Симметрия в математике

Корневая система исключительной группы Ли E 8. Группы Ли обладают множеством симметрий.

Симметрия встречается не только в геометрии , но и в других разделах математики. Симметрия — это тип инвариантности : свойство, при котором математический объект остается неизменным при ряде операций или преобразований . ^[1]

Для структурированного объекта X любого вида симметрия — это отображение объекта на себя, которое сохраняет структуру. Это может происходить многими способами; например, если X — это множество без дополнительной структуры, симметрия — это биективное отображение множества на себя, что приводит к появлению групп перестановок . Если объект X — это множество точек на плоскости со своей метрической структурой или любое другое метрическое пространство , симметрия — это биекция множества на себя, которая сохраняет расстояние между каждой парой точек (т. е. изометрия ).

В общем, каждый вид структуры в математике будет иметь свой собственный вид симметрии, многие из которых перечислены в приведенных выше пунктах.

Симметрия в геометрии

Типы симметрии, рассматриваемые в базовой геометрии, включают отражательную симметрию , вращательную симметрию , трансляционную симметрию и симметрию скользящего отражения , которые более подробно описаны в основной статье Симметрия (геометрия) .

Симметрия в исчислении

Чётные и нечётные функции

Чётные функции

ƒ ( x ) = x ² — пример четной функции. ^[2]

Пусть f ( x ) — действительная функция действительной переменной, тогда f четна , если для всех x и -x в области определения f выполняется следующее уравнение :

${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

Геометрически говоря, грань графика четной функции симметрична относительно оси y , что означает, что ее график остается неизменным после отражения относительно оси y . Примерами четных функций являются | x | , x ² , x ⁴ , cos ( x ) и cosh ( x ).

Нечетные функции

ƒ ( x ) = x ³ — пример нечетной функции.

Опять же, пусть f будет действительной -функцией действительной переменной, тогда f нечетна , если следующее уравнение выполняется для всех x и -x в области определения f :

${\displaystyle -f(x)=f(-x)}$

То есть,

${\displaystyle f(x)+f(-x)=0\,.}$

Геометрически график нечетной функции имеет вращательную симметрию относительно начала координат , что означает, что ее график остается неизменным после поворота на 180 градусов вокруг начала координат. Примерами нечетных функций являются x , x3 , sin ( x ), sinh ( x ) и ^erf ( x ) .

Интеграция

Интеграл нечетной функции от − A до + A равен нулю, при условии, что A конечно и что функция интегрируема (например, не имеет вертикальных асимптот между − A и A ). ^[3]

Интеграл четной функции от − A до + A равен удвоенному интегралу от 0 до + A при условии, что A конечно, а функция интегрируема (например, не имеет вертикальных асимптот между − A и A ). ^[3] Это также справедливо, когда A бесконечно, но только если интеграл сходится.

Ряд

• Ряд Маклорена четной функции включает только четные степени.
• Ряд Маклорена нечетной функции включает только нечетные степени.
• Ряд Фурье периодической четной функции включает только косинусные члены.
• Ряд Фурье периодической нечетной функции включает только синусоидальные члены.

Симметрия в линейной алгебре

Симметрия в матрицах

В линейной алгебре симметричная матрица — это квадратная матрица , которая равна своей транспонированной матрице (т.е. она инвариантна относительно транспонирования матриц). Формально матрица A симметрична, если

${\displaystyle A=A^{T}.}$

По определению равенства матриц, которое требует, чтобы элементы во всех соответствующих позициях были равны, равные матрицы должны иметь одинаковые размеры (поскольку матрицы разных размеров или форм не могут быть равны). Следовательно, только квадратные матрицы могут быть симметричными.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали . Поэтому, если элементы записать как A = ( a _ij ), то a _ij = a _ji , для всех индексов i и j .

Например, следующая матрица 3×3 является симметричной:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}}$

Каждая квадратная диагональная матрица симметрична, поскольку все недиагональные элементы равны нулю. Аналогично, каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, поскольку каждый является своим собственным отрицательным значением.

