Теорема о среднем значении

О существовании касательной к дуге, параллельной прямой, проходящей через ее концы

В математике теорема о среднем значении (или теорема Лагранжа о среднем значении ) утверждает, грубо говоря, что для данной плоской дуги между двумя конечными точками существует по крайней мере одна точка, в которой касательная к дуге параллельна секущей, проходящей через ее конечные точки. Это один из важнейших результатов в реальном анализе . Эта теорема используется для доказательства утверждений о функции на интервале , начиная с локальных гипотез о производных в точках интервала.

История

Частный случай этой теоремы для обратной интерполяции синуса был впервые описан Парамешварой (1380–1460) из Керальской школы астрономии и математики в Индии в его комментариях к Говиндасвами и Бхаскаре II . ^[1] Ограниченная форма теоремы была доказана Мишелем Роллем в 1691 году; результатом было то, что сейчас известно как теорема Ролля , и было доказано только для многочленов, без методов исчисления. Теорема о среднем значении в ее современной форме была сформулирована и доказана Огюстеном Луи Коши в 1823 году. ^[2] С тех пор было доказано множество вариаций этой теоремы. ^{[3] [4]}

Заявление

Функция достигает наклона секущей между и как производная в точке . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$

Также возможно, что существует несколько касательных, параллельных секущей.

Пусть — непрерывная функция на замкнутом интервале и дифференцируемая на открытом интервале , где . Тогда существует некоторая из такая, что: [ ^5] ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Теорема о среднем значении является обобщением теоремы Ролля , которая предполагает , что , так что правая часть выше равна нулю. ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

Теорема о среднем значении по-прежнему верна в несколько более общей ситуации. Нужно только предположить, что является непрерывным на , и что для каждого в пределе ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

существует как конечное число или равно или . Если конечно, этот предел равен . Примером, где применима эта версия теоремы, является отображение функции кубического корня с действительным значением , производная которой стремится к бесконечности в начале координат. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{1/3}}$

Доказательство

Выражение дает наклон линии, соединяющей точки и , которая является хордой графика , в то время как дает наклон касательной к кривой в точке . Таким образом, теорема о среднем значении гласит, что для любой хорды гладкой кривой мы можем найти точку на кривой, лежащую между конечными точками хорды, такую, что касательная к кривой в этой точке будет параллельна хорде. Следующее доказательство иллюстрирует эту идею. ${\textstyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle (b,f(b))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$

Определим , где — константа. Поскольку непрерывна на и дифференцируема на , то же самое верно и для . Теперь мы хотим выбрать так, чтобы удовлетворяло условиям теоремы Ролля . А именно ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.\end{aligned}}}$

По теореме Ролля , поскольку дифференцируемо и , существует некоторая из , для которой , а из равенства следует , что ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g'(c)=0}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}}$

Подразумеваемое

Теорема 1: Предположим, что — непрерывная, вещественная функция, определенная на произвольном интервале вещественной прямой. Если производная от в каждой внутренней точке интервала существует и равна нулю, то является постоянной внутри. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$

Доказательство: Предположим, что производная в каждой внутренней точке интервала существует и равна нулю. Пусть — произвольный открытый интервал в . По теореме о среднем значении существует точка в , такая что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Это подразумевает, что . Таким образом, является постоянным внутри и, следовательно, является постоянным на по непрерывности. (См. ниже многомерную версию этого результата.) ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Замечания:

• Только непрерывность , а не дифференцируемость, необходима в конечных точках интервала . Никакой гипотезы непрерывности не требуется, если является открытым интервалом , поскольку существование производной в точке подразумевает непрерывность в этой точке. (См. раздел непрерывность и дифференцируемость статьи производная .) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• Дифференцируемость можно ослабить до односторонней дифференцируемости , доказательство дано в статье о полудифференцируемости . ${\displaystyle f}$

Теорема 2: Если для всех в интервале области определения этих функций, то является константой, т.е. где является константой на . ${\displaystyle f'(x)=g'(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f-g}$ ${\displaystyle f=g+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Доказательство: Пусть , тогда на интервале , поэтому теорема 1 выше утверждает, что является константой или . ${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle F'(x)=f'(x)-g'(x)=0}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f=g+c}$

Теорема 3: Если — первообразная функции на интервале , то наиболее общая первообразная функции на имеет вид , где — константа. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F(x)+c}$ ${\displaystyle c}$

Доказательство: Оно непосредственно следует из теоремы 2 выше.

Теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши о среднем значении , также известная как расширенная теорема о среднем значении , является обобщением теоремы о среднем значении. ^{[6] [7]} Она гласит: если функции и непрерывны на замкнутом интервале и дифференцируемы на открытом интервале , то существует некоторая , такая что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

Геометрический смысл теоремы Коши

${\displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).}$

Конечно, если и , это эквивалентно: ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Геометрически это означает, что существует некоторая касательная к графику кривой [ ^8]

${\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}$

которая параллельна прямой, определяемой точками и . Однако теорема Коши не утверждает существования такой касательной во всех случаях, когда и являются различными точками, поскольку она может быть удовлетворена только для некоторого значения с , другими словами, значения, при котором указанная кривая является стационарной ; в таких точках, скорее всего, вообще не будет определена касательная к кривой. Примером такой ситуации является кривая, заданная формулой ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ ${\displaystyle (f(b),g(b))}$ ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ ${\displaystyle (f(b),g(b))}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'(c)=g'(c)=0}$

${\displaystyle t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\right),}$

которая на интервале идет от точки до , но никогда не имеет горизонтальной касательной; однако она имеет неподвижную точку (фактически точку возврата ) в . ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle t=0}$

Теорема Коши о среднем значении может быть использована для доказательства правила Лопиталя . Теорема о среднем значении является частным случаем теоремы Коши о среднем значении, когда . ${\displaystyle g(t)=t}$

Доказательство

Доказательство теоремы Коши о среднем значении основано на той же идее, что и доказательство теоремы о среднем значении.

• Предположим , что . Определим , где зафиксировано таким образом, что , а именно ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ ${\displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h(a)=h(b)}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\&\iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.\end{aligned}}}$

  Поскольку и непрерывны на и дифференцируемы на , то же самое верно и для . В целом, удовлетворяет условиям теоремы Ролля : следовательно, существует некоторое в , для которого . Теперь, используя определение , имеем: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle h'(c)=0}$ ${\displaystyle h}$

  ${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-\left({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\right)g'(c),}$

  и таким образом

  ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c).}$

• Если , то, применяя теорему Ролля к , следует, что существует в , для которого . При таком выборе теорема Коши о среднем значении (тривиально) выполняется. ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g'(c)=0}$ ${\displaystyle c}$

Теорема о среднем значении для нескольких переменных

Теорема о среднем значении обобщается на действительные функции нескольких переменных. Хитрость заключается в том, чтобы использовать параметризацию для создания действительной функции одной переменной, а затем применить теорему о одной переменной.

Пусть будет открытым подмножеством , и пусть будет дифференцируемой функцией. Зафиксируем точки так, чтобы отрезок между лежал в , и определим . Поскольку является дифференцируемой функцией одной переменной, теорема о среднем значении дает: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in G}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(1)-g(0)=g'(c)}$

для некоторых между 0 и 1. Но поскольку и , то при явном вычислении имеем: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(1)=f(y)}$ ${\displaystyle g(0)=f(x)}$ ${\displaystyle g'(c)}$

${\displaystyle f(y)-f(x)=\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}\cdot (y-x)}$

где обозначает градиент и скалярное произведение . Это точный аналог теоремы с одной переменной (в случае, если это теорема с одной переменной). По неравенству Коши–Шварца уравнение дает оценку: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\Bigl |}f(y)-f(x){\Bigr |}\leq {\Bigl |}\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}{\Bigr |}\ {\Bigl |}y-x{\Bigr |}.}$

В частности, когда частные производные ограничены, является липшицево-непрерывным (и, следовательно, равномерно непрерывным ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В качестве применения вышесказанного мы докажем, что является константой, если открытое подмножество связно и каждая частная производная от равна 0. Выберите некоторую точку , и пусть . Мы хотим показать для каждого . Для этого пусть . Тогда E замкнуто и непусто. Оно также открыто: для каждого , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in G}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle E=\{x\in G:g(x)=0\}}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\Big |}g(y){\Big |}={\Big |}g(y)-g(x){\Big |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0}$

для каждого в некоторой окрестности . (Здесь принципиально важно, чтобы и были достаточно близки друг к другу.) Поскольку связано, заключаем . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=G}$

Приведенные выше рассуждения выполнены в безкоординатной манере; следовательно, они обобщаются на случай, когда является подмножеством банахова пространства. ${\displaystyle G}$

Теорема о среднем значении для векторных функций

Точного аналога теоремы о среднем значении для векторных функций не существует (см. ниже). Однако существует неравенство, которое можно применить ко многим из тех же ситуаций, к которым теорема о среднем значении применима в одномерном случае: ^[9]

Теорема  —  Для непрерывной векторной функции , дифференцируемой на , существует число такое, что ${\displaystyle \mathbf {f} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

${\displaystyle |\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|\leq (b-a)\left|\mathbf {f} '(c)\right|}$.

