В геометрии точка Лемуана , точка Гребе или точка симмедианы — это пересечение трех симмедиан ( медиан , отраженных в соответствующих биссектрисах угла ) треугольника.
Росс Хонсбергер назвал его существование «одной из жемчужин современной геометрии». [1]
В Энциклопедии центров треугольников симмедианная точка указана как шестая точка X (6). [2] Для неравностороннего треугольника он лежит в открытом ортоцентроидальном диске, проколотом в своем центре, и может быть любой точкой в нем. [3]
Симмедиана треугольника с длинами сторон a , b и c имеет однородные трилинейные координаты [ a : b : c ] . [2]
Алгебраический способ найти точку симмедианы состоит в том, чтобы выразить треугольник тремя линейными уравнениями с двумя неизвестными, заданными нормальными формами Гессе соответствующих прямых. Решение этой переопределенной системы , найденное методом наименьших квадратов, дает координаты точки. Также решается задача оптимизации по поиску точки с минимальной суммой квадратов расстояний от сторон. Точка Жергонна треугольника совпадает с симмедианой точкой контактного треугольника . [4]
Симмедиану треугольника ABC можно построить следующим образом: пусть касательные описанной окружности ABC, проходящей через B и C , встречаются в точке A' и аналогично определяют B' и C' ; тогда A'B'C' — касательный треугольник к ABC , а прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в симмедианной точке ABC . [a] Можно показать, что эти три прямые пересекаются в одной точке, используя теорему Брианшона . Линия AA' является симмедианой, в чем можно убедиться, проведя круг с центром A ' через B и C. [ нужна цитата ]
Французский математик Эмиль Лемуан доказал существование симмедианной точки в 1873 году, а Эрнст Вильгельм Гребе опубликовал о ней статью в 1847 году. Симон Антуан Жан Л'Юилье также отметил эту точку в 1809 году. [1]
Для расширения до неправильного тетраэдра см. симмедиану .