В линейной алгебре действительная симметричная матрица представляет собой самосопряженный оператор над действительным внутренним пространством произведения . Соответствующим объектом для комплексного внутреннего пространства произведения является эрмитова матрица с комплекснозначными элементами, которая равна ее сопряженной транспонированной матрице . Поэтому в линейной алгебре над комплексными числами часто предполагается, что симметричная матрица относится к той, которая имеет действительные элементы. Симметричные матрицы естественным образом появляются в различных приложениях, и типичное программное обеспечение числовой линейной алгебры делает для них специальные приспособления.

Симметрия в абстрактной алгебре

Симметричные группы

Симметрическая группа S _n (на конечном наборе из n символов) — это группа , элементами которой являются все перестановки n символов , а групповая операция — это композиция таких перестановок, которые рассматриваются как биективные функции от набора символов к себе. ^[4] Поскольку существует n ! ( n факториал ) возможных перестановок набора из n символов, то отсюда следует, что порядок (т. е. число элементов) симметрической группы S _n равен n !.

Симметричные многочлены

Симметричный многочлен — это многочлен P ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) от n переменных, такой, что если поменять местами любые переменные, то получится тот же самый многочлен. Формально, P является симметричным многочленом , если для любой перестановки σ индексов 1, 2, ..., n выполняется соотношение P ( X _σ(1) , X _σ(2) , ..., X _{σ( n )} ) =  P ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ).

Симметричные многочлены естественным образом возникают при изучении связи между корнями многочлена от одной переменной и его коэффициентами, поскольку коэффициенты могут быть заданы полиномиальными выражениями в корнях, и все корни играют одинаковую роль в этой установке. С этой точки зрения элементарные симметричные многочлены являются наиболее фундаментальными симметричными многочленами. Теорема утверждает, что любой симметричный многочлен может быть выражен через элементарные симметричные многочлены, что подразумевает, что каждое симметричное полиномиальное выражение в корнях монического многочлена может быть альтернативно задано как полиномиальное выражение в коэффициентах многочлена.

Примеры

В двух переменных X ₁ и X ₂ имеются симметричные многочлены, такие как:

• ${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$
• ${\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}$

и в трех переменных X ₁ , X ₂ и X ₃ имеем как симметричный многочлен:

• ${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}\,}$

Симметричные тензоры

В математике симметричный тензор — это тензор , который инвариантен относительно перестановки своих векторных аргументов:

${\displaystyle T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})}$

для каждой перестановки σ символов {1,2,..., r }. В качестве альтернативы, симметричный тензор r ^-го порядка, представленный в координатах как величина с r индексами, удовлетворяет

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.}$

Пространство симметричных тензоров ранга r на конечномерном векторном пространстве естественно изоморфно двойственному пространству однородных полиномов степени r на V . Над полями нулевой характеристики градуированное векторное пространство всех симметричных тензоров может быть естественным образом отождествлено с симметричной алгеброй на V . Связанное понятие — это понятие антисимметричного тензора или знакопеременной формы . Симметричные тензоры широко встречаются в технике , физике и математике .

теория Галуа

Если задан полином, то может оказаться, что некоторые из корней связаны различными алгебраическими уравнениями . Например, может оказаться, что для двух корней, скажем, A и B , A ² + 5 B ³ = 7 . Центральная идея теории Галуа заключается в рассмотрении тех перестановок (или перестановок) корней, которые обладают тем свойством, что любое алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют корни, по-прежнему удовлетворяется после перестановки корней. Важное условие заключается в том, что мы ограничиваемся алгебраическими уравнениями, коэффициенты которых являются рациональными числами . Таким образом, теория Галуа изучает симметрии, присущие алгебраическим уравнениям.

Автоморфизмы алгебраических объектов

В абстрактной алгебре автоморфизм — это изоморфизм математического объекта на себя. Это, в некотором смысле, симметрия объекта и способ отображения объекта на себя с сохранением всей его структуры. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу , называемую группой автоморфизмов . Это, грубо говоря, группа симметрии объекта.

