Симметризация

В математике симметризация — это процесс, который преобразует любую функцию от переменных в симметричную функцию от переменных. Аналогично, антисимметризация преобразует любую функцию от переменных в антисимметричную функцию. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Две переменные

Пусть будет множеством и будет аддитивной абелевой группой . Отображение называется ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$Симметричное отображение, если оно называется $${\displaystyle \alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad {\text{ for all }}s,t\in S.}$$антисимметричная карта, если вместо этого $${\displaystyle \alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad {\text{ for all }}s,t\in S.}$$

TheСимметризация карты— это карта Аналогично, ${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x).}$антисимметризация иликососимметричная карта— это карта ${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x).}$

Сумма симметризации и антисимметризации отображения равна Таким образом, вдали от 2 , то есть если 2 обратимо , например, для действительных чисел , то можно разделить на 2 и выразить каждую функцию как сумму симметричной функции и антисимметричной функции. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 2\alpha .}$

Симметризация симметричного отображения является его двойником, тогда как симметризация знакопеременного отображения равна нулю; аналогично, антисимметризация симметричного отображения равна нулю, тогда как антисимметризация антисимметричного отображения является его двойником.

Билинейные формы

Симметризация и антисимметризация билинейного отображения являются билинейными; таким образом, вдали от 2 каждая билинейная форма является суммой симметричной формы и кососимметричной формы, и нет никакой разницы между симметричной формой и квадратичной формой.

В 2 не каждая форма может быть разложена на симметричную форму и кососимметричную форму. Например, над целыми числами соответствующая симметричная форма (над рациональными числами ) может принимать полуцелые значения, тогда как над функцией кососимметрична тогда и только тогда, когда она симметрична (как ). ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle 1=-1}$

Это приводит к понятию ε-квадратичных форм и ε-симметричных форм.

Теория представления

С точки зрения теории представлений :

• перестановка переменных дает представление симметрической группы на пространстве функций от двух переменных,
• симметричные и антисимметричные функции являются подпредставлениями, соответствующими тривиальному представлению и знаковому представлению, и
• Симметризация и антисимметризация отображают функцию в эти подпредставления – если разделить на 2, то получаются проекционные отображения .

Поскольку симметрическая группа второго порядка равна циклической группе второго порядка ( ), это соответствует дискретному преобразованию Фурье второго порядка. ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}=\mathrm {C} _{2}}$

нпеременные

В более общем случае, если задана функция переменных, можно выполнить симметризацию, взяв сумму по всем перестановкам переменных ^[1], или антисимметризировать, взяв сумму по всем четным перестановкам и вычтя сумму по всем нечетным перестановкам (за исключением случая, когда единственная перестановка четная). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n!/2}$ ${\displaystyle n!/2}$ ${\displaystyle n\leq 1,}$

Здесь симметризация симметричной функции умножается на – таким образом, если является обратимой, например, при работе над полем характеристики или тогда эти проекции при делении на дают ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p>n,}$ ${\displaystyle n!.}$

С точки зрения теории представлений они дают только подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому представлению, но существуют и другие — см. теорию представлений симметрической группы и симметрических многочленов . ${\displaystyle n>2}$

Самонастройка

Если задана функция от переменных, можно получить симметричную функцию от переменных, взяв сумму по -элементным подмножествам переменных. В статистике это называется бутстрапингом , а связанная статистика называется U-статистикой . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Смотрите также

• Альтернативное мультилинейное отображение  – мультилинейное отображение, которое равно 0, когда аргументы линейно зависимы.
• Антисимметричный тензор  – тензор, равный отрицательной величине любой из своих транспозиций.

Примечания

1. Хазевинкель (1990), стр. 344

Ссылки

• Хазевинкель, Михиль (1990). Энциклопедия математики: обновленный и аннотированный перевод советской «Математической энциклопедии». Т. 6. Springer. ISBN 978-1-55608-005-0.