Аликвотная сумма

В теории чисел аликвотная сумма $s (n)$ положительного целого числа $n$ — это сумма всех собственных делителей числа $n$ , то есть всех делителей числа $n$ , отличных от самого $числа n$ . То есть, $s(n)=\sum _{{d|n,} \atop {d\neq n}}d\,.$

Его можно использовать для характеристики простых чисел , совершенных чисел , общительных чисел , недостаточных чисел , избыточных чисел и неприкасаемых чисел , а также для определения аликвотной последовательности числа.

Примеры

Например, собственные делители числа 12 (то есть положительные делители числа 12, которые не равны 12) — это 1, 2, 3, 4 и 6, поэтому аликвотная сумма числа 12 равна 16, то есть ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ).

Значения $s (n)$ для $n$ = 1, 2, 3, ... равны:

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (последовательность A001065 в OEIS )

Характеристика классов чисел

Функцию аликвотной суммы можно использовать для характеристики нескольких примечательных классов чисел:

1 — единственное число, аликвотная сумма которого равна 0.
Число является простым тогда и только тогда, когда его кратная сумма равна 1. ^[1]
Аликвотные суммы совершенных , недостаточных и избыточных чисел равны, меньше и больше самого числа соответственно. ^[1] Квазисовершенные числа (если такие числа существуют) — это числа $n$ , аликвотные суммы которых равны $n + 1.$ Почти совершенные числа (которые включают степени числа 2, будучи единственными известными такими числами на данный момент) — это числа $n,$ аликвотные суммы которых равны $n - 1$ .
Неприкасаемые числа — это числа, которые не являются кратной суммой любого другого числа. Их изучение восходит по крайней мере к Абу Мансуру аль-Багдади (около 1000 г. н. э.), который заметил, что и 2, и 5 являются неприкасаемыми. ^[1]^[2] Пауль Эрдёш доказал, что их число бесконечно. ^[3] Гипотеза о том, что 5 — единственное нечётное неприкасаемое число, остаётся недоказанной, но вытекает из формы гипотезы Гольдбаха вместе с наблюдением, что для полупростого числа $pq$ кратная сумма равна $p + q + 1.$ ^[1 ]

Математики Поллак и Померанс (2016) отметили, что одним из «любимых предметов исследования» Эрдёша была функция аликвотной суммы.

Итерация

Итерация функции аликвотной суммы создает аликвотную последовательность $n, s (n), s (s (n)), \dots$ неотрицательного целого числа $n$ (в этой последовательности мы определяем $s (0) = 0$ ).

Общительные числа — это числа, аликвотная последовательность которых является периодической последовательностью . Дружественные числа — это общительные числа, аликвотная последовательность которых имеет период 2.

Остается неизвестным, всегда ли эти последовательности заканчиваются простым числом , совершенным числом или периодической последовательностью общительных чисел. ^[4]

Смотрите также

Функция суммы положительных делителей , сумма ( $x$ -ых степеней) положительных делителей числа.
Уильям Обериве , средневековый нумеролог, интересовавшийся аликвотными суммами

Ссылки

^ abcd Поллак, Пол; Померанс, Карл (2016), «Некоторые проблемы Эрдёша о функции суммы делителей», Труды Американского математического общества , Серия B, 3 : 1–26, doi : 10.1090/btran/10 , MR 3481968
^ Sesiano, J. (1991), «Две проблемы теории чисел во времена ислама», Архив истории точных наук , 41 (3): 235–238, doi :10.1007/BF00348408, JSTOR 41133889, MR 1107382, S2CID 115235810
^ Эрдёс, П. (1973), "Über die Zahlen der Form σ ( п ) - п {\ displaystyle \ sigma (n)-n} und n - φ ( n ) {\ displaystyle n- \ phi (n)} ( PDF ) , Elemente der Mathematik , 28 : 83–86, MR 0337733
^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Каталана о последовательности аликвот». MathWorld .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Ограниченная функция делителя». MathWorld .