Доказательство

Возьмем . Тогда является действительным и, таким образом, по теореме о среднем значении, ${\displaystyle \varphi (t)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=\varphi '(c)(b-a)}$

для некоторых . Теперь и Следовательно, используя неравенство Коши–Шварца , из приведенного выше уравнения получаем: ${\displaystyle c\in (a,b)}$ $${\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}}$$ $${\displaystyle \varphi '(c)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}'(c).}$$

${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}\leq |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)||{\textbf {f}}'(c)|(b-a).}$

Если , теорема выполняется тривиально. В противном случае деление обеих частей на дает теорему. ${\displaystyle {\textbf {f}}(b)={\textbf {f}}(a)}$ ${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|}$

Неравенство среднего значения

Жан Дьедонне в своем классическом трактате «Основы современного анализа» отбрасывает теорему о среднем значении и заменяет ее неравенством среднего, поскольку доказательство неконструктивно, и среднее значение найти нельзя, а в приложениях нужно только неравенство среднего. Серж Ланг в «Анализе I» использует теорему о среднем значении в интегральной форме как мгновенный рефлекс, но это использование требует непрерывности производной. Если использовать интеграл Хенстока–Курцвейля, то можно получить теорему о среднем значении в интегральной форме без дополнительного предположения, что производная должна быть непрерывной, поскольку каждая производная интегрируема по Хенстоку–Курцвейлю.

Причина, по которой нет аналога равенства среднего значения, заключается в следующем: если f  : U → R ^m — дифференцируемая функция (где U ⊂ R ⁿ открыто) и если x + th , x , h ∈ R ⁿ , t ∈ [0, 1] — рассматриваемый отрезок прямой (лежащий внутри U ), то можно применить указанную выше процедуру параметризации к каждой из компонентных функций f _i ( i = 1, …, m ) функции f (в ​​указанной выше системе обозначений y = x + h ). При этом находят точки x + t _i h на отрезке прямой, удовлетворяющие

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.}$

Но, как правило, на отрезке прямой не будет ни одной точки x + t * h, удовлетворяющей условию

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.}$

для всех i одновременно . Например, определим:

${\displaystyle {\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}}$

Тогда , но и никогда одновременно не равны нулю, поскольку находятся в диапазоне более . ${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f_{1}'(x)=-\sin(x)}$ ${\displaystyle f_{2}'(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left[0,2\pi \right]}$

Из вышеприведенной теоремы следует следующее:

Неравенство среднего значения ^[10]  —  Для непрерывной функции , если дифференцируема на , то ${\displaystyle {\textbf {f}}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|\leq (b-a)\sup _{(a,b)}|{\textbf {f}}'|}$.

На самом деле, приведенное выше утверждение достаточно для многих приложений и может быть доказано непосредственно следующим образом. (Мы будем записывать для удобства чтения.) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textbf {f}}}$

Доказательство

Сначала предположим, что дифференцируемо при тоже. Если неограничено на , то доказывать нечего. Таким образом, предположим . Пусть будет некоторым действительным числом. Пусть Мы хотим показать . В силу непрерывности множество замкнуто. Оно также непусто, как и в нем. Следовательно, множество имеет наибольший элемент . Если , то и мы закончили. Таким образом, предположим иначе. Для , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \sup _{(a,b)}|f'|<\infty }$ ${\displaystyle M>\sup _{(a,b)}|f'|}$ $${\displaystyle E=\{0\leq t\leq 1\mid |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq Mt(b-a)\}.}$$ ${\displaystyle 1\in E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle 1\in E}$ ${\displaystyle 1>t>s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\\&\leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.\end{aligned}}}$

Пусть будет таким, что . В силу дифференцируемости при (примечание может быть 0), если достаточно близко к , то первый член равен . Второй член равен . Третий член равен . Следовательно, суммируя оценки, получаем: , противоречие с максимальностью . Следовательно, а это значит: ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M-\epsilon >\sup _{(a,b)}|f'|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+s(b-a)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \leq \epsilon (t-s)(b-a)}$ ${\displaystyle \leq (M-\epsilon )(t-s)(b-a)}$ ${\displaystyle \leq Ms(b-a)}$ ${\displaystyle |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq tM|b-a|}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1=s\in M}$

