Пакет продуктов Tensor

В дифференциальной геометрии тензорное произведение векторных расслоений E , F ( над одним и тем же пространством ) — это векторное расслоение, обозначаемое E ⊗ F , чей слой над точкой — это тензорное произведение векторных пространств E _x ⊗ F _x . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Пример: если O — тривиальное линейное расслоение, то E ⊗ O = E для любого E.

Пример: E ⊗ E ^∗ канонически изоморфно расслоению эндоморфизмов End( E ) , где E ^∗ — двойственное расслоение E .

Пример: Линейное расслоение L имеет тензорную инверсию: фактически, L ⊗ L ^∗ является (изоморфным) тривиальному расслоению по предыдущему примеру, так как End( L ) тривиален. Таким образом, множество классов изоморфизма всех линейных расслоений на некотором топологическом пространстве X образует абелеву группу, называемую группой Пикара пространства X .

Варианты

Аналогичным образом можно определить симметричную степень и внешнюю степень векторного расслоения. Например, сечение является дифференциальной p -формой , а сечение является дифференциальной p -формой со значениями в векторном расслоении E . ${\displaystyle \Lambda ^{p}T^{*}M}$ ${\displaystyle \Lambda ^{p}T^{*}M\otimes E}$

Смотрите также

• Тензорное произведение модулей

Примечания

1. Чтобы построить расслоение тензорного произведения над паракомпактной базой, сначала отметим, что конструкция ясна для тривиальных расслоений. В общем случае, если база компактна, выберите E ' так, чтобы E ⊕ E ' было тривиальным. Выберите F ' таким же образом. Затем пусть E ⊗ F будет подрасслоением ( E ⊕ E ' ) ⊗ ( F ⊕ F ' ) с желаемыми слоями. Наконец, используйте аргумент аппроксимации для обработки некомпактной базы. См. Хэтчер для общего прямого подхода.

Ссылки

• Хэтчер, векторные пучки и К-теория