Примеры

• В теории множеств произвольная перестановка элементов множества X является автоморфизмом. Группа автоморфизмов множества X также называется симметрической группой на X.
• В элементарной арифметике множество целых чисел Z , рассматриваемое как группа по сложению, имеет единственный нетривиальный автоморфизм: отрицание. Однако, рассматриваемое как кольцо , оно имеет только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, отрицание является автоморфизмом любой абелевой группы , но не кольца или поля.
• Групповой автоморфизм — это групповой изоморфизм группы на себя. Неформально, это перестановка элементов группы, при которой структура остается неизменной. Для каждой группы G существует естественный групповой гомоморфизм G → Aut( G ), образом которого является группа Inn( G ) внутренних автоморфизмов , а ядром — центр G . Таким образом, если G имеет тривиальный центр, то его можно вложить в его собственную группу автоморфизмов. ^[5]
• В линейной алгебре эндоморфизм векторного пространства V — это линейный оператор V → V. Автоморфизм — это обратимый линейный оператор на V. Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов V совпадает с общей линейной группой GL( V ).
• Автоморфизм поля — это биективный кольцевой гомоморфизм из поля в себя. В случаях рациональных чисел ( Q ) и действительных чисел ( R ) не существует нетривиальных автоморфизмов поля. Некоторые подполя R имеют нетривиальные автоморфизмы поля, которые, однако, не распространяются на все R (потому что они не могут сохранить свойство числа, имеющего квадратный корень в R ). В случае комплексных чисел , C , существует единственный нетривиальный автоморфизм, который переводит R в R : комплексное сопряжение , но существует бесконечно ( несчетно ) много «диких» автоморфизмов (предполагая аксиому выбора ). ^[6] Автоморфизмы поля важны для теории расширений полей , в частности расширений Галуа . В случае расширения Галуа L / K подгруппа всех автоморфизмов L, фиксирующих K поточечно , называется группой Галуа расширения.

Симметрия в теории представлений

Симметрия в квантовой механике: бозоны и фермионы

В квантовой механике бозоны имеют представителей, симметричных относительно операторов перестановки, а фермионы имеют антисимметричных представителей.

Это подразумевает принцип исключения Паули для фермионов. Фактически, принцип исключения Паули с однозначной многочастичной волновой функцией эквивалентен требованию, чтобы волновая функция была антисимметричной. Антисимметричное двухчастичное состояние представляется в виде суммы состояний , в которых одна частица находится в состоянии , а другая в состоянии : ${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle }$ ${\displaystyle \scriptstyle |y\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle }$

и антисимметрия при обмене означает, что A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Это подразумевает, что A ( x , x ) = 0 , что является исключением Паули. Это верно в любом базисе, поскольку унитарные изменения базиса сохраняют антисимметричные матрицы антисимметричными, хотя, строго говоря, величина A ( x , y ) является не матрицей, а антисимметричным тензором ранга два .

Наоборот, если диагональные величины A ( x , x ) равны нулю в каждом базисе , то компонент волновой функции:

${\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )}$

обязательно антисимметрично. Чтобы доказать это, рассмотрим матричный элемент:

${\displaystyle \langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))\,}$

Это ноль, потому что обе частицы имеют нулевую вероятность находиться в состоянии суперпозиции . Но это равно ${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle +|y\rangle }$

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle \,}$

Первый и последний члены в правой части являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновой функции подчиняются:

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0\,}$.

или

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x)\,}$

Симметрия в теории множеств

Симметричное отношение

Мы называем отношение симметричным, если каждый раз, когда отношение переходит из A в B, оно переходит и из B в A. Обратите внимание, что симметрия не является полной противоположностью антисимметрии .

