Таблица хорд Птолемея

Таблица хорд , созданная греческим астрономом, геометром и географом Птолемеем в Египте во II веке нашей эры, является тригонометрической таблицей в Книге I, главе 11 Альмагеста Птолемея ^[1], трактата по математической астрономии . Она по сути эквивалентна таблице значений синусоидальной функции . Это была самая ранняя тригонометрическая таблица, достаточно обширная для многих практических целей, включая астрономические (более ранняя таблица хорд Гиппарха давала хорды только для дуг, кратных ⁠7+1/2⁠ ° = ⁠ $π$ /24⁠ радианы ).^[2] Начиная с VIII и IX веков синус и другие тригонометрические функции использовались в исламской математике и астрономии, реформируя создание таблиц синусов.^{[3] Позднее} Хорезми и Хабаш аль-Хасиб создали набор тригонометрических таблиц.

Функция аккорда и таблица

Хорда окружности — это отрезок прямой, концы которого лежат на окружности. Птолемей использовал окружность, диаметр которой составляет 120 частей. Он составил таблицу длины хорды , концы которой разделены дугой в n градусов, для n в диапазоне от ⁠1/2⁠ до 180 с шагом ⁠1/2⁠ . В современной нотации длина хорды, соответствующей дуге θ градусов, равна

{\begin{aligned}&\operatorname {chord} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ радианы}}\right)\right).\end{aligned}}

При изменении θ от 0 до 180° хорда дуги θ ° изменяется от 0 до 120°. Для крошечных дуг хорда относится к углу дуги в градусах так же, как $π$ относится к 3, или, точнее, отношение можно сделать сколь угодно близким к ⁠ $π$ /3⁠ ≈ 1,047 197 55, сделав θ достаточно малым. Таким образом, для дуги ⁠1/2⁠ ° , длина хорды немного больше угла дуги в градусах. По мере увеличения дуги отношение хорды к дуге уменьшается. Когда дуга достигает 60° , длина хорды в точности равна числу градусов в дуге, т. е. хорда 60° = 60. Для дуг более 60° хорда меньше дуги, пока не будет достигнута дуга в 180°, когда хорда составляет всего 120.

Дробные части длин хорд были выражены в шестидесятеричных (основание 60) числах. Например, если длина хорды, охватываемой дугой в 112°, указана как 99,29,5, то она имеет длину

99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99,4847{\overline {2}},

округлено до ближайшего ⁠1/60 ²⁠ . ^[1]

После столбцов для дуги и хорды третий столбец называется «шестидесятые». Для дуги θ ° запись в столбце «шестидесятые» будет

{\frac {\operatorname {chord} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {chord} \left(\theta ^{\circ }\right)}{30}}.

Это среднее число шестидесятых единицы, которое необходимо добавлять к хорде ( θ °) каждый раз, когда угол увеличивается на одну угловую минуту, между записью для θ ° и записью для ( θ + ⁠1/2⁠ )°. Таким образом, он используется для линейной интерполяции . Гловацкий и Гёттше показали, что Птолемей должен был вычислять хорды до пяти шестидесятых знаков, чтобы достичь степени точности, найденной в столбце «шестидесятых». ^[4]^[5]

{\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{arc}}^{\circ }&{\text{chord}}&&&{\text{sixtieths}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\quad 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\hline \end{array}}

Как Птолемей вычислял хорды

Глава 10 Книги I Альмагеста представляет геометрические теоремы , используемые для вычисления хорд. Птолемей использовал геометрические рассуждения, основанные на Предложении 10 Книги XIII « Начал » Евклида , чтобы найти хорды 72° и 36°. Это Предложение гласит, что если равносторонний пятиугольник вписан в окружность, то площадь квадрата на стороне пятиугольника равна сумме площадей квадратов на сторонах шестиугольника и десятиугольника , вписанных в ту же окружность.

Он использовал теорему Птолемея о четырехугольниках, вписанных в окружность, чтобы вывести формулы для хорды половины дуги, хорды суммы двух дуг и хорды разности двух дуг. Теорема утверждает, что для четырехугольника , вписанного в окружность , произведение длин диагоналей равно сумме произведений двух пар длин противоположных сторон. Выводы тригонометрических тождеств основаны на вписанном четырехугольнике , в котором одна сторона является диаметром окружности.

Чтобы найти хорды дуг 1° и ⁠1/2⁠ ° он использовал приближения, основанные на неравенстве Аристарха . Неравенство утверждает, что для дуг α и β , если 0 < β < α < 90°, то

{\frac {\sin \alpha}{\sin \beta}}<{\frac {\alpha}{\beta}}<{\frac {\tan \alpha}{\tan \beta}}.

Птолемей показал, что для дуг в 1° и ⁠1/2⁠ °, приближения правильно дают первые два шестидесятеричных знака после целой части.

