Уравнение Кеплера

Термин орбитальной механики

В орбитальной механике уравнение Кеплера связывает различные геометрические свойства орбиты тела, подверженного действию центральной силы .

Оно было выведено Иоганном Кеплером в 1609 году в главе 60 его Astronomia nova [ ^{1] [2]} и в книге V его Epitome of Copernican Astronomy (1621). Кеплер предложил итеративное решение уравнения. ^{[3] [4]} Однако это уравнение и его решение впервые появились в работе IX века Хабаша аль-Хасиба аль-Марвази , в которой рассматривались проблемы параллакса. ^{[5] [6] [7] [8]} Уравнение сыграло важную роль в истории как физики, так и математики, особенно классической небесной механики .

Уравнение

Решения уравнения Кеплера для пяти различных эксцентриситетов от 0 до 1

Уравнение Кеплера :

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

где — средняя аномалия , — эксцентрическая аномалия , — эксцентриситет . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e}$

«Эксцентрическая аномалия» полезна для вычисления положения точки, движущейся по кеплеровской орбите. Например, если тело проходит периастр в точке с координатами , , в момент времени , то для определения положения тела в любой момент времени сначала вычисляется средняя аномалия из времени и среднего движения по формуле , затем решается уравнение Кеплера выше, чтобы получить , затем получаются координаты из: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x=a(1-e)}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M=n(t-t_{0})}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}}$

где - большая полуось , малая полуось . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Уравнение Кеплера является трансцендентным уравнением, поскольку синус является трансцендентной функцией , и его нельзя решить алгебраически . Для оценки обычно требуются численный анализ и разложения в ряды . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Альтернативные формы

Существует несколько форм уравнения Кеплера. Каждая форма связана с определенным типом орбиты. Стандартное уравнение Кеплера используется для эллиптических орбит ( ). Гиперболическое уравнение Кеплера используется для гиперболических траекторий ( ). Радиальное уравнение Кеплера используется для линейных (радиальных) траекторий ( ). Уравнение Баркера используется для параболических траекторий ( ). ${\displaystyle 0\leq e<1}$ ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e=1}$

При , орбита круговая. Увеличение приводит к тому, что окружность становится эллиптической. При , есть четыре возможности: ${\displaystyle e=0}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e=1}$

• параболическая траектория,
• траектория, которая идет вперед и назад вдоль отрезка прямой от центра притяжения до точки на некотором расстоянии,
• траектория, идущая внутрь или наружу вдоль бесконечного луча, исходящего из центра притяжения, скорость которого стремится к нулю с расстоянием
• или траектория вдоль луча, но со скоростью, не стремящейся к нулю с расстоянием.

Значение немного больше 1 приводит к гиперболической орбите с углом поворота чуть меньше 180 градусов. Дальнейшее увеличение уменьшает угол поворота, и по мере приближения к бесконечности орбита становится прямой линией бесконечной длины. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$

Гиперболическое уравнение Кеплера

Гиперболическое уравнение Кеплера имеет вид:

${\displaystyle M=e\sinh H-H}$

где — гиперболическая эксцентрическая аномалия. Это уравнение выводится путем переопределения M как квадратного корня из −1 , умноженного на правую часть эллиптического уравнения: ${\displaystyle H}$

${\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}$

(в котором теперь мнимое) и затем заменив на . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle iH}$

Радиальные уравнения Кеплера

Радиальное уравнение Кеплера для случая, когда у объекта недостаточно энергии для вылета, выглядит следующим образом:

${\displaystyle t(x)=\pm {\biggr [}\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}{\biggr ]}}$

где пропорциональна времени и пропорциональна расстоянию от центра притяжения вдоль луча и достигает значения 1 на максимальном расстоянии. Это уравнение получается путем умножения уравнения Кеплера на 1/2 и приравнивания к 1: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin E\right].}$

и затем делаем замену

${\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).}$

Радиальное уравнение для случая, когда у объекта достаточно энергии для вылета, выглядит следующим образом:

${\displaystyle t(x)=\pm {\biggr [}\sinh ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1+x)}}{\biggr ]}}$

Когда энергия равна минимально необходимому для побега количеству, то время просто пропорционально расстоянию в степени 3/2.

