Гомотопические группы сфер

В математической области алгебраической топологии гомотопические группы сфер описывают, как сферы различных размерностей могут оборачиваться друг вокруг друга. Они являются примерами топологических инвариантов , которые отражают, в алгебраических терминах, структуру сфер, рассматриваемых как топологические пространства , забывая об их точной геометрии. В отличие от групп гомологии , которые также являются топологическими инвариантами, гомотопические группы на удивление сложны и трудны для вычисления.

Эта картинка имитирует часть расслоения Хопфа, интересное отображение из трехмерной сферы в двумерную сферу. Это отображение является генератором третьей гомотопической группы 2-сферы.

n -мерная единичная сфера — называемая $n$ -сферой для краткости и обозначаемая как $S$ $n$ — обобщает знакомую окружность ( $S$ $1$ ) и обычную сферу ( $S$ $2$ ). $n$ -сфера может быть определена геометрически как множество точек в евклидовом пространстве размерности $n$ $+ 1,$ $расположенных$ на единичном расстоянии от начала координат. $i$ -я гомотопическая группа $π$ $i$ $($ $S$ $n$ $)$ суммирует различные способы, которыми $i$ -мерная сфера $S$ $i$ может быть непрерывно отображена в $n$ -мерную сферу $S$ $n$ . Это резюме не различает два отображения, если одно может быть непрерывно деформировано в другое; таким образом, суммируются только классы эквивалентности отображений. Операция «сложения», определенная на этих классах эквивалентности, превращает множество классов эквивалентности в абелеву группу .

Задача определения $π i (S n)$ распадается на три режима в зависимости от того, меньше ли $i$ , равно или больше $n$ :

Для $0 < i < n$ любое отображение из $S i$ в $S n$ является гомотопным (т. е. непрерывно деформируемым) постоянному отображению, т. е. отображению, которое отображает все $S i$ в одну точку $S n$ . Поэтому гомотопическая группа является тривиальной группой .
Когда $i = n$ , каждое отображение из $S n$ в себя имеет степень , которая измеряет, сколько раз сфера оборачивается вокруг себя. Эта степень идентифицирует гомотопическую группу $π n (S n)$ с группой целых чисел при сложении. Например, каждая точка на окружности может быть отображена непрерывно на точку другой окружности; когда первая точка перемещается по первой окружности, вторая точка может циклически обходить вторую окружность несколько раз, в зависимости от конкретного отображения.
Наиболее интересные и удивительные результаты возникают, когда $i > n$ . Первым таким сюрпризом стало открытие отображения, называемого расслоением Хопфа , которое оборачивает 3-сферу $S 3$ вокруг обычной сферы $S 2$ нетривиальным образом и, таким образом, не эквивалентно одноточечному отображению.

Вопрос вычисления гомотопической группы $π n + k (S n)$ для положительного $k$ оказался центральным вопросом в алгебраической топологии, который способствовал развитию многих ее фундаментальных методов и послужил стимулирующим фокусом исследований. Одним из главных открытий является то, что гомотопические группы $π n + k (S n)$ не зависят от $n$ при $n \geq k + 2$ . Они называются стабильными гомотопическими группами сфер и были вычислены для значений $k$ до 90. ^[1] Стабильные гомотопические группы образуют кольцо коэффициентов необычной теории когомологий , называемой стабильной когомотопической теорией . Нестабильные гомотопические группы (для $n < k + 2$ ) более нестабильны; тем не менее, они были табулированы для $k < 20.$ Большинство современных вычислений используют спектральные последовательности , технику, впервые примененную к гомотопическим группам сфер Жаном-Пьером Серром . Было установлено несколько важных закономерностей, однако многое остается неизвестным и необъясненным.

Фон

Изучение гомотопических групп сфер строится на большом количестве фонового материала, который здесь кратко рассмотрен. Алгебраическая топология обеспечивает более широкий контекст, который сам по себе построен на топологии и абстрактной алгебре , с гомотопическими группами в качестве базового примера.

н-сфера

Обычная сфера в трехмерном пространстве — поверхность, а не сплошной шар — это всего лишь один пример того, что означает сфера в топологии. Геометрия определяет сферу жестко, как форму. Вот несколько альтернатив.

Неявная поверхность : $x 20 + х 21 + х 22 = 1$

Это множество точек в трехмерном евклидовом пространстве , найденное точно на расстоянии одной единицы от начала координат. Оно называется 2-сферой,

S 2

, по причинам, указанным ниже. Та же идея применима для любого измерения

n

; уравнение

x 20 + х 21 + \dots + х 2 н = 1

производит

n

-сферу как геометрический объект в (

n + 1

)-мерном пространстве. Например, 1-сфера

S 1

является окружностью . ^[2]

Диск со сплющенным ободом : в топологии записывается как $D 2 / S 1$

Эта конструкция переходит от геометрии к чистой топологии. Диск

D 2

— это область, содержащаяся в окружности, описываемая неравенством

x 20 + х 21 \leq 1

, а его ободом (или « границей ») является окружность

S 1

, описываемая равенством

x 20 + х 21 = 1.

Если проколоть воздушный шар и расправить его, получится диск; эта конструкция чинит прокол, как если бы мы натягивали шнурок. Косая черта , произносимая как «по модулю», означает взять топологическое пространство слева (диск) и объединить в нем все точки справа (круг). Область двумерна, поэтому топология называет полученное топологическое пространство двумерной сферой. Обобщенно,

D n / S n -1

производит

S n

. Например,

D 1

— это отрезок прямой , а конструкция соединяет его концы, чтобы получилась окружность. Эквивалентное описание заключается в том, что граница

n

-мерного диска приклеивается к точке, создавая комплекс CW . ^[3]

Подвеска экватора : в топологии записывается как $Σ S 1$

Эта конструкция, хотя и простая, имеет большое теоретическое значение. Возьмем окружность

S 1

в качестве экватора и проведем каждую ее точку к одной точке выше (Северный полюс),

получив

северное полушарие, и к одной точке ниже (Южный полюс), получив южное полушарие. Для каждого положительного целого числа

n

n -сфера

x

20 + х 21 + \dots + х 2 н = 1

имеет в качестве экватора (

n - 1

)-сферу

x 20 + х 21 + \dots + х 2 n -1 = 1

, а подвеска

Σ S n -1

производит

S n

. ^[4]

Некоторые теории требуют выбора фиксированной точки на сфере, называя пару $(сфера, точка)$ заостренной сферой . Для некоторых пространств выбор имеет значение, но для сферы все точки эквивалентны, поэтому выбор является вопросом удобства. ^[5] Для сфер, построенных как повторяющаяся подвеска, точка $(1, 0, 0, ..., 0)$ , которая находится на экваторе всех уровней подвески, подходит хорошо; для диска со сплющенным ободом точка, полученная в результате сплющивания обода, является другим очевидным выбором.