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(b-a).}$

Так как является произвольным, то отсюда следует утверждение. Наконец, если не является дифференцируемым в , пусть и применим первый случай к ограниченному на , что дает нам: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a',b]}$

${\displaystyle |f(b)-f(a')|\leq (b-a')\sup _{(a,b)}|f'|}$

поскольку . Позволяя завершить доказательство. ${\displaystyle (a',b)\subset (a,b)}$ ${\displaystyle a'\to a}$

Случаи, когда теорема не может быть применена

Оба условия теоремы о среднем значении являются необходимыми:

1. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$дифференцируемо на ${\displaystyle {\boldsymbol {(a,b)}}}$
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$непрерывен на ${\displaystyle {\boldsymbol {[a,b]}}}$
3. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$имеет реальную ценность

Если одно из вышеуказанных условий не выполняется, теорема о среднем значении в общем случае неверна и поэтому не может быть применена.

Необходимость первого условия можно увидеть из контрпримера, где функция на [-1,1] не дифференцируема. ${\displaystyle f(x)=|x|}$

Необходимость второго условия можно увидеть из контрпримера, где функция удовлетворяет критерию 1, поскольку для , но не критерию 2, поскольку и для всех , поэтому такого не существует. $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{at }}x=0\\0,&{\text{if }}x\in (0,1]\end{cases}}}$$ ${\displaystyle f'(x)=0}$ ${\displaystyle (0,1)}$ $${\displaystyle {\frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1}$$ ${\displaystyle -1\neq 0=f'(x)}$ ${\displaystyle x\in (0,1)}$ ${\displaystyle c}$

Теорема ложна, если дифференцируемая функция является комплекснозначной, а не вещественнозначной. Например, если для всех вещественных , то тогда как для любых вещественных . ${\displaystyle f(x)=e^{xi}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)}$$ ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x}$

Теоремы о среднем значении для определенных интегралов

Первая теорема о среднем значении для определенных интегралов

Геометрически: интерпретируя f(c) как высоту прямоугольника, а b – a как ширину, этот прямоугольник имеет ту же площадь, что и область под кривой от a до b ^[11]

Пусть f  : [ a , b ] → R — непрерывная функция. Тогда существует c из ( a , b ) такое, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).}$

Это следует сразу из основной теоремы исчисления , вместе с теоремой о среднем значении для производных. Поскольку среднее значение f на [ a , b ] определяется как

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

мы можем интерпретировать вывод как f достигает своего среднего значения при некотором c в ( a , b ). ^[12]

В общем случае, если f  : [ a , b ] → R непрерывна, а g — интегрируемая функция, не меняющая знак на [ a , b ], то существует c из ( a , b ) такое, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Вторая теорема о среднем значении для определенных интегралов

Существуют несколько немного отличающихся теорем, называемых второй теоремой о среднем значении для определенных интегралов . Наиболее часто встречающаяся версия выглядит следующим образом:

Если — положительная монотонно убывающая функция и — интегрируемая функция, то существует число x из ( a , b ] такое, что ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.}$

Здесь обозначает , существование которого следует из условий. Обратите внимание, что существенно, чтобы интервал ( a , b ] содержал b . Вариант, не имеющий этого требования: ^[13] ${\displaystyle G(a^{+})}$ ${\textstyle {\lim _{x\to a^{+}}G(x)}}$

Если — монотонная (не обязательно убывающая и положительная) функция и — интегрируемая функция, то существует число x из ( a , b ) такое, что ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.}$

Если функция возвращает многомерный вектор, то MVT для интегрирования неверен, даже если область определения также многомерна. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Например, рассмотрим следующую двумерную функцию, определенную на -мерном кубе: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}}$

Тогда, по симметрии, легко видеть, что среднее значение по его области определения равно (0,0): ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)}$

Однако нет смысла в этом , потому что везде. ${\displaystyle G=(0,0)}$ ${\displaystyle |G|=1}$

Обобщения

Линейная алгебра

Предположим, что и являются дифференцируемыми функциями на , которые непрерывны на . Определим ${\displaystyle f,g,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

Существует такое, что . ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle D'(c)=0}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

и если мы подставим , то получим теорему Коши о среднем значении . Если мы подставим и , то получим теорему Лагранжа о среднем значении . ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle g(x)=x}$

