stringtranslate.com

Тензорная сеть

Тензорные сети или состояния тензорных сетей представляют собой класс вариационных волновых функций, используемых при изучении многочастичных квантовых систем [1] и жидкостей. [2] [3] Тензорные сети расширяют состояния одномерных матричных произведений до более высоких измерений, сохраняя при этом некоторые из их полезных математических свойств. [4]

Две тензорные сети
Два различных представления тензорной сети одного 7-индексного тензора (обе сети можно свернуть к нему, оставив 7 свободных индексов). Нижняя сеть может быть получена из верхней путем выполнения свертки трех 3-индексных тензоров (желтого цвета) и их слияния.

Волновая функция кодируется как тензорная контракция сети отдельных тензоров . [5] Структура отдельных тензоров может налагать глобальные симметрии на волновую функцию (например, антисимметрию при обмене фермионами ) или ограничивать волновую функцию определенными квантовыми числами , такими как полный заряд , угловой момент или спин . Также возможно вывести строгие ограничения на такие величины, как запутанность и длина корреляции, используя математическую структуру тензорной сети. [6] Это сделало тензорные сети полезными в теоретических исследованиях квантовой информации в системах многих тел . Они также оказались полезными в вариационных исследованиях основных состояний , возбужденных состояний и динамики сильно коррелированных систем многих тел . [7]

Диаграммное обозначение

В общем случае диаграмму тензорной сети (диаграмму Пенроуза) можно рассматривать как граф , где узлы (или вершины) представляют отдельные тензоры, а ребра представляют суммирование по индексу. Свободные индексы изображаются как ребра (или ноги ), прикрепленные только к одной вершине. [8] Иногда форма узла также имеет дополнительное значение. Например, можно использовать трапеции для унитарных матриц или тензоров с похожим поведением. Таким образом, перевернутые трапеции будут интерпретироваться как комплексно сопряженные им.

История

Основополагающие исследования тензорных сетей начались в 1971 году со статьи Роджера Пенроуза . [9] В «Применениях отрицательных размерных тензоров» Пенроуз разработал нотацию тензорных диаграмм , описывающую, как диаграммный язык тензорных сетей может быть использован в приложениях в физике. [10]

В 1992 году Стивен Р. Уайт разработал группу перенормировки матрицы плотности (DMRG) для квантовых решетчатых систем. [11] [4] DMRG была первой успешной тензорной сетью и связанным с ней алгоритмом. [12]

В 2002 году Гифре Видал и Райнхард Вернер попытались количественно оценить запутанность, заложив основу для теорий квантовых ресурсов. [13] [14] Это также было первым описанием использования тензорных сетей в качестве математических инструментов для описания квантовых систем. [10]

В 2004 году Фрэнк Верстрате и Игнасио Чирак разработали теорию состояний матричного произведения, спроектированных состояний запутанных пар и методы вариационной ренормгруппы для квантовых спиновых систем. [15] [4]


В 2006 году Видал разработал многомасштабный анзац перенормировки запутанности (MERA). [16] В 2007 году он разработал перенормировку запутанности для квантовых решетчатых систем. [17]


В 2010 году Ульрих Шолльвок разработал группу перенормировки матрицы плотности для моделирования одномерных сильно коррелированных квантовых решетчатых систем. [18]

В 2014 году Роман Орус представил тензорные сети для сложных квантовых систем и машинного обучения, а также теории тензорных сетей симметрии, фермионов, запутанности и голографии. [1] [19]

Подключение к машинному обучению

Тензорные сети были адаптированы для контролируемого обучения , [20] используя преимущества схожей математической структуры в вариационных исследованиях в квантовой механике и крупномасштабном машинном обучении . Это пересечение стимулировало сотрудничество между исследователями в области искусственного интеллекта и квантовой информатики . В июне 2019 года Google , Институт теоретической физики Периметра и X (компания) выпустили TensorNetwork, [21] библиотеку с открытым исходным кодом для эффективных тензорных вычислений. [22]

Основной интерес к тензорным сетям и их изучению с точки зрения машинного обучения заключается в уменьшении количества обучаемых параметров (в слое) путем аппроксимации тензора высокого порядка сетью тензоров более низкого порядка. Используя так называемую технику тензорного обучения (TT) [23] , можно свести тензор N-го порядка (содержащий экспоненциально много обучаемых параметров) к цепочке из N тензоров 2-го или 3-го порядка, что дает нам полиномиальное число параметров.

Техника тензорного поезда

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Orús, Román (5 августа 2019 г.). «Тензорные сети для сложных квантовых систем». Nature Reviews Physics . 1 (9): 538–550. arXiv : 1812.04011 . Bibcode : 2019NatRP...1..538O. doi : 10.1038/s42254-019-0086-7. ISSN  2522-5820. S2CID  118989751.
  2. ^ Гурьянов, Никита; Любаш, Майкл; Долгов, Сергей; ван ден Берг, Куинси Й.; Бабаи, Хессам; Гиви, Пейман; Киффнер, Мартин; Якш, Дитер (2022-01-01). «Квантовый подход к использованию структур турбулентности». Nature Computational Science . 2 (1): 30–37. doi :10.1038/s43588-021-00181-1. ISSN  2662-8457. PMID  38177703.
  3. ^ Гурьянов, Никита; Гиви, Пейман; Якш, Дитер; Поуп, Стивен Б. (2024). «Тензорные сети позволяют вычислять распределения вероятности турбулентности». arXiv : 2407.09169 [physics.flu-dyn].
  4. ^ abc Orús, Román (2014-10-01). "Практическое введение в тензорные сети: состояния матричных произведений и спроектированные состояния запутанных пар". Annals of Physics . 349 : 117–158. arXiv : 1306.2164 . Bibcode : 2014AnPhy.349..117O. doi : 10.1016/j.aop.2014.06.013. ISSN  0003-4916. S2CID  118349602.
  5. ^ Биамонте, Якоб; Бергхольм, Вилле (31 июля 2017 г.). «Тензорные сети в двух словах». arXiv : 1708.00006 [quant-ph].
  6. ^ Verstraete, F.; Wolf, MM; Perez-Garcia, D.; Cirac, JI (2006-06-06). "Критичность, закон площади и вычислительная мощность проецируемых состояний запутанных пар". Physical Review Letters . 96 (22): 220601. arXiv : quant-ph/0601075 . Bibcode : 2006PhRvL..96v0601V. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.220601. hdl : 1854/LU-8590963 . PMID  16803296. S2CID  119396305.
  7. ^ Монтанджеро, Симоне (28 ноября 2018 г.). Введение в методы тензорных сетей: численное моделирование низкоразмерных многочастичных квантовых систем. Хам, Швейцария. ISBN 978-3-030-01409-4. OCLC  1076573498.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  8. ^ "The Tensor Network". Tensor Network . Получено 2022-07-30 .
  9. ^ Роджер Пенроуз, "Применение отрицательных размерных тензоров", в Combinatori Mathematics and its Applications , Academic Press (1971). См. Владимир Тураев, Quantum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, стр. 71 для краткого комментария.
  10. ^ ab Biamonte, Jacob (01.04.2020). «Лекции по квантовым тензорным сетям». arXiv : 1912.10049 [quant-ph].
  11. ^ Уайт, Стивен (9 ноября 1992 г.). "Формулировка матрицы плотности для квантовых ренормализационных групп". Physical Review Letters . 69 (19). doi :10.1103/PhysRevLett.69.2863 . Получено 24 октября 2024 г.
  12. ^ "Tensor Networks Group" . Получено 2024-10-24 .
  13. ^ Томас, Джессика (2 марта 2020 г.). «50 лет Physical Review A: Наследие трех классических произведений» . Получено 24 октября 2024 г.
  14. ^ Видал, Гифре; Вернер, Рейнхард (9 ноября 1992 г.). «Вычислимая мера запутанности». Physical Review Letters A. 65 ( 3). arXiv : quant-ph/0102117 . doi :10.1103/PhysRevA.65.032314 . Получено 24.10.2024 .
  15. ^ Verstraete, Frank; Cirac, Ignacio (9 мая 2007 г.). "Состояния матричных продуктов, состояния проецируемых запутанных пар и методы вариационной ренормгруппы для квантовых спиновых систем". Advances in Physics . 57 (2): 143-224. arXiv : 0907.2796 . doi :10.1080/14789940801912366 . Получено 24.10.2024 .
  16. ^ Видал, Гифре; Вернер, Рейнхард (12 сентября 2008 г.). «Класс квантовых многочастичных состояний, которые можно эффективно моделировать». Physical Review Letters . 101 (11). arXiv : quant-ph/0610099 . doi :10.1103/PhysRevLett.101.110501 . Получено 24.10.2024 .
  17. ^ Видал, Гифре (2009-12-09). «Перенормировка запутанности: введение». arXiv : 0912.1651 [quant-ph].
  18. ^ Шолльвок, Ульрих (20 августа 2010 г.). «Группа перенормировки матрицы плотности в эпоху состояний матричного произведения». Annals of Physics . 326 (1): 96-192. arXiv : 1008.3477 . doi :10.1016/j.aop.2010.09.012 . Получено 24.10.2024 .
  19. ^ Orús, Román (26 ноября 2014 г.). «Достижения в теории тензорных сетей: симметрии, фермионы, запутанность и голография». The European Physical Journal B . 87 (280). arXiv : 1407.6552 . doi :10.48550/arXiv.1407.6552 . Получено 24.10.2024 .
  20. ^ Стауденмайер, Э. Майлз; Шваб, Дэвид Дж. (2017-05-18). «Управляемое обучение с квантово-вдохновленными тензорными сетями». Достижения в области нейронных систем обработки информации . 29 : 4799. arXiv : 1605.05775 .
  21. ^ google/TensorNetwork, 2021-01-30 , получено 2021-02-02
  22. ^ «Представляем TensorNetwork, библиотеку с открытым исходным кодом для эффективных тензорных вычислений». Блог Google AI . 4 июня 2019 г. Получено 2021-02-02 .
  23. ^ Оселедец, IV (2011-01-01). «Тензорно-поездовая декомпозиция». SIAM Journal on Scientific Computing . 33 (5): 2295–2317. Bibcode :2011SJSC...33.2295O. doi :10.1137/090752286. ISSN  1064-8275. S2CID  207059098.