Гомотопическая группа

Отличительной чертой топологического пространства является его структура непрерывности, формализованная в терминах открытых множеств или окрестностей . Непрерывное отображение — это функция между пространствами, которая сохраняет непрерывность. Гомотопия — это непрерывный путь между непрерывными отображениями; два отображения, соединенные гомотопией, называются гомотопными. ^[6] Идея, общая для всех этих концепций, заключается в отбрасывании вариаций, которые не влияют на интересующие результаты. Важным практическим примером является теорема о вычетах комплексного анализа , где «замкнутые кривые» являются непрерывными отображениями из окружности в комплексную плоскость, и где две замкнутые кривые дают один и тот же интегральный результат, если они гомотопны в топологическом пространстве, состоящем из плоскости за вычетом точек сингулярности. ^[7]

Первая гомотопическая группа, или фундаментальная группа , $π 1 (X)$ ( связанного по пути ) топологического пространства $X,$ таким образом, начинается с непрерывных отображений из пунктированной окружности $(S 1, s)$ в пунктированное пространство $(X, x)$ , где отображения из одной пары в другую отображают $s$ в $x$ . Эти отображения (или, что эквивалентно, замкнутые кривые ) группируются вместе в классы эквивалентности на основе гомотопии (сохраняя «базовую точку» $x$ фиксированной), так что два отображения находятся в одном классе, если они гомотопны. Так же, как выделяется одна точка, выделяется и один класс: все отображения (или кривые), гомотопные постоянному отображению $S 1 \mapsto x ,$ называются нулевыми гомотопными. Классы становятся абстрактной алгебраической группой с введением сложения, определяемого с помощью «экваторного пинча». Этот пинч отображает экватор заостренной сферы (здесь окружность) в выделенную точку, создавая « букет сфер » — две заостренные сферы, соединенные в выделенной точке. Две карты, которые нужно сложить, отображают верхнюю и нижнюю сферы по отдельности, согласуясь с выделенной точкой, а композиция с пинчем дает суммарную карту. ^[8]

В более общем случае $i$ -я гомотопическая группа, $π i (X)$ начинается с заостренной $i$ -сферы $(S i, s)$ , а в остальном следует той же процедуре. Нулевой гомотопический класс действует как тождество группового сложения, и для $X,$ равного $S n$ (для положительных $n$ ) — гомотопические группы сфер — группы являются абелевыми и конечно порожденными . Если для некоторого $i$ все отображения являются нулевыми гомотопическими, то группа $π i$ состоит из одного элемента и называется тривиальной группой .

Непрерывное отображение между двумя топологическими пространствами индуцирует групповой гомоморфизм между связанными гомотопическими группами. В частности, если отображение является непрерывной биекцией ( гомеоморфизмом ), так что два пространства имеют одинаковую топологию, то их $i$ -ые гомотопические группы изоморфны для всех $i$ . Однако действительная плоскость имеет точно такие же гомотопические группы, как и одиночная точка (как и евклидово пространство любой размерности), а действительная плоскость с удаленной точкой имеет те же группы, что и окружность, поэтому одних групп недостаточно для различения пространств. Хотя потеря дискриминационной способности досадна, она также может облегчить некоторые вычисления. ^{[ необходима цитата ]}

Примеры малой размерности

Низкоразмерные примеры гомотопических групп сфер дают представление о предмете, поскольку эти особые случаи можно визуализировать в обычном трехмерном пространстве. Однако такие визуализации не являются математическими доказательствами и не охватывают возможную сложность отображений между сферами.

π 1 ( S 1 ) = Z

Самый простой случай касается способов, которыми круг (1-сфера) может быть обернут вокруг другого круга. Это можно визуализировать, обернув резинку вокруг пальца: ее можно обернуть один, два, три раза и так далее. Обертывание может быть в любом из двух направлений, а обертывания в противоположных направлениях будут отменяться после деформации. Таким образом, гомотопическая группа $π 1 (S 1)$ является бесконечной циклической группой и изоморфна группе $Z$ целых чисел по сложению: гомотопический класс идентифицируется с целым числом путем подсчета количества раз, которое отображение в гомотопическом классе обертывается вокруг круга. Это целое число также можно рассматривать как число оборотов петли вокруг начала координат на плоскости . ^[9]

Отождествление ( групповой изоморфизм ) гомотопической группы с целыми числами часто записывается в виде равенства: таким образом, $π 1 (S 1) = Z$ . ^[10]

π 2 ( S 2 ) = Z

Отображения из 2-сферы в 2-сферу можно визуализировать как обертывание пластикового пакета вокруг шара и его последующее запечатывание. Запечатанный пакет топологически эквивалентен 2-сфере, как и поверхность шара. Пакет можно обернуть более одного раза, скручивая его и обертывая его обратно вокруг шара. (Нет требования, чтобы непрерывное отображение было инъективным , и поэтому пакет может проходить через себя.) Скручивание может быть в одном из двух направлений, и противоположные скручивания могут компенсироваться деформацией. Общее количество скручиваний после отмены является целым числом, называемым степенью отображения . Как и в случае отображений из окружности в окружность, эта степень идентифицирует гомотопическую группу с группой целых чисел, $Z$ . ^{[ необходима цитата ]}

Эти два результата обобщаются: для всех $n > 0$ π $n (S n) = Z$ (см. ниже).