Обратная задача

Расчет для заданного значения прост. Однако решение для , когда задано, может быть значительно сложнее. Решения в замкнутой форме не существует . Решение для более или менее эквивалентно решению для истинной аномалии или разницы между истинной аномалией и средней аномалией, которая называется « Уравнением центра ». ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$

Можно записать выражение бесконечного ряда для решения уравнения Кеплера, используя обращение Лагранжа , но ряд не сходится для всех комбинаций и (см. ниже). ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle M}$

Путаница относительно разрешимости уравнения Кеплера сохраняется в литературе на протяжении четырех столетий. ^[9] Сам Кеплер выражал сомнение в возможности нахождения общего решения:

Я достаточно удовлетворен тем, что оно [уравнение Кеплера] не может быть решено априори, ввиду различной природы дуги и синуса. Но если я ошибаюсь, и кто-нибудь укажет мне путь, он будет в моих глазах великим Аполлонием .

—  Иоганн Кеплер ^[10]

Разложение в ряд Фурье (по ) с использованием функций Бесселя равно ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle M}$

${\displaystyle E=M+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {2}{m}}J_{m}(me)\sin(mM),\quad e\leq 1,\quad M\in [-\pi ,\pi ].}$

Что касается , то это серия Каптейна . ${\displaystyle e}$

Обратное уравнение Кеплера

Обратное уравнение Кеплера является решением уравнения Кеплера для всех действительных значений : ${\displaystyle e}$

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}$

Оценка этого дает:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ with }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}$

Эти ряды можно воспроизвести в системе Mathematica с помощью операции InverseSeries.

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

Эти функции являются простыми рядами Маклорена . Такие представления трансцендентных функций в виде рядов Тейлора считаются определениями этих функций. Следовательно, это решение является формальным определением обратного уравнения Кеплера. Однако, не является целой функцией при заданном ненулевом . Действительно, производная ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle \mathrm {dM} /\mathrm {d} E=1-e\cos E}$

стремится к нулю в бесконечном наборе комплексных чисел, когда ближайшее к нулю значение находится в и в этих двух точках ${\displaystyle e<1,}$ ${\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),}$

${\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}$

(где обратный cosh принимается положительным), и стремится к бесконечности при этих значениях . Это означает, что радиус сходимости ряда Маклорена равен и ряд не будет сходиться для значений, больших этого. Ряд также может быть использован для гиперболического случая, в этом случае радиус сходимости равен Ряд для , когда сходится, когда . ${\displaystyle \mathrm {d} E/\mathrm {d} M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle M<2\pi }$

Хотя это решение является самым простым в определенном математическом смысле, ^{[ which? ]} , другие решения являются предпочтительными для большинства приложений. В качестве альтернативы, уравнение Кеплера может быть решено численно.

Решение было найдено Карлом Штумпфом в 1968 году ^[14] , но его значимость не была признана. ^{[15] [ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle e\neq 1}$

Можно также записать ряд Маклорена в . Этот ряд не сходится, когда больше предела Лапласа (около 0,66), независимо от значения (если только не кратно 2π ), но он сходится для всех, если меньше предела Лапласа. Коэффициенты в ряду, кроме первого (который просто ), зависят от периодическим образом с периодом 2π . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Обратное радиальное уравнение Кеплера

Обратное радиальное уравнение Кеплера ( ) для случая, когда у объекта недостаточно энергии для вылета, можно аналогичным образом записать в виде: ${\displaystyle e=1}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}$

Оценка этого дает:

${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}$

Чтобы получить этот результат с помощью Mathematica :

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

Численная аппроксимация обратной задачи

Метод Ньютона

Для большинства приложений обратную задачу можно решить численно, найдя корень функции:

${\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}$

Это можно сделать итеративно с помощью метода Ньютона :

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}$

Обратите внимание, что и в этом вычислении выражены в радианах. Эта итерация повторяется до тех пор, пока не будет получена желаемая точность (например, когда < желаемая точность). Для большинства эллиптических орбит достаточно начального значения . Для орбит с можно использовать начальное значение . Многочисленные работы разработали точные (но также более сложные) начальные предположения. ^[16] Если тождественно 1, то производная , которая находится в знаменателе метода Ньютона, может приблизиться к нулю, что делает основанные на производных методы, такие как Ньютон-Рафсон, секущая или regula falsi, численно неустойчивыми. В этом случае метод бисекции обеспечит гарантированную сходимость, особенно потому, что решение может быть ограничено небольшим начальным интервалом. На современных компьютерах можно достичь 4 или 5 знаков точности за 17–18 итераций. ^[17] Похожий подход можно использовать для гиперболической формы уравнения Кеплера. ^{[18] : 66–67} В случае параболической траектории используется уравнение Баркера . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(E)}$ ${\displaystyle E_{0}=M(t)}$ ${\displaystyle e>0.8}$ ${\displaystyle E_{0}=\pi }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$

