон и др. (2011).
3. Винклер (2004).
4. Риттер (2002). См. также Кац (2007) и Робсон и Стедалл (2009).
5. Хульч (1895); Брюинз (1957)
6. Джиллингс (1982); Гарднер (2002)
7. Кнорр (1982).
8. Евс (1953).
9. Струик (1967).
10. Кусуба (2004).
11. Сиглер (2002), глава II.7
12. Эрдеш (1932); Грэм (2013)
13. Батлер, Эрдеш и Грэм (2015).
14. См. Wagon (1999) и Beeckmans (1993).
15. Йокота (1988).
16. Восе (1985).
17. Erdős (1950).
18. Тененбаум и Йокота (1990).
19. Конягин (2014).
20. Бреуш (1954); Стюарт (1954)
21. Стюарт (1992).

Ссылки

• Аншель, Майкл М.; Голдфельд, Дориан (1991), «Разбиения, египетские дроби и свободные произведения конечных абелевых групп», Труды Американского математического общества , 111 (4): 889–899, doi : 10.1090/S0002-9939-1991-1065083-1 , MR  1065083
• Бекманс, Л. (1993), «Алгоритм разделения египетских дробей», Журнал теории чисел , 43 (2): 173–185, doi : 10.1006/jnth.1993.1015 , MR  1207497
• Боттс, Трумэн (1967), «Процесс цепной реакции в теории чисел», Mathematics Magazine , 40 (2): 55–65, doi :10.2307/2688508, JSTOR  2688508, MR  0209217
• Бреуш, Р. (1954), «Особый случай египетских дробей, решение сложной задачи 4512», American Mathematical Monthly , 61 : 200–201, doi : 10.2307/2307234, JSTOR  2307234
• Брюинз, Эверт М. (1957), «Platon et la table égyptienne 2/ n » [Платон и египетская таблица 2/ n ], Янус (на французском языке), 46 : 253–263.
• Батлер, Стив ; Эрдёш, Пол ; Грэм, Рон (2015), «Египетские дроби, в которых каждый знаменатель имеет три различных простых делителя» (PDF) , Целые числа , 15 : Статья № A51, 9, MR  3437526
• Дик, Лара К.; Огл, Ребекка (сентябрь 2018 г.), «Думай как египтянин», Ohio Journal of School Mathematics , 80 : 1–7
• Эрдеш, П. (1932), «Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása» [Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремы Куршака] (PDF) , Матем. Физ. Лапок (на венгерском языке), 39 : 17–24.
• Эрдеш, Пал (1950), «Az 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n знак равно а б {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_ {2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {a}{b}}} egyenlet egész számú megoldásairól» [О диофантовом уравнении] (PDF) , Matematikai Lapok (на венгерском языке), 1 : 192–210, MR  0043117
• Ивс, Говард (1953), Введение в историю математики , Холт, Рейнхард и Уинстон, ISBN 0-03-029558-0
• Гарднер, Мило (2002), «Египетский математический кожаный свиток, заверенный в краткосрочной и долгосрочной перспективе», в Gratton-Guinness, Ivor (ред.), История математических наук , Hindustan Book Co, стр. 119–134, ISBN 81-85931-45-3
• Гиллингс, Ричард Дж. (1982), Математика во времена фараонов, Дувр, стр. 50, ISBN 978-0-486-24315-3
• Грэм, Р. Л. (1964), «О конечных суммах обратных величин различных n-х степеней» (PDF) , Pacific Journal of Mathematics , 14 (1): 85–92, doi :10.2140/pjm.1964.14.85, MR  0159788, S2CID  2629869
• Грэм, Рональд Л. (2013), «Пол Эрдеш и египетские фракции» (PDF) , столетие Эрдеша , Bolyai Soc. Математика. Студ., вып. 25, Янош Бояи Матем. Soc., Будапешт, стр. 289–309, doi :10.1007/978-3-642-39286-3_9, MR  3203600
• Гай, Ричард К. (2004), «D11. Египетские дроби», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag, стр. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2
• Хультш, Фридрих (1895), «Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung: Erste Anhandlung», Abhandlungen der philologisch-historischen Classe der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Sächsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig Philologisch-Historische Klasse (на немецком языке), 17 (1), Лейпциг: С. Хирцель