π 1 ( S 2 ) = 0

Гомотопия от окружности вокруг сферы до одной точки

Любое непрерывное отображение из окружности в обычную сферу может быть непрерывно деформировано до отображения с одной точкой, и поэтому его гомотопический класс тривиален. Один из способов наглядно представить это — представить себе резиновую ленту, обернутую вокруг мяча без трения: лента всегда может быть соскользнута с мяча. Таким образом, гомотопическая группа является тривиальной группой , содержащей только один элемент, единичный элемент, и поэтому ее можно отождествить с подгруппой Z $,$ состоящей только из числа ноль. Эту группу часто обозначают как 0. Однако, чтобы показать это строго, требуется больше внимания из-за существования заполняющих пространство кривых . ^[11]

Этот результат обобщается на более высокие измерения. Все отображения из сферы меньшей размерности в сферу большей размерности также тривиальны: если $i < n$ , то $π i (S n) = 0$ . Это можно показать как следствие теоремы о клеточной аппроксимации . ^[12]

π2 ( S1 ) = 0

Все интересные случаи гомотопических групп сфер включают отображения из сферы большей размерности на сферу меньшей размерности. К сожалению, единственный пример, который можно легко визуализировать, неинтересен: не существует нетривиальных отображений из обычной сферы в окружность. Следовательно, $π 2 (S 1) = 0$ . Это происходит потому, что $S 1$ имеет вещественную прямую в качестве своего универсального покрытия , которое является стягиваемым (имеет гомотопический тип точки). Кроме того, поскольку $S 2$ односвязно, по критерию подъема ^[13] любое отображение из $S 2$ в $S 1$ может быть поднято до отображения в вещественную прямую, и нулевая гомотопия спускается в нижнее пространство (через композицию).

π3 ( S2 ) = Z

Первый нетривиальный пример с $i > n$ касается отображений из 3-сферы в обычную 2-сферу и был открыт Хайнцем Хопфом , который построил нетривиальное отображение из $S 3$ в $S 2$ , теперь известное как расслоение Хопфа . ^[14] Это отображение порождает гомотопическую группу $π 3 (S 2) = Z$ . ^[15]

История

В конце 19 века Камиль Жордан ввел понятие гомотопии и использовал понятие гомотопической группы, не прибегая к языку теории групп. ^[16] Более строгий подход был принят Анри Пуанкаре в его серии статей 1895 года Analysis situs , где также были введены связанные понятия гомологии и фундаментальной группы . ^[17]

Высшие гомотопические группы были впервые определены Эдуардом Чехом в 1932 году. ^[18] (Его первая статья была отозвана по совету Павла Сергеевича Александрова и Хайнца Хопфа на том основании, что группы были коммутативными, поэтому не могли быть правильными обобщениями фундаментальной группы.) Витольду Гуревичу также приписывают введение гомотопических групп в его статье 1935 года, а также теорему Гуревича , которая может быть использована для вычисления некоторых групп. ^[19] Важным методом вычисления различных групп является концепция стабильной алгебраической топологии, которая находит свойства, не зависящие от размерностей. Обычно они справедливы только для больших размерностей. Первым таким результатом была теорема Ганса Фрейденталя о подвеске , опубликованная в 1937 году. Стабильная алгебраическая топология процветала в период с 1945 по 1966 год со многими важными результатами. ^[19] В 1953 году Джордж У. Уайтхед показал, что существует метастабильный диапазон для гомотопических групп сфер. Жан-Пьер Серр использовал спектральные последовательности , чтобы показать, что большинство этих групп конечны, за исключением $π$ $n$ $($ $S$ $n$ $)$ и $π$ $4$ $n$ $-1$ $($ $S$ $2$ $n$ $)$ . Другие, кто работал в этой области, включали Хосе Адема , Хироши Тоду , Фрэнка Адамса , Дж. Питера Мэя , Марка Маховальда , Дэниела Исаксена, Гочжэня Ванга и Чжоули Сюй . Стабильные гомотопические группы $π$ $n$ $+$ $k$ $($ $S$ $n$ $)$ известны для $k$ до 90 и, по состоянию на 2023 год, неизвестны для больших $k$ . ^[1]

Общая теория

Как уже отмечалось, когда $i$ меньше $n$ , $π i (S n) = 0$ , тривиальная группа . Причина в том, что непрерывное отображение из $i$ -сферы в $n$ -сферу с $i < n$ всегда можно деформировать так, чтобы оно не было сюръективным . Следовательно, его образ содержится в $S n$ с удаленной точкой; это стягиваемое пространство , и любое отображение в такое пространство можно деформировать в одноточечное отображение. ^[12]

Случай $i = n$ также уже был отмечен и является простым следствием теоремы Гуревича : эта теорема связывает гомотопические группы с гомологическими группами , которые, как правило, легче вычислить; в частности, она показывает, что для односвязного пространства X первая ненулевая гомотопическая группа $π k (X)$ с $k > 0$ изоморфна первой ненулевой гомологической группе $H k (X)$ . Для $n$ -сферы это немедленно означает, что для $n \geq 2$ $π n (S n) = H n (S n) = Z$ . ^{[ требуется цитата ]}

Группы гомологий $H i (S n)$ , при $i > n$ , все тривиальны. Поэтому исторически стало большой неожиданностью, что соответствующие гомотопические группы не являются тривиальными в общем случае. Это тот случай, который имеет реальное значение: высшие гомотопические группы $π i (S n)$ , при $i > n$ , удивительно сложны и трудны для вычисления, и попытки их вычисления породили значительное количество новой математики. ^{[ необходима цитата ]}

Стол

Следующая таблица дает представление о сложности высших гомотопических групп даже для сфер размерности 8 или меньше. В этой таблице записи представляют собой либо a) тривиальную группу 0, бесконечную циклическую группу $Z$ , b) конечные циклические группы порядка $n$ (записываются как $Z n$ ), либо c) прямые произведения таких групп (записываются, например, как $Z 24 \timesZ 3$ или $Z 22 = Z 2 \timesZ 2$ ). Расширенные таблицы гомотопических групп сфер приведены в конце статьи.

Первая строка этой таблицы проста. Гомотопические группы $π i (S 1)$ 1-сферы тривиальны для $i > 1$ , поскольку универсальное накрывающее пространство , , имеющее те же самые высшие гомотопические группы, является стягиваемым. ^[20] $\mathbb {R}$

За пределами первой строки высшие гомотопические группы ( $i > n$ ) кажутся хаотичными, но на самом деле существует множество закономерностей, некоторые из которых очевидны, а некоторые очень тонкие.