Симметрия в метрических пространствах

Изометрии пространства

Изометрия — это сохраняющее расстояние отображение между метрическими пространствами . При наличии метрического пространства или множества и схемы для назначения расстояний между элементами множества изометрия — это преобразование, которое отображает элементы в другое метрическое пространство таким образом, что расстояние между элементами в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двумерном или трехмерном пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны, если они связаны изометрией: связаны либо  жестким движением , либо  композицией жесткого движения и  отражения . С точностью до отношения жестким движением они равны, если связаны прямой изометрией .

Изометрии использовались для унификации рабочего определения симметрии в геометрии, а также для функций, распределений вероятностей, матриц, строк, графов и т. д. ^[7]

Симметрии дифференциальных уравнений

Симметрия дифференциального уравнения — это преобразование, которое оставляет дифференциальное уравнение инвариантным. Знание таких симметрий может помочь решить дифференциальное уравнение.

Симметрия линии системы дифференциальных уравнений — это непрерывная симметрия системы дифференциальных уравнений. Знание симметрии линии может быть использовано для упрощения обыкновенного дифференциального уравнения путем понижения порядка . ^[8]

Для обыкновенных дифференциальных уравнений знание соответствующего набора симметрий Ли позволяет явно вычислить набор первых интегралов, получая полное решение без интегрирования.

Симметрии можно найти, решив связанный набор обыкновенных дифференциальных уравнений. ^[8] Решение этих уравнений часто намного проще, чем решение исходных дифференциальных уравнений.

Симметрия в вероятности

В случае конечного числа возможных результатов симметрия относительно перестановок (перемаркировок) подразумевает дискретное равномерное распределение .

В случае реального интервала возможных результатов симметрия относительно чередования подинтервалов одинаковой длины соответствует непрерывному равномерному распределению .

В других случаях, таких как «взятие случайного целого числа» или «взятие случайного действительного числа», не существует распределений вероятностей, симметричных относительно перемаркировки или обмена одинаково длинных подынтервалов. Другие разумные симметрии не выделяют одно конкретное распределение, или, другими словами, не существует уникального распределения вероятностей, обеспечивающего максимальную симметрию.

Существует один тип изометрии в одном измерении , который может оставить распределение вероятностей неизменным, а именно отражение относительно точки, например, нуля.

Возможная симметрия для случайности с положительными результатами заключается в том, что первая применяется к логарифму, т. е. результат и его обратная величина имеют одинаковое распределение. Однако эта симметрия не выделяет какое-либо конкретное распределение уникально.

Для «случайной точки» на плоскости или в пространстве можно выбрать начало координат и рассмотреть распределение вероятностей с круговой или сферической симметрией соответственно.

Смотрите также

• Использование симметрии при интегрировании
• Инвариантность (математика)

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Invariant". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-06 .
2. "Математика за минуту: Симметрия". plus.maths.org . 2016-06-23 . Получено 2019-12-06 .
3. Weisstein, Eric W. "Нечетная функция". mathworld.wolfram.com . Получено 06.12.2019 .
4. Якобсон (2009), стр. 31.
5. PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Автоморфизмы". Математические основы вычислительной техники (перевод Феликса Паля). Springer. стр. 376. ISBN 3-540-67995-2.
6. Йель, Пол Б. (май 1966). «Автоморфизмы комплексных чисел» (PDF) . Mathematics Magazine . 39 (3): 135–141. doi :10.2307/2689301. JSTOR  2689301.
7. Петижан, Мишель (2007). «Определение симметрии». Симметрия: Культура и наука . 18 (2–3): 99–119. Zbl  1274.58003.
8. Olver, Peter J. (1986). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95000-6.

Библиография

• Вейль, Герман (1989) [1952]. Симметрия . Научная библиотека Принстона. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3.
• Ронан, Марк (2006). Симметрия и монстр . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-280723-6.(Краткое введение для неспециалистов)
• du Sautoy, Marcus (2012). Finding Moonshine: A Mathematician's Journey Through Symmetry. Harper Collins. ISBN 978-0-00-738087-9.