• Кац, Виктор Дж. , ред. (2007), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Принстон: Princeton University Press
• Кнорр, Уилбур Р. (1982), «Техники дробей в Древнем Египте и Греции», Historia Mathematica , 9 (2): 133–171, doi :10.1016/0315-0860(82)90001-5, MR  0662138
• Конягин, С.В. (2014), «Двойная экспоненциальная нижняя оценка числа представлений единицы египетскими дробями», Математические заметки , 95 (1–2): 277–281, doi :10.1134/S0001434614010295, MR  3267215, S2CID  121871250
• Кошалева, Ольга; Крейнович, Владик (2021), «Египетские дроби как аппроксиматоры», Математические структуры и моделирование , 1 (57): 46–59
• Кусуба, Таканори (2004), «Индийские правила разложения дробей», в Бернетт, Чарльз; Хогендейк, Ян П .; Плофкер, Ким ; Яно, Мичио (ред.), Исследования по истории точных наук в честь Дэвида Пингри , Исламская философия, теология и наука: текст и исследования, т. 54, Лейден: Brill, стр. 497–516, MR  2054213
• Мартин, Г. (1999), «Плотные египетские дроби», Труды Американского математического общества , 351 (9): 3641–3657, arXiv : math/9804045 , doi :10.1090/S0002-9947-99-02327-2, MR  1608486, S2CID  2591861
• Риттер, Джим (2002), «Закрытие Ока Гора: взлет и падение «фракций Глаза Гора»", в Стил, Дж.; Имхаузен, А. (ред.), Под одним небом: астрономия и математика на древнем Ближнем Востоке , Мюнстер: Ugarit-Verlag, стр. 297–323
• Робсон, Э.; Стедалл , Дж. , ред. (2009), Оксфордский справочник по истории математики , Оксфорд: Oxford University Press
• Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002), Liber Abaci Фибоначчи , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95419-8
• Стюарт, Б. М. (1954), «Суммы различных делителей», American Journal of Mathematics , 76 (4): 779–785, doi :10.2307/2372651, JSTOR  2372651, MR  0064800
• Стюарт, И. (1992), «Загадка исчезающего верблюда», Scientific American , 266 (июнь): 122–124, Bibcode : 1992SciAm.266f.122S, doi : 10.1038/scientificamerican0692-122
• Струик, Дирк Дж. (1967), Краткая история математики , Довер, стр. 20–25, ISBN 0-486-60255-9
• Такенучи, Т. (1921), «О неопределенном уравнении», Труды физико-математического общества Японии , 3-я серия, 3 (6): 78–92, doi :10.11429/ppmsj1919.3.6_78
• Тененбаум, Г.; Йокота, Х. (1990), «Длина и знаменатели египетских дробей», Журнал теории чисел , 35 (2): 150–156, doi : 10.1016/0022-314X(90)90109-5 , MR  1057319
• Восе, М. (1985), "Египетские дроби", Бюллетень Лондонского математического общества , 17 : 21, doi :10.1112/blms/17.1.21, MR  0766441
• Вагон, Стэн (1999), Mathematica в действии , Springer, стр. 321–329, ISBN 0-387-98684-7
• Wilson, P. Holt; Edgington, Cynthia P.; Nguyen, Kenny H.; Pescosolido, Ryan C.; Confrey, Jere (ноябрь 2011 г.), «Дроби: как справедливо делить», Mathematics Teaching in the Middle School , 17 (4): 230–236, doi :10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230, JSTOR  10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230
• Винклер, Питер (2004), «Использование предохранителей», Математические головоломки: Коллекция знатока , AK Peters, стр. 2, 6, ISBN 1-56881-201-9
• Ёкота, Хисаши (1988), «О проблеме Блейхера и Эрдёша», Журнал теории чисел , 30 (2): 198–207, doi : 10.1016/0022-314X(88)90017-0 , MR  0961916

Внешние ссылки

• Браун, Кевин, Дроби египетских единиц.
• Эппштейн, Дэвид , Египетские дроби.
• Нотт, Рон, Египетские дроби.
• Вайсштейн, Эрик В. , «Египетская дробь», MathWorld
• Жиру, Андре, Египетские дробии Зелени, Энрике, Алгоритмы для египетских дробей, Демонстрационный проект Вольфрама , основанный на программах Дэвида Эппштейна .