Группы, расположенные ниже черной зубчатой линии, постоянны вдоль диагоналей (на что указывает красная, зеленая и синяя окраска).
Большинство групп конечны. Единственные бесконечные группы находятся либо на главной диагонали, либо непосредственно над зубчатой линией (выделены желтым).
Вторая и третья строки таблицы одинаковы, начиная с третьего столбца (т.е. $π i (S 2) = π i (S 3)$ для $i$ $\geq 3$ ). Этот изоморфизм индуцируется расслоением Хопфа $S$ $3$ $\to$ $S$ $2$ .
Для $n = 2, 3, 4, 5$ и $i \geq n$ гомотопические группы $π i (S n)$ не обращаются в нуль. Однако $π n +4 (S n) = 0$ для $n \geq 6$ .

Эти закономерности вытекают из множества различных теоретических результатов. ^{[ необходима цитата ]}

Стабильные и нестабильные группы

Тот факт, что группы, расположенные ниже ломаной линии в таблице выше, постоянны вдоль диагоналей, объясняется теоремой о подвеске Ганса Фрейденталя , которая подразумевает, что гомоморфизм подвески из $π n + k (S n)$ в $π n + k +1 (S n +1)$ является изоморфизмом для $n > k + 1.$ Группы $π n + k (S n)$ с $n > k + 1$ называются стабильными гомотопическими группами сфер и обозначаются $π С к$ : они являются конечными абелевыми группами при $k \neq 0$ и были вычислены во многих случаях, хотя общая закономерность все еще неуловима. ^[21] Для $n \leq k +1$ группы называются нестабильными гомотопическими группами сфер . ^{[ требуется ссылка ]}

Хопфовы волокнистости

Классическое расслоение Хопфа представляет собой расслоение волокон :

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}.

Общая теория расслоений $F \to E \to B$ показывает, что существует длинная точная последовательность гомотопических групп

\cdots \to \пи _{i}(F)\to \пи _{i}(E)\to \пи _{i}(B)\to \пи _{i-1}(F)\to \cdots .

Для этого конкретного расслоения каждый гомоморфизм групп $π i (S 1) \to π i (S 3)$ , индуцированный включением $S 1 \to S 3$ , отображает все $π i (S 1)$ в ноль, поскольку сфера меньшей размерности $S 1$ может быть деформирована в точку внутри сферы большей размерности $S 3$ . Это соответствует исчезновению $π 1 (S 3)$ . Таким образом, длинная точная последовательность распадается на короткие точные последовательности ,

0\rightarrow \пи _{i}(S^{3})\rightarrow \пи _{i}(S^{2})\rightarrow \пи _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.

Поскольку $S n +1$ является подвеской S $n$ , эти последовательности расщепляются гомоморфизмом подвески $π$ $i$ $-1$ $($ $S$ $1$ $) \to π$ $i$ $($ $S$ $2$ $) ,$ $что$ дает изоморфизмы

\пи _{i}(S^{2})=\пи _{i}(S^{3})\oplus \пи _{i-1}(S^{1}).

Поскольку $π i -1 (S 1)$ обращается в нуль при $i$ не менее 3, первая строка показывает, что $π i (S 2)$ и $π i (S 3)$ изоморфны, если $i$ не менее 3, как отмечено выше.

Расслоение Хопфа можно построить следующим образом: пары комплексных чисел $(z 0, z 1)$ с $| z 0 | 2 + | z 1 | 2 = 1$ образуют 3-сферу, а их отношения $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠z 0/з 1⁠$ покрывают комплексную плоскость плюс бесконечность , 2-сферу. Отображение Хопфа $S 3 \to S 2$ переводит любую такую пару в ее отношение.^{[ необходима цитата ]}

Аналогично (в дополнение к расслоению Хопфа , где проекция расслоения является двойным накрытием), существуют обобщенные расслоения Хопфа $S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}$

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

построены с использованием пар кватернионов или октонионов вместо комплексных чисел. ^[22] Здесь также $π 3 (S 7)$ и $π 7 (S 15)$ равны нулю. Таким образом, длинные точные последовательности снова распадаются на семейства разделенных коротких точных последовательностей, подразумевая два семейства отношений.

\пи _{i}(S^{4})=\пи _{i}(S^{7})\oplus \пи _{i-1}(S^{3}),

\пи _{i}(S^{8})=\пи _{i}(S^{15})\oplus \пи _{i-1}(S^{7}).

Три расслоения имеют базовое пространство $S n$ с $n = 2 m$ , для $m = 1, 2, 3$ . Расслоение существует для $S 1$ ( $m = 0$ ), как упоминалось выше, но не для $S 16$ ( $m = 4$ ) и далее. Хотя обобщения соотношений к $S 16$ часто верны, иногда они неверны; например,

\pi _{30}(S^{16})\neq \pi _{30}(S^{31})\oplus \pi _{29}(S^{15}).

Таким образом, не может быть никакого волокнообразования.

S^{15}\hookrightarrow S^{31}\rightarrow S^{16},

первый нетривиальный случай проблемы инварианта Хопфа один, поскольку такое расслоение означало бы, что нарушенное отношение истинно. ^{[ необходима цитата ]}

Обрамленный кобордизм

Гомотопические группы сфер тесно связаны с классами кобордизма многообразий. В 1938 году Лев Понтрягин установил изоморфизм между гомотопической группой $π n + k (S n)$ и группой $Ω обрамленный к (S n + k)$ классов кобордизмов дифференцируемых $k$ -подмногообразий $S n + k$ , которые "оснащены", т.е. имеют тривиализированное нормальное расслоение . Каждое отображение $f : S n + k \to S n$ гомотопно дифференцируемому отображению с $M k = f -1 (1, 0, ..., 0) \subset S n + k$ оснащенным $k$ -мерным подмногообразием. Например, $π n (S n) = Z$ является группой кобордизмов оснащенных 0-мерных подмногообразий $S n$ , вычисляемой алгебраической суммой их точек, соответствующей степени отображений f $: S n \to S n .$ Проекция расслоения Хопфа $S 3 \to S 2$ представляет собой генератор $π 3 (S 2) = Ω в рамке 1 (S 3) = Z$ , что соответствует оснащенному 1-мерному подмногообразию $S 3 ,$ определенному стандартным вложением $S 1 \subset S 3$ с нестандартной тривиализацией нормального 2-плоскостного расслоения. До появления более сложных алгебраических методов в начале 1950-х годов (Серр) изоморфизм Понтрягина был основным инструментом для вычисления гомотопических групп сфер. В 1954 году изоморфизм Понтрягина был обобщен Рене Томом до изоморфизма, выражающего другие группы классов кобордизмов (например, всех многообразий) как гомотопические группы пространств и спектров . В более поздних работах аргумент обычно меняет направление, при этом группы кобордизмов вычисляются в терминах гомотопических групп. ^[23]

