Tensor product of algebras over a field; itself another algebra
В математике тензорное произведение двух алгебр над коммутативным кольцом R также является R -алгеброй. Это дает тензорное произведение алгебр . Когда кольцо является полем , наиболее распространенным применением таких произведений является описание произведения представлений алгебры .
Определение
Пусть R — коммутативное кольцо и пусть A и B — R -алгебры . Поскольку оба A и B можно рассматривать как R -модули , их тензорное произведение
также является R -модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на элементах формы a ⊗ b согласно [1]
и затем распространяется по линейности на все A ⊗ R B . Это кольцо является R -алгеброй, ассоциативной и единой с единицей, заданной формулой 1 A ⊗ 1 B . [3] где 1 A и 1 B — тождественные элементы A и B . Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.
Тензорное произведение превращает категорию R - алгебр в симметричную моноидальную категорию . [ нужна цитата ]
Дополнительные свойства
Существуют естественные гомоморфизмы A и B в A ⊗ RB , заданные формулой [4]
Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R -алгебр . Тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R -алгебр. Там копроизведение задается более общим свободным произведением алгебр . Тем не менее, тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством , аналогичным свойству копроизведения:
где [-, -] обозначает коммутатор . Естественный изоморфизм задается путем отождествления морфизма в левой части с парой морфизмов в правой части где и аналогично .
Приложения
Тензорное произведение коммутативных алгебр часто используется в алгебраической геометрии . Для аффинных схем X , Y , Z с морфизмами из X и Z в Y , поэтому X = Spec( A ), Y = Spec( R ) и Z = Spec( B ) для некоторых коммутативных колец A , R , B , Схема расслоенного произведения — это аффинная схема, соответствующая тензорному произведению алгебр:
В более общем смысле, волокнистый продукт схем определяется путем склеивания аффинных волокнистых продуктов этой формы.
Примеры
- Тензорное произведение можно использовать как средство пересечения двух подсхем в схеме : рассмотрим -алгебры , , тогда их тензорное произведение равно , которое описывает пересечение алгебраических кривых f = 0 и g = 0 в аффинной плоскости над С.
- В более общем смысле, если это коммутативное кольцо и являются идеалами, то с уникальным изоморфизмом, отправляющим в .
- Тензорные произведения можно использовать как средство изменения коэффициентов. Например, и .
- Тензорные произведения также можно использовать для получения произведений аффинных схем по полю. Например, изоморфна алгебре , которая соответствует аффинной поверхности, если f и g не равны нулю.
- Учитывая -алгебры и базовые кольца которых являются градуированными коммутативными кольцами , тензорное произведение становится градуированным коммутативным кольцом путем определения однородных , , и .
Смотрите также
Примечания
- ^ Кассель (1995), с. 32.
- ^ Кассель (1995), с. 32.
- ^ Кассель (1995), с. 32.
Рекомендации
- Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 155, Спрингер, ISBN 978-0-387-94370-1.
- Ланг, Серж (2002) [впервые опубликовано в 1993 году]. Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 21. Спрингер. ISBN 0-387-95385-Х.