Разложение тензора

Процесс в алгебре

В полилинейной алгебре тензорное разложение — это любая схема для выражения «тензора данных» (M-мерного массива) как последовательности элементарных операций, действующих на другие, часто более простые тензоры. ^{[1] [2] [3]} Многие тензорные разложения обобщают некоторые матричные разложения . ^[4]

Тензоры являются обобщениями матриц до более высоких размерностей (или, скорее, до более высоких порядков, т.е. большего числа размерностей) и, следовательно, могут рассматриваться как многомерные поля. ^{[1] [5]} Основные разложения тензоров следующие:

• Разложение тензорного ранга ; ^[6]
• Разложение сингулярных значений высшего порядка ; ^[7]
• Разложение Такера ;
• состояния матричных произведений и операторы или тензорные поезда;
• Онлайн-разложения тензоров ^{[8] [9] [10]}
• иерархическое разложение Такера; ^[11]
• разложение блочного термина ^{[12] [13] [11] [14]}

Обозначение

В этом разделе представлены основные обозначения и операции, широко используемые в данной области.

Введение

Многоканальный граф с K перспективами представляет собой набор матриц K с размерами I × J (где I, J — число узлов). Этот набор матриц естественным образом представляется в виде тензора X размером I × J × K. Чтобы избежать перегрузки термина «размерность», мы называем тензор I × J × K трехмодовым тензором, где «модами» являются числа индексов, используемых для индексации тензора. ${\displaystyle {X_{1},X_{2}.....X_{K}}}$

Ссылки

1. Василеску, МАО; Терзопулос, Д. «Мультилинейный (тензорный) синтез изображений, анализ и распознавание [исследовательский ЦОС]». Журнал обработки сигналов IEEE . 24 (6): 118–123.
2. Колда, Тамара Г.; Бадер, Бретт В. (2009-08-06). «Тензорные разложения и приложения». Обзор SIAM . 51 (3): 455–500. Bibcode : 2009SIAMR..51..455K. doi : 10.1137/07070111X. ISSN  0036-1445. S2CID  16074195.
3. Сидиропулос, Николас Д.; Де Латхауэр, Ливен; Фу, Сяо; Хуан, Кецзюнь; Папалексакис, Евангелос Э.; Фалоутсос, Христос (2017-07-01). «Тензорная декомпозиция для обработки сигналов и машинного обучения». Труды IEEE по обработке сигналов . 65 (13): 3551–3582. arXiv : 1607.01668 . Bibcode :2017ITSP...65.3551S. doi :10.1109/TSP.2017.2690524. ISSN  1053-587X. S2CID  16321768.
4. Бернарди, А.; Брачат, Дж.; Комон, П.; Моррен, Б. (2013-05-01). «Общее тензорное разложение, матрицы моментов и приложения». Журнал символических вычислений . 52 : 51–71. arXiv : 1105.1229 . doi : 10.1016/j.jsc.2012.05.012. ISSN  0747-7171. S2CID  14181289.
5. Рабансер, Стефан; Щур, Александр; Гюннеманн, Стефан (2017). «Введение в тензорные разложения и их применение в машинном обучении». arXiv : 1711.10781 [stat.ML].
6. Papalexakis, Evangelos E. (2016-06-30). "Автоматический неконтролируемый тензорный анализ с оценкой качества". Труды Международной конференции SIAM 2016 года по интеллектуальному анализу данных . Общество промышленной и прикладной математики: 711–719. arXiv : 1503.03355 . doi :10.1137/1.9781611974348.80. ISBN 978-1-61197-434-8. S2CID  10147789.
7. Василеску, МАО; Терзопулос, Д. (2002). Мультилинейный анализ ансамблей изображений: TensorFaces (PDF) . Конспект лекций по информатике; (Представлено на Proc. 7th European Conference on Computer Vision (ECCV'02), Копенгаген, Дания). Том 2350. Springer, Берлин, Гейдельберг. doi :10.1007/3-540-47969-4_30. ISBN 978-3-540-43745-1.
8. Gujral, Ekta; Pasricha, Ravdeep; Papalexakis, Evangelos E. (7 мая 2018 г.). Ester, Martin; Pedreschi, Dino (ред.). "SamBaTen: Sampling-based Batch Incremental Tensor Decomposition". Труды Международной конференции SIAM 2018 года по интеллектуальному анализу данных . doi :10.1137/1.9781611975321. hdl : 10536/DRO/DU:30109588 . ISBN 978-1-61197-532-1. S2CID  21674935.
9. Гуджрал, Экта; Папалексакис, Эвангелос Э. (9 октября 2020 г.). «OnlineBTD: Потоковые алгоритмы для отслеживания блочного разложения больших тензоров». 2020 IEEE 7-я Международная конференция по науке о данных и передовой аналитике (DSAA) . стр. 168–177. doi :10.1109/DSAA49011.2020.00029. ISBN 978-1-7281-8206-3. S2CID  227123356.
10. Гуджрал, Экта (2022). «Моделирование и анализ многоаспектных графов с масштабируемой потоковой тензорной декомпозицией». arXiv : 2210.04404 [cs.SI].
11. Василеску, МАО; Ким, Э. (2019). Композиционная иерархическая тензорная факторизация: представление иерархических внутренних и внешних причинных факторов . В 25-й конференции ACM SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных (KDD'19): Тензорные методы для решения новых задач в области науки о данных. arXiv : 1911.04180 .
12. Де Латхауэр, Ливен (2008). «Разложения тензора высшего порядка в блочных терминах — Часть II: Определения и уникальность». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 30 (3): 1033–1066. doi :10.1137/070690729.
13. Василеску, МАО; Ким, Э.; Цзэн, XS (2021), «CausalX: причинные объяснения и блочный многолинейный факторный анализ», Материалы 25-й Международной конференции по распознаванию образов (ICPR 2020) 2020 г. , стр. 10736–10743, arXiv : 2102.12853 , doi :10.1109/ICPR48806.2021.9412780, ISBN 978-1-7281-8808-9, S2CID  232046205
14. Гуджрал, Экта; Пасрича, Равдип; Папалексакис, Евангелос (2020-04-20). «За пределами ранга 1: обнаружение богатой структуры сообщества в многоаспектных графах». Труды веб-конференции 2020 г. Тайбэй, Тайвань: ACM. стр. 452–462. doi : 10.1145/3366423.3380129. ISBN 978-1-4503-7023-3. S2CID  212745714.