Доказательство обобщения довольно простое: каждый из и — определители с двумя одинаковыми строками, следовательно , . Из теоремы Ролля следует, что существует такое, что . ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle D(b)}$ ${\displaystyle D(a)=D(b)=0}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle D'(c)=0}$

Теория вероятностей

Пусть X и Y — неотрицательные случайные величины , такие, что E[ X ] < E[ Y ] < ∞ и (т.е. X меньше Y в обычном стохастическом порядке ). Тогда существует абсолютно непрерывная неотрицательная случайная величина Z, имеющая функцию плотности вероятности ${\displaystyle X\leq _{st}Y}$

${\displaystyle f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.}$

Пусть g — измеримая и дифференцируемая функция , такая что E[ g ( X )], E[ g ( Y )] < ∞, и пусть ее производная g′ измерима и интегрируема по Риману на интервале [ x , y ] для всех y ≥ x ≥ 0. Тогда E[ g′ ( Z )] конечна и ^[14]

${\displaystyle {\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].}$

Комплексный анализ

Как отмечено выше, теорема не верна для дифференцируемых комплекснозначных функций. Вместо этого формулируется обобщение теоремы: ^[15]

Пусть f  : Ω → C — голоморфная функция на открытом выпуклом множестве Ω, и пусть a и b — различные точки в Ω. Тогда существуют точки u , v на внутренней стороне отрезка прямой от a до b такие, что

${\displaystyle \operatorname {Re} (f'(u))=\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (f'(v))=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).}$

Где Re() — действительная часть, а Im() — мнимая часть комплексной функции.

Смотрите также

• Метод Ньюмарка-бета
• Теорема о среднем значении (разделенные разности)
• Принцип гоночной трассы
• Столярский средний

Примечания

1. Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (2000). Парамешвара, архив истории математики Мактьютора .
2. Адам Бесеньей. «Историческое развитие теоремы о среднем значении» (PDF) .
3. Лосада-Крус, Герман (2020-10-02). «Некоторые варианты теоремы Коши о среднем значении». Международный журнал математического образования в науке и технике . 51 (7): 1155–1163. Bibcode : 2020IJMES..51.1155L. doi : 10.1080/0020739X.2019.1703150. ISSN  0020-739X. S2CID  213335491.
4. Sahoo, Prasanna. (1998). Теоремы о среднем значении и функциональные уравнения. Riedel, T. (Thomas), 1962-. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-3544-5. OCLC  40951137.
5. Рудин 1976, стр. 108.
6. W., Weisstein, Eric. "Расширенная теорема о среднем значении". mathworld.wolfram.com . Получено 08.10.2018 .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Рудин 1976, стр. 107–108.
8. "Теорема Коши о среднем значении". Math24 . Получено 2018-10-08 .
9. Рудин 1976, стр. 113.
10. Хёрмандер 2015, Теорема 1.1.1. и замечание после нее.
11. "Mathwords: Теорема о среднем значении для интегралов". www.mathwords.com .
12. Майкл Коменец (2002). Исчисление: Элементы . World Scientific. стр. 159. ISBN 978-981-02-4904-5.
13. Hobson, EW (1909). «О второй теореме о среднем значении интегрального исчисления». Proc. London Math. Soc. S2–7 (1): 14–23. Bibcode :1909PLMS...27...14H. doi :10.1112/plms/s2-7.1.14. MR  1575669.
14. Ди Крещенцо, А. (1999). «Вероятностный аналог теоремы о среднем значении и ее применение в теории надежности». J. Appl. Probab. 36 (3): 706–719. doi :10.1239/jap/1032374628. JSTOR  3215435. S2CID  250351233.
15. 1 Дж.-К. Эвард, Ф. Джафари, Комплексная теорема Ролля, American Mathematical Monthly, т. 99, выпуск 9 (ноябрь 1992 г.), стр. 858-861.

Ссылки

• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Окленд: McGraw-Hill Publishing Company. ISBN 978-0-07-085613-4.
• Хермандер, Ларс (2015), Анализ линейных частных дифференциальных операторов I: Теория распределений и анализ Фурье , Классика математики (2-е изд.), Springer, ISBN 9783642614972

Внешние ссылки

• «Теорема Коши», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• PlanetMath: Теорема о среднем значении
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема о среднем значении". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Коши о среднем значении». MathWorld .
• «Теорема о среднем значении: интуиция, лежащая в основе теоремы о среднем значении» в Академии Хана