Точность

Джеральд Дж. Тумер в своем переводе Альмагеста приводит семь записей, в которых некоторые рукописи имеют ошибки переписчика, изменяя одну «цифру» (одну букву, см. ниже). Гленн Элерт провел сравнение между значениями Птолемея и истинными значениями (120 раз синус половины угла) и обнаружил, что среднеквадратическая ошибка составляет 0,000136. Но большая часть этого просто из-за округления до ближайшей 1/3600, поскольку это равно 0,0002777... Тем не менее, есть много записей, в которых последняя «цифра» отличается на 1 (слишком высокая или слишком низкая) от наилучшего округленного значения. Значения Птолемея часто завышены на 1 в последнем месте, и тем более в направлении больших углов. Самые большие ошибки составляют около 0,0004, что по-прежнему соответствует ошибке всего в 1 в последней шестидесятеричной цифре. ^[6]

Система счисления и внешний вид непереведенной таблицы

Длины дуг окружности в градусах и целые части длин хорд были выражены в десятичной системе счисления , в которой использовалась 21 буква греческого алфавита со значениями, указанными в следующей таблице, и символ «∠′ » , который означает ⁠1/2⁠ и выпуклый круг "○", заполняющий пустое место (фактически представляющий ноль). Три буквы, помеченные как "архаичные" в таблице ниже, не использовались в греческом языке в течение нескольких столетий до написания Альмагеста , но все еще использовались в качестве цифр и музыкальных нот .

{\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\sigma &\mathrm {sigma} &200\\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&\tau &\mathrm {tau} &300\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&\upsilon &\mathrm {upsilon} &400\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&\varphi &\mathrm {phi} &500\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaic)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&\chi &\mathrm {chi} &600\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&o&\mathrm {omicron} &70&\psi &\mathrm {psi} &700\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&\omega &\mathrm {omega} &800\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaic)} &90&\mathrm {\sampi} &\mathrm {sampi\ (archaic)} &900\\\hline \end{array}}

Так, например, дуга ⁠143+1/2⁠ ° выражается как ρμγ ∠′. (Поскольку таблица охватывает только 180°, греческие цифры для 200 и выше не используются.)

Дробные части длин хорд требовали большой точности и были даны в шестидесятеричной системе счисления в двух столбцах таблицы: Первый столбец дает целое число, кратное ⁠1/60⁠ , в диапазоне 0–59, второе целое число, кратное ⁠1/60 ²⁠ = ⁠1/3600⁠ , также в диапазоне 0–59.

Так, в издании Альмагеста Гейберга с таблицей хорд на страницах 48–63 начало таблицы, соответствующее дугам из ⁠1/2⁠ ° к ⁠7+1/2⁠ °, выглядит так:

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\upsilon }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{‘}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa o\sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}

Далее в таблице можно увидеть десятичную природу чисел, выражающих целые части дуги и длину хорды. Таким образом, дуга в 85° записывается как πε ( π для 80 и ε для 5) и не разбивается на 60 + 25. Соответствующая длина хорды составляет 81 плюс дробная часть. Целая часть начинается с πα , также не разбивается на 60 + 21. Но дробная часть, ⁠4/60⁠ + ⁠15/60 ²⁠ , записывается как δ , для 4, в ⁠1/60⁠ столбец, за которым следует ιε , для 15, в ⁠1/60 ²⁠ колонка.

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\upsilon }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{‘}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa o\sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}

Таблица содержит по 45 строк на каждой из восьми страниц, всего 360 строк.

Смотрите также

Таблица синусов Арьябхаты
Экссекант
«Fundamentum Astronomiae» — книга, излагающая алгоритм точного вычисления синусов, опубликованная в конце XVI века.
греческая математика
Таблица синусов Мадхавы
Птолемей
Гамма аккордов
Версин

Ссылки

^ ab Toomer, GJ (1998), Альмагест Птолемея , Princeton University Press , ISBN 0-691-00260-6
↑ Терстон, стр. 235–236.
^ Берггрен, JL (2016). Эпизоды математики средневекового ислама. дои : 10.1007/978-1-4939-3780-6. ISBN 978-1-4939-3778-3.
↑ Перевод Альмаагеста Тумера, 1984, сноска 68, страницы 57-59.
^ Эрнст Гловацкий и Гельмут Гетче, Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios. Nach den historischen Formelplanen neuberechnet. , Мюнхен, 1976.
^ Гленн Элерт. «Таблица хорд Птолемея: тригонометрия во втором веке: насколько точна таблица хорд?». E-World . Hypertextbook.com.Элерт утверждает, что «таблица точна до трех знаков после запятой — а не до пяти или шести, как я указал в основной части статьи», но на самом деле «пять или шесть» знаков после запятой (после запятой) были точны для, что в 120 раз меньше. $\sin(\theta /2)$

Аабо, Асгер (1997), Эпизоды из ранней истории математики , Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-613-0
Клэгетт, Маршалл (2002), Греческая наука в античности , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-8369-2150-2
Нойгебауэр, Отто (1975), История древней математической астрономии , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-06995-1
Олаф Педерсен (1974) Обзор Альмагеста , Издательство Университета Оденсе ISBN 87-7492-087-1
Терстон, Хью (1996), Ранняя астрономия , Springer, ISBN 978-0-387-94822-5

Внешние ссылки

Дж. Л. Гейберг Альмагест, Таблица хорд на стр. 48–63.
Гленн Элерт Таблица хорд Птолемея: тригонометрия во втором веке
Альмагест на греческом и французском языках в интернет-архиве.