Математические таблицы представляют собой списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами. Тригонометрические таблицы использовались в древней Греции и Индии для приложений в астрономии и небесной навигации и продолжали широко использоваться до тех пор, пока электронные калькуляторы не стали дешевыми и многочисленными, чтобы упростить и значительно ускорить вычисления . Таблицы логарифмов и тригонометрических функций были распространены в учебниках математики и естественных наук, а для многочисленных приложений публиковались специализированные таблицы.
Известно, что первые таблицы тригонометрических функций были составлены Гиппархом (около 190–120 гг. До н.э.) и Менелаем (около 70–140 гг. н.э.), но обе они были утеряны. Наряду с сохранившейся таблицей Птолемея (ок. 90 – ок. 168 н. э.), все они представляли собой таблицы хорд, а не полухорд, то есть функции синуса . [1] Таблица , созданная индийским математиком Арьябхатой (476–550 гг. н.э.), считается первой когда-либо построенной таблицей синуса. [1] Таблица Арьябхаты оставалась стандартной таблицей синуса древней Индии. Постоянно предпринимались попытки улучшить точность этой таблицы, кульминацией которых стало открытие Мадхавой из Сангамаграмы (ок. 1350 – ок. 1425) разложения в степенной ряд функций синуса и косинуса , а также составление таблицы таблицы синуса Мадхавой. со значениями с точностью до семи или восьми десятичных знаков.
Таблицы десятичных логарифмов использовались до изобретения компьютеров и электронных калькуляторов для быстрого умножения, деления и возведения в степень, включая извлечение корней n- й степени.
Механические компьютеры специального назначения, известные как разностные машины, были предложены в 19 веке для табулирования полиномиальных аппроксимаций логарифмических функций, то есть для вычисления больших логарифмических таблиц. Это было вызвано главным образом ошибками в логарифмических таблицах, созданных человеческими компьютерами того времени. Первые цифровые компьютеры были разработаны во время Второй мировой войны частично для создания специализированных математических таблиц для прицеливания артиллерии . С 1972 года, с появлением и ростом использования научных калькуляторов , большинство математических таблиц вышли из употребления.
Одной из последних крупных попыток создания таких таблиц был проект «Математические таблицы» , который был начат в Соединенных Штатах в 1938 году как проект Управления прогресса работ (WPA), в котором 450 безработных клерков работали над составлением таблиц высших математических функций. Это продолжалось всю Вторую мировую войну. [ нужна цитата ]
Таблицы специальных функций используются до сих пор. Например, использование таблиц значений кумулятивной функции распределения нормального распределения – так называемых стандартных нормальных таблиц – сегодня остается обычным явлением, особенно в школах, хотя использование научных и графических калькуляторов делает такие таблицы излишними.
Создание таблиц, хранящихся в оперативной памяти , является распространенным методом оптимизации кода в компьютерном программировании, где использование таких таблиц ускоряет вычисления в тех случаях, когда поиск в таблице выполняется быстрее, чем соответствующие вычисления (особенно если рассматриваемый компьютер не имеют аппаратную реализацию вычислений). По сути, мы обмениваем скорость вычислений на объём памяти компьютера , необходимый для хранения таблиц.
Таблицы, содержащие десятичные логарифмы (по основанию 10), широко использовались в вычислениях до появления электронных калькуляторов и компьютеров, поскольку логарифмы превращают задачи умножения и деления в гораздо более простые задачи сложения и вычитания. Логарифмы с основанием 10 обладают дополнительным свойством, которое является уникальным и полезным: все десятичные логарифмы чисел, больших единицы, которые отличаются только в десятикратной степени, имеют одну и ту же дробную часть, известную как мантисса . Таблицы десятичных логарифмов обычно включали только мантиссы ; целая часть логарифма, известная как характеристика , может быть легко определена путем подсчета цифр исходного числа. Подобный принцип позволяет быстро вычислять логарифмы положительных чисел меньше 1. Таким образом, единую таблицу десятичных логарифмов можно использовать для всего диапазона положительных десятичных чисел. [2] Подробную информацию об использовании характеристик и мантисс см. в разделе «Дискретный логарифм» .
В 1544 году Майкл Стифел опубликовал «Арифметику интеграру» , содержащую таблицу целых чисел и степеней двойки, которая считалась ранней версией логарифмической таблицы. [3] [4] [5]
Метод логарифмов был публично предложен Джоном Нэпьером в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( «Описание чудесного правила логарифмов »). [6] Книга содержала пятьдесят семь страниц пояснительного материала и девяносто страниц таблиц, связанных с натуральными логарифмами . Английский математик Генри Бриггс посетил Нейпира в 1615 году и предложил изменить масштаб логарифмов Нейпира , чтобы сформировать то, что сейчас известно как общие логарифмы или логарифмы с основанием 10. Нэпьер поручил Бриггсу вычисление исправленной таблицы. В 1617 году они опубликовали Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в которой было дано краткое описание логарифмов и таблица для первых 1000 целых чисел, рассчитанных до 14-го десятичного знака.
Вычислительный прогресс, доступный благодаря десятичным логарифмам, обратным степенным числам или экспоненциальному представлению , был таков, что делал вычисления вручную намного быстрее.
Тригонометрические расчеты сыграли важную роль в раннем изучении астрономии. Ранние таблицы были построены путем многократного применения тригонометрических тождеств (таких как тождества половинного угла и суммы углов) для вычисления новых значений на основе старых.
Чтобы вычислить синусоидальную функцию 75 градусов, 9 минут, 50 секунд, используя таблицу тригонометрических функций, такую как таблица Бернеггера 1619 года, показанная выше, можно просто округлить до 75 градусов, 10 минут, а затем найти 10-минутную запись в таблице. Страница 75 градусов, показанная вверху справа, равна 0,9666746.
Однако этот ответ имеет точность только до четырех знаков после запятой. Если бы хотелось большей точности, можно было бы линейно интерполировать следующим образом:
Из таблицы Бернеггера:
Разница между этими значениями составляет 0,0000745.
Поскольку в минуте дуги 60 секунд, умножаем разницу на 50/60, чтобы получить поправку (50/60)*0,0000745 ≈ 0,0000621; а затем добавьте эту поправку к греху (75° 9'), чтобы получить:
Современный калькулятор дает sin(75°9′50″) = 0,96666219991, поэтому наш интерполированный ответ имеет точность до 7 цифр таблицы Бернеггера.
Для таблиц с большей точностью (больше цифр на значение) для достижения полной точности может потребоваться интерполяция более высокого порядка. [7] В эпоху до появления электронных компьютеров интерполяция табличных данных таким способом была единственным практическим способом получить значения высокой точности математических функций, необходимых для таких приложений, как навигация, астрономия и геодезия.
Чтобы понять важность точности в таких приложениях, как навигация, обратите внимание, что на уровне моря одна угловая минута вдоль экватора Земли или меридиана (действительно, любого большого круга ) равна одной морской миле (приблизительно 1,852 км или 1,151 мили).