Конечность и кручение

В 1951 году Жан-Пьер Серр показал, что гомотопические группы сфер все конечны, за исключением тех, которые имеют вид $π n (S n)$ или $π 4 n -1 (S 2 n)$ (для положительных $n$ ), когда группа является произведением бесконечной циклической группы на конечную абелеву группу. ^[24] В частности, гомотопические группы определяются их $p$ -компонентами для всех простых чисел $p$ . 2-компоненты вычислить сложнее всего, и во многих отношениях они ведут себя иначе, чем $p$ -компоненты для нечетных простых чисел. ^{[ необходима цитата ]}

В той же статье Серр нашел первое место, где $p$ -кручение встречается в гомотопических группах $n-$ мерных сфер, показав, что $π n + k (S n)$ не имеет $p$ -кручения , если $k < 2 p - 3$ , и имеет единственную подгруппу порядка $p ,$ если $n \geq 3$ и $k = 2 p - 3$ . Случай 2-мерных сфер немного отличается: первое $p$ -кручение происходит при $k = 2 p - 3 + 1$ . В случае нечетного кручения есть более точные результаты; в этом случае существует большая разница между нечетными и четными размерными сферами. Если $p$ - нечетное простое число и $n = 2 i$ $+$ $1$ , то элементы $p$ -компоненты π $n$ $+$ $k$ $($ $S$ $n$ $)$ имеют порядок не более $p$ $i$ . ^[25] Это в некотором смысле наилучший возможный результат, поскольку известно, что эти группы имеют элементы этого порядка для некоторых значений $k$ . ^[26] Более того, в этом случае устойчивый диапазон может быть расширен: если $n$ нечетно, то двойная подвеска от $π$ $k$ $($ $S$ $n$ $)$ до $π$ $k$ $+2$ $($ $S$ $n$ $+2$ $)$ является изоморфизмом $p$ -компонент, если $k$ $<$ $p$ $($ $n$ $+$ $1) - 3$ , и эпиморфизмом, если имеет место равенство. ^[27] P -кручение промежуточной группы $π$ $k$ $+1$ $($ $S$ $n$ $+1$ $)$ может быть строго больше. ^[^{необходима цитата}^]

Приведенные выше результаты о нечетном кручении справедливы только для нечетномерных сфер: для четномерных сфер расслоение Джеймса дает кручение при нечетных простых числах $p$ в терминах кручения нечетномерных сфер,

\pi _{2m+k}(S^{2m})(p)=\pi _{2m+k-1}(S^{2m-1})(p)\oplus \pi _{ 2m+k}(S^{4m-1})(p)

(где $(p)$ означает взять $p$ -компоненту). ^[28] Эта точная последовательность похожа на те, что исходят из расслоения Хопфа; разница в том, что она работает для всех четномерных сфер, хотя и за счет игнорирования 2-кручения. Объединение результатов для нечетномерных и четномерных сфер показывает, что большая часть нечетного кручения нестабильных гомотопических групп определяется нечетным кручением стабильных гомотопических групп. ^{[ необходима цитата ]}

Для стабильных гомотопических групп есть более точные результаты о $p$ -кручении. Например, если $k < 2 p (p - 1) - 2$ для простого $p$ , то $p$ -примарная компонента стабильной гомотопической группы $π С к$ обращается в нуль, если только $k + 1$ не делится на $2(p - 1)$ , в этом случае он является циклическим порядка $p$ . ^[29]

J-гомоморфизм

Важной подгруппой $π n + k (S n)$ для $k \geq 2$ является образ J-гомоморфизма $J : π k (SO(n)) \to π n + k (S n)$ , где $SO(n)$ обозначает специальную ортогональную группу . ^[30] В стабильном диапазоне $n \geq k + 2$ гомотопические группы $π k (SO(n))$ зависят только от $k (mod 8)$ . Этот шаблон периода 8 известен как периодичность Ботта , и он отражается в стабильных гомотопических группах сфер через образ $J$ -гомоморфизма, который равен:

циклическая группа порядка 2, если $k$ сравнимо с 0 или 1 по модулю 8;
тривиально, если $k$ сравнимо с 2, 4, 5 или 6 по модулю 8; и
циклическая группа порядка, равного знаменателю $⁠$ $В 2 м / 4 м ⁠$ , где $B 2 m$ — число Бернулли , если $k = 4 m - 1 \equiv 3 (mod 4)$ .

Этот последний случай учитывает элементы необычно большого конечного порядка в $π n + k (S n)$ для таких значений $k$ . Например, стабильные группы $π n +11 (S n)$ имеют циклическую подгруппу порядка 504, знаменатель $⁠$ $Б 6 / 12 ⁠ = ⁠ 1 / 504 ⁠$ .^{[ необходима ссылка ]}

Стабильные гомотопические группы сфер являются прямой суммой образа $J$ -гомоморфизма и ядра $e$ -инварианта Адамса, гомоморфизма из этих групп в . Грубо говоря, образ $J$ -гомоморфизма является подгруппой "хорошо понятных" или "легких" элементов стабильных гомотопических групп. Эти хорошо понятные элементы составляют большинство элементов стабильных гомотопических групп сфер в малых размерностях. Частное от $π$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ $С н$ образом $J$ -гомоморфизма считается «жесткой» частью стабильных гомотопических групп сфер (Адамс 1966). (Адамс также ввел некоторые элементы порядка 2 $μ n$ из $π С н$ для $n \equiv 1 или 2 (mod 8)$ , и они также считаются «хорошо понятными».) Таблицы гомотопических групп сфер иногда опускают «легкую» часть $im(J)$ для экономии места. ^{[ необходима цитата ]}

Кольцевая структура

Прямая сумма

\pi _{\ast }^{S}=\bigoplus _{k\geq 0}\pi _{k}^{S}

стабильных гомотопических групп сфер является суперкоммутативным градуированным кольцом , где умножение задается композицией представляющих отображений, а любой элемент ненулевой степени является нильпотентным ; ^[31] теорема о нильпотентности на комплексном кобордизме влечет теорему Нисиды. ^{[ требуется ссылка ]}