Итерация с фиксированной точкой

Связанный метод начинается с того, что замечаем, что . Многократная подстановка выражения справа вместо справа дает простой алгоритм итерации с фиксированной точкой для оценки . Этот метод идентичен решению Кеплера 1621 года. ^[4] В псевдокоде : ${\displaystyle E=M+e\sin {E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E(e,M)}$

функция E ( e , M , n ) E = M для k = 1 до n E = M + e * sin E следующее k возврат E                      

Число итераций, , зависит от значения . Гиперболическая форма аналогично имеет . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle H=\sinh ^{-1}\left({\frac {H+M}{e}}\right)}$

Этот метод связан с решением метода Ньютона, приведенным выше, тем, что

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}$

Для первого заказа в небольших количествах и , ${\displaystyle M-E_{n}}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}$.

Смотрите также

• Уравнение центра
• Законы движения планет Кеплера
• проблема Кеплера
• Задача Кеплера в общей теории относительности
• Радиальная траектория

Ссылки

1. Кеплер, Иоганн (1609). «LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima histhesi, extruendi utramque partem æquationis, & distancedias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. аргументум ложные гипотезы». Astronomia Nova Aitiologētos, Seu Physica Coelestis, tradita commentariis De Motibus Stellæ Martis, Ex Observeibus GV Tychonis Brahe (на латыни). стр. 299–300.
2. Aaboe, Asger (2001). Эпизоды из ранней истории астрономии. Springer. С. 146–147. ISBN 978-0-387-95136-2.
3. Кеплер, Иоганн (1621). «Libri V. Pars altera». Краткое изложение астрономии Коперника, используемое в форме Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros Digesta, quorum tres hi Priores sunt de Doctrina Sphæricâ (на латыни). стр. 695–696.
4. Swerdlow, Noel M. (2000). "Итеративное решение уравнения Кеплера Кеплером". Журнал истории астрономии . 31 (4): 339–341. Bibcode : 2000JHA....31..339S. doi : 10.1177/002182860003100404. S2CID  116599258.
5. Колвелл, Питер (1993). Решение уравнения Кеплера на протяжении трех столетий. Willmann-Bell. стр. 4. ISBN 978-0-943396-40-8.
6. Dutka, J. (1997-07-01). "Заметка об "уравнении Кеплера"". Архив для History of Exact Sciences . 51 (1): 59–65. Bibcode : 1997AHES...51...59D. doi : 10.1007/BF00376451. S2CID  122568981.
7. Норт, Джон (2008-07-15). Космос: Иллюстрированная история астрономии и космологии. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-59441-5.
8. Ливингстон, Джон У. (2017-12-14). Подъем науки в исламе и на Западе: от общего наследия к разделению путей, 8-й по 19-й века. Routledge. ISBN 978-1-351-58926-0.
9. Часто утверждается, что уравнение Кеплера «не может быть решено аналитически »; см., например, здесь. Другие авторы утверждают, что его вообще невозможно решить; см., например, Madabushi VK Chari; Sheppard Joel Salon; Numerical Methods in Electromagnetism , Academic Press, San Diego, CA, USA, 2000, ISBN 0-12-615760-X , стр. 659 
10. «Mihi ſufficit credere, ſolvi apriori non poſſe, propter arcus & ſinus ετερογενειαν. Erranti mihi, quicumque viam monſtraverit, is erit mihi magnus Apollonius». Холл, Асаф (май 1883 г.). «Проблема Кеплера». Анналы математики . 10 (3): 65–66. дои : 10.2307/2635832. JSTOR  2635832.
11. Фицпатрик, Филип Мэтью (1970). Принципы небесной механики . Academic Press. ISBN 0-12-257950-X.
12. Колвелл, Питер (январь 1992 г.). «Функции Бесселя и уравнение Кеплера». The American Mathematical Monthly . 99 (1): 45–48. doi :10.2307/2324547. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324547.
13. Бойд, Джон П. (2007). «Поиск корня для трансцендентного уравнения без первой догадки: полиномиализация уравнения Кеплера через полиномиальное уравнение Чебышева синуса». Прикладная численная математика . 57 (1): 12–18. doi :10.1016/j.apnum.2005.11.010.
14. Штумпфф, Карл (1 июня 1968 г.). «О применении рядов Ли к проблемам небесной механики». Техническая записка НАСА D-4460. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
15. Колвелл, Питер (1993). Решение уравнения Кеплера на протяжении трех столетий . Вильманн–Белл. стр. 43. ISBN 0-943396-40-9.
16. Оделл, AW; Гудинг, RH (1986). «Процедуры решения уравнения Кеплера». Небесная механика . 38 (4). Springer Science and Business Media LLC: 307–334. Bibcode : 1986CeMec..38..307O. doi : 10.1007/bf01238923. ISSN  1572-9478. S2CID  120179781.
17. Кейстер, Адриан. «Численный анализ нахождения высоты кругового сегмента». Wineman Technology . Wineman Technology, Inc . Получено 28 декабря 2019 г. .
18. Пфлегер, Томас; Монтенбрук, Оливер (1998). Астрономия на персональном компьютере (Третье изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-662-03349-4.