Пример: Если $η$ является генератором $π С 1$ (порядка 2), то $η 2$ не равен нулю и порождает $π С 2$ , а $η 3$ не равен нулю и является генератором $π в 12 раз С 3$ , в то время как $η 4$ равен нулю, поскольку группа $π С 4$ тривиально. ^{[ необходима цитата ]}

Если $f$ , $g$ и $h$ являются элементами $π С *$ при $f g = 0$ и $g \cdot h = 0$ существует скобка Тоды $⟨ f, g, h ⟩$ этих элементов. ^[32] Скобка Тоды не совсем элемент стабильной гомотопической группы, потому что она определена только с точностью до добавления произведений некоторых других элементов. Хироши Тода использовал произведение композиции и скобки Тоды для обозначения многих элементов гомотопических групп. Существуют также высшие скобки Тоды нескольких элементов, определяемые, когда подходящие нижние скобки Тоды обращаются в нуль. Это соответствует теории произведений Масси в когомологиях . ^{[ требуется цитирование ]} Каждый элемент стабильной гомотопической группы сфер может быть выражен с помощью произведений композиции и высших скобок Тоды в терминах некоторых хорошо известных элементов, называемых элементами Хопфа. ^[33]

Методы расчета

Если $X$ — любой конечный симплициальный комплекс с конечной фундаментальной группой, в частности, если $X$ — сфера размерности не менее 2, то все ее гомотопические группы являются конечно порожденными абелевыми группами . Чтобы вычислить эти группы, их часто разлагают на их $p$ -компоненты для каждого простого числа $p$ и вычисляют каждую из этих $p$ -групп отдельно. Первые несколько гомотопических групп сфер можно вычислить с помощью специальных вариаций вышеизложенных идей; за пределами этой точки большинство методов вычисления гомотопических групп сфер основаны на спектральных последовательностях . ^[34] Обычно это делается путем построения подходящих расслоений и взятия связанных длинных точных последовательностей гомотопических групп; спектральные последовательности — это систематический способ организации сложной информации, которую генерирует этот процесс. ^{[ требуется ссылка ]}

«Метод уничтожения гомотопических групп», предложенный Картаном и Серром (1952a, 1952b), включает многократное использование теоремы Гуревича для вычисления первой нетривиальной гомотопической группы, а затем уничтожение (исключение) ее с помощью расслоения, включающего пространство Эйленберга–Маклейна . В принципе это дает эффективный алгоритм для вычисления всех гомотопических групп любого конечного односвязного симплициального комплекса, но на практике он слишком громоздкий для вычисления чего-либо, кроме первых нескольких нетривиальных гомотопических групп, поскольку симплициальный комплекс становится намного сложнее каждый раз, когда убивают гомотопическую группу.
Спектральная последовательность Серра использовалась Серром для доказательства некоторых из ранее упомянутых результатов. Он использовал тот факт, что взятие пространства петель хорошо ведущего себя пространства сдвигает все гомотопические группы вниз на 1, так что $n-я$ гомотопическая группа пространства $X$ является первой гомотопической группой его ( $n -1$ )-кратного повторяющегося пространства петель, которая равна первой группе гомологий ( $n -1$ )-кратного повторяющегося пространства петель по теореме Гуревича. Это сводит вычисление гомотопических групп $X$ к вычислению групп гомологий его повторяющихся пространств петель. Спектральная последовательность Серра связывает гомологию пространства с гомологией его пространства петель, поэтому иногда может использоваться для вычисления гомологии пространств петель. Спектральная последовательность Серра имеет тенденцию иметь много ненулевых дифференциалов, которые трудно контролировать, и для высших гомотопических групп возникает слишком много неоднозначностей. В результате он был заменен более мощными спектральными последовательностями с меньшим количеством ненулевых дифференциалов, которые дают больше информации. ^{[ необходима цитата ]}
Спектральная последовательность EHP может быть использована для вычисления многих гомотопических групп сфер; она основана на некоторых расслоениях, использованных Тодой в его вычислениях гомотопических групп. ^[35]^[32]
Классическая спектральная последовательность Адамса имеет член $E 2$ , заданный группами Ext $Ext *,* А (п) (Z p, Z p)$ над mod $p$ алгеброй Стинрода $A (p)$ и сходится к чему-то, тесно связанному с $p$ -компонентой стабильных гомотопических групп. Начальные члены спектральной последовательности Адамса сами по себе довольно трудно вычислить: это иногда делается с использованием вспомогательной спектральной последовательности, называемой спектральной последовательностью Мэя . ^[36]
В нечетных простых числах спектральная последовательность Адамса–Новикова является более мощной версией спектральной последовательности Адамса, заменяющей обычные когомологии mod $p$ на обобщенную теорию когомологий, такую как комплексный кобордизм или, чаще, ее часть, называемую когомологиями Брауна–Петерсона . Начальный член снова довольно сложно вычислить; для этого можно использовать хроматическую спектральную последовательность . ^[37]

Вариация этого последнего подхода использует обратную версию спектральной последовательности Адамса–Новикова для когомологий Брауна–Петерсона: предел известен, а начальные члены включают неизвестные стабильные гомотопические группы сфер, которые пытаемся найти. ^[38]

Спектральная последовательность мотива Адамса сходится к мотивным стабильным гомотопическим группам сфер. Сравнивая мотивную последовательность над комплексными числами с классической, Исаксен дает строгое доказательство вычислений вплоть до 59-стебля. В частности, Исаксен вычисляет, что J Кокера 56-стебля равен 0, и, следовательно, согласно работе Кервера-Милнора, сфера $S 56$ имеет уникальную гладкую структуру. ^[39]

Отображение Кана–Придди индуцирует отображение спектральных последовательностей Адамса из спектра подвески бесконечного действительного проективного пространства в спектр сферы. Оно сюръективно на странице Adams $E 2$ на положительных стеблях. Ван и Сюй разрабатывают метод, использующий отображение Кана–Придди, чтобы вывести дифференциалы Адамса для спектра сферы индуктивно. Они приводят подробные аргументы для нескольких дифференциалов Адамса и вычисляют 60- и 61-стебли. Геометрическим следствием их результата является то, что сфера $S 61$ имеет уникальную гладкую структуру, и она является последней нечетномерной — единственными являются $S 1$ , $S 3$ , $S 5$ и $S 61$ . ^[40]

Метод мотивного коволокна $τ$ на данный момент является наиболее эффективным методом в простом числе 2. Класс $τ$ является отображением между мотивными сферами. Теорема Георге–Вана–Сюя определяет мотивную спектральную последовательность Адамса для коволокна $τ$ как алгебраическую спектральную последовательность Новикова для $BP *$ , что позволяет вывести мотивные дифференциалы Адамса для коволокна $τ$ из чисто алгебраических данных. Затем можно вывести эти мотивные дифференциалы Адамса на мотивную сферу, а затем использовать функтор реализации Бетти, чтобы продвинуть их вперед на классическую сферу. ^[41] Используя этот метод, Исаксен, Ван и Сюй (2023) вычисляют вплоть до 90-стержня. ^[1]

Вычисление гомотопических групп $S 2$ было сведено к вопросу комбинаторной теории групп . Беррик и др. (2006) идентифицируют эти гомотопические группы как определенные факторы групп брунновских кос S $2$ . При этом соответствии каждый нетривиальный элемент в $π$ $n$ $($ $S$ $2$ $)$ для $n$ $> 2$ может быть представлен брунновской косой над $S$ $2$ $, которая$ не является брунновской над диском $D$ $2$ . Например, отображение Хопфа $S$ $3$ $\to$ $S$ $2$ соответствует кольцам Борромео . ^[42]

Приложения

Число оборотов (соответствующее целому числу $π 1 (S 1) = Z)$ можно использовать для доказательства основной теоремы алгебры , которая гласит, что каждый непостоянный комплексный многочлен имеет ноль. ^[43]
Тот факт, что $π n -1 (S n -1) = Z,$ подразумевает теорему Брауэра о неподвижной точке , согласно которой каждое непрерывное отображение из $n$ -мерного шара в себя имеет неподвижную точку. ^[44]
Стабильные гомотопические группы сфер важны в теории особенностей , которая изучает структуру особых точек гладких отображений или алгебраических многообразий . Такие особенности возникают как критические точки гладких отображений из $m$ в $n$ . Геометрия вблизи критической точки такого отображения может быть описана элементом $π$ $m$ $-1$ $($ $S$ $n$ $-1$ $)$ , рассматривая способ, которым малая $m$ $-1$ сфера вокруг критической точки отображается в топологическую $n$ $-1$ сферу вокруг критического значения . ^[^{требуется ссылка}^] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Тот факт, что третья стабильная гомотопическая группа сфер является циклической и имеет порядок 24, впервые доказанный Владимиром Рохлиным , влечет теорему Рохлина о том, что сигнатура компактного гладкого спинового 4-многообразия делится на 16. ^[23]
Стабильные гомотопические группы сфер используются для описания группы $Θ n$ классов h-кобордизма ориентированных гомотопических $n$ -сфер (при $n \neq 4$ это группа гладких структур на $n$ -сферах с точностью до диффеоморфизма, сохраняющего ориентацию; нетривиальные элементы этой группы представлены экзотическими сферами ). Точнее, существует инъективное отображение

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,

где

bP n +1

— циклическая подгруппа, представленная гомотопическими сферами, ограничивающими параллелизуемое многообразие ,

π С н

является

n-

й стабильной гомотопической группой сфер, а

J

является образом

J

-гомоморфизма . Это изоморфизм, если

n

не имеет вид

2 k - 2

, в этом случае образ имеет индекс 1 или 2. ^[45]

Группы $Θ n$ выше, а следовательно, и стабильные гомотопические группы сфер, используются при классификации возможных гладких структур на топологическом или кусочно-линейном многообразии . ^[23]
Проблема инварианта Кервера , о существовании многообразий инварианта Кервера 1 в размерностях $2 k - 2,$ может быть сведена к вопросу о стабильных гомотопических группах сфер. Например, знание стабильных гомотопических групп степени до 48 было использовано для решения проблемы инварианта Кервера в размерности $26 - 2 = 62.$ (Это было наименьшее значение $k$ , для которого вопрос был открыт в то время.) ^[46]
Теорема Баррата –Придди утверждает, что стабильные гомотопические группы сфер могут быть выражены в терминах конструкции «плюс», примененной к классифицирующему пространству симметрической группы , что приводит к отождествлению K-теории поля с одним элементом со стабильными гомотопическими группами. ^[47]

Таблица гомотопических групп

Таблицы гомотопических групп сфер удобнее всего организовывать, показывая $π n + k (S n)$ .

Следующая таблица показывает многие из групп $π n + k (S n)$ . Стабильные гомотопические группы выделены синим цветом, нестабильные — красным. Каждая гомотопическая группа является произведением циклических групп порядков, указанных в таблице, с использованием следующих соглашений: ^[48]

Запись «⋅» обозначает тривиальную группу.
Если запись представляет собой целое число $m$ , то гомотопическая группа представляет собой циклическую группу этого порядка (обычно обозначаемую $Z m$ ).
Если элемент равен ∞, то гомотопическая группа — это бесконечная циклическая группа $Z.$
Если запись является произведением, гомотопическая группа является декартовым произведением (эквивалентно прямой суммой ) циклических групп этих порядков. Степени указывают на повторяющиеся произведения. (Обратите внимание, что когда a $и$ b $не$ $имеют$ общего множителя , $Z a \timesZ b$ изоморфно Z $ab$ .)

Пример : $π 19 (S 10) = π 9+10 (S 10) = Z\timesZ 2 \timesZ 2 \timesZ 2$ , что в таблице обозначено как $\infty\cdot2 3 .$

Таблица стабильных гомотопических групп

Стабильные гомотопические группы $π С к$ являются произведениями циклических групп бесконечного или простого порядка, показанными в таблице. (Во многом по историческим причинам стабильные гомотопические группы обычно задаются как произведения циклических групп простого порядка, в то время как таблицы нестабильных гомотопических групп часто задают их как произведения наименьшего числа циклических групп.) Для $p > 5$ часть $p$ -компоненты, которая учитывается $J$ -гомоморфизмом, является циклической порядка $p,$ если $2(p - 1)$ делит $k + 1$ и 0 в противном случае. ^[49] Поведение таблицы по модулю 8 происходит из периодичности Ботта через J -гомоморфизм , изображение которого подчеркнуто.