Внешние ссылки

• Дэнби, Джон М.; Буркардт, Томас М. (1983). «Решение уравнения Кеплера. I». Небесная механика . 31 (2): 95–107. Bibcode : 1983CeMec..31...95D. doi : 10.1007/BF01686811. S2CID  189832421.
• Конвей, Брюс А. (1986). «Улучшенный алгоритм Лагерра для решения уравнения Кеплера». 24-я конференция по аэрокосмическим наукам . doi :10.2514/6.1986-84.
• Миккола, Сеппо (1987). "Кубическое приближение для уравнения Кеплера" (PDF) . Небесная механика . 40 (3): 329–334. Bibcode :1987CeMec..40..329M. doi :10.1007/BF01235850. S2CID  122237945.
• Ниенхейс, Альберт (1991). «Решение уравнения Кеплера с высокой эффективностью и точностью». Небесная механика и динамическая астрономия . 51 (4): 319–330. Bibcode : 1991CeMDA..51..319N. doi : 10.1007/BF00052925. S2CID  121845017.
• Markley, F. Landis (1995). "Решатель уравнений Кеплера". Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy . 63 (1): 101–111. Bibcode : 1995CeMDA..63..101M. doi : 10.1007/BF00691917. S2CID  120405765.
• Фукусима, Тосио (1996). «Метод решения уравнения Кеплера без оценки трансцендентных функций». Небесная механика и динамическая астрономия . 66 (3): 309–319. Bibcode : 1996CeMDA..66..309F. doi : 10.1007/BF00049384. S2CID  120352687.
• Чарльз, Эдгар Д.; Татум, Джереми Б. (1997). «Сходимость итерации Ньютона-Рафсона с уравнением Кеплера». Небесная механика и динамическая астрономия . 69 (4): 357–372. Bibcode : 1997CeMDA..69..357C. doi : 10.1023/A:1008200607490. S2CID  118637706.
• Штумпф, Лаура (1999). «Хаотическое поведение в итеративной функции Ньютона, связанной с уравнением Кеплера». Небесная механика и динамическая астрономия . 74 (2): 95–109. Bibcode :1999CeMDA..74...95S. doi :10.1023/A:1008339416143. S2CID  122491746.
• Паласиос, Мануэль (2002). «Уравнение Кеплера и ускоренный метод Ньютона». Журнал вычислительной и прикладной математики . 138 (2): 335–346. Bibcode :2002JCoAM.138..335P. doi : 10.1016/S0377-0427(01)00369-7 .
• Бойд, Джон П. (2007). «Поиск корня для трансцендентного уравнения без первой догадки: полиномиализация уравнения Кеплера через полиномиальное уравнение Чебышева синуса». Прикладная численная математика . 57 (1): 12–18. doi :10.1016/j.apnum.2005.11.010.
• Пал, Андраш (2009). «Аналитическое решение проблемы Кеплера». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 396 (3): 1737–1742. arXiv : 0904.0324 . Bibcode : 2009MNRAS.396.1737P. doi : 10.1111/j.1365-2966.2009.14853.x .
• Эсмаэльзаде, Реза; Гадири, Хоссейн (2014). «Подходящий стартовый вариант для решения уравнения Кеплера». Международный журнал компьютерных приложений . 89 (7): 31–38. Bibcode : 2014IJCA...89g..31E. doi : 10.5120/15517-4394 .
• Zechmeister, Mathias (2018). "CORDIC-подобный метод решения уравнения Кеплера". Астрономия и астрофизика . 619 : A128. arXiv : 1808.07062 . Bibcode :2018A&A...619A.128Z. doi : 10.1051/0004-6361/201833162 .

• Уравнение Кеплера в Wolfram Mathworld