Ссылки

Примечания

^ abc Исаксен, Ван и Сюй, 2023.
↑ Хэтчер 2002, стр. xii.
^ Хэтчер 2002, Пример 0.3, стр. 6.
↑ Хэтчер 2002, стр. 129.
↑ Хэтчер 2002, стр. 28.
↑ Хэтчер 2002, стр. 3.
^ Миранда 1995, стр. 123–125.
↑ Ху 1959, стр. 107.
↑ Хэтчер 2002, стр. 29.
^ См., например, Теорию гомотопических типов 2013, Раздел 8.1, " ". ${\textstyle \пи _{1}(S^{1})}$
↑ Хэтчер 2002, стр. 348.
^ ab Hatcher 2002, стр. 349.
↑ Хэтчер 2002, стр. 61.
↑ Хопф 1931.
^ Уолшап 2004, стр. 90.
^ О'Коннор и Робертсон 2001.
^ О'Коннор и Робертсон 1996.
↑ Чех 1932, стр. 203.
^ ab май 1999a.
↑ Хэтчер 2002, стр. 342.
^ Хэтчер 2002, Стабильные гомотопические группы, стр. 385–393.
^ Хэтчер 2002.
^ abc Scorpan 2005.
^ Серр 1951.
^ Коэн, Мур и Нейзендорфер 1979.
^ Равенель 2003, стр. 4.
↑ Серр 1952.
^ Равенель 2003, стр. 25.
^ Фукс 2001.
↑ Адамс 1966.
^ Нисида 1973.
^ ab Toda 1962.
^ Коэн 1968.
^ Равенель 2003.
^ Маховальд 2001.
↑ Равенель 2003, стр. 67–74.
↑ Равенель 2003, Глава 5.
^ Кочман 1990.
^ Исаксен 2019.
^ Ван и Сюй 2017.
^ Георге, Ван и Сюй 2021.
^ Беррик и др. 2006.
^ Файн и Розенбергер 1997.
↑ Хэтчер 2002, стр. 32.
^ Кервер и Милнор 1963.
^ Барратт, Джонс и Маховальд 1984.
^ Дейтмар 2006.
^ Эти таблицы основаны на таблице гомотопических групп сфер из книги Тоды (1962).
^ Fuks 2001. 2-компонентные модели можно найти у Isaksen, Wang & Xu (2023), а 3- и 5-компонентные модели — у Ravenel (2003).

Источники

Адамс, Дж. Франк (1966), «О группах J(X) IV», Топология , 5 (1): 21–71, doi : 10.1016/0040-9383(66)90004-8. См. также Адамс, Дж. (1968), "Исправление", Топология , 7 (3): 331, doi : 10.1016/0040-9383(68)90010-4.
Барратт, Майкл Г.; Джонс, Джон Д.С.; Маховальд, Марк Э. (1984), «Связи между скобками Тоды и инвариантом Кервера в размерности 62», Журнал Лондонского математического общества , 30 (3): 533–550, CiteSeerX 10.1.1.212.1163 , doi :10.1112/jlms/s2-30.3.533, MR 0810962.
Беррик, А. Дж.; Коэн, Фредерик Р.; Вонг, Ян Лой; У, Цзе (2006), «Конфигурации, косы и гомотопические группы», Журнал Американского математического общества , 19 (2): 265–326, doi : 10.1090/S0894-0347-05-00507-2 , MR 2188127.
Картан, Анри ; Серр, Жан-Пьер (1952a), «Пространства волокон и гомотопические группы. I. Общие конструкции», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 234 , Париж: 288–290, ISSN 0764-4442, MR 0046045.
Картан, Анри ; Серр, Жан-Пьер (1952b), «Пространства волокон и группы гомотопий. II. Приложения», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 234 , Париж: 393–395, ISSN 0764-4442, MR 0046046.
Коэн, Фредерик Р .; Мур, Джон К.; Нейзендорфер, Джозеф А. (ноябрь 1979 г.), «Двойная подвеска и показатели гомотопических групп сфер», Annals of Mathematics , вторая серия, 110 (3): 549–565, doi :10.2307/1971238, JSTOR 1971238, MR 0554384.
Коэн, Джоэл М. (1968), «Разложение стабильной гомотопии», Annals of Mathematics , вторая серия, 87 (2): 305–320, doi :10.2307/1970586, JSTOR 1970586, MR 0231377, PMC 224450 , PMID 16591550.
Дейтмар, Антон (2006), «Замечания о дзета-функциях и K-теории над F1», Труды Японской академии, Серия A, Математические науки , 82 (8): 141–146, arXiv : math/0605429 , doi :10.3792/pjaa.82.141, ISSN 0386-2194, MR 2279281.
Файн, Бенджамин; Розенбергер, Герхард (1997), «8.1 Число витков и доказательство пять», Основная теорема алгебры , Учебники по математике для студентов, Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 134–136, doi :10.1007/978-1-4612-1928-6, ISBN 0-387-94657-8, г-н 1454356
Фукс, Дмитрий Б. (2001) [1994], "Сферы, гомотопические группы", Энциклопедия математики , Издательство EMS.
Ху, Сэ-тсен (1959), Теория гомотопий , Чистая и прикладная математика, т. 8, Нью-Йорк и Лондон: Academic Press, MR 0106454
Исаксен, Дэниел С. (2019), «Стабильные стебли», Мемуары Американского математического общества , 262 (1269), doi : 10.1090/memo/1269 , ISBN 978-1-4704-3788-6, МР 4046815.
Исаксен, Дэниел С.; Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2023), «Стабильные гомотопические группы сфер: от размерности от 0 до 90», Publications mathématiques de l'IHÉS , 137 : 107–243, arXiv : 2001.04511 , doi : 10.1007/s10240-023-00139-1.
Кервер, Мишель А.; Милнор , Джон У. (1963), «Группы гомотопических сфер: I», Annals of Mathematics , 77 (3): 504–537, doi :10.2307/1970128, JSTOR 1970128, MR 0148075.
Kochman, Stanley O. (1990), Стабильные гомотопические группы сфер. Компьютерный подход , Lecture Notes in Mathematics, т. 1423, Berlin: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0083795, ISBN 978-3-540-52468-7, МР 1052407См. также исправления в (Kochman & Mahowald 1995)
Kochman, Stanley O.; Mahowald, Mark E. (1995), «О вычислении стабильных основ», The Čech centennial (Бостон, MA, 1993) , Contemporary Mathematics, т. 181, Providence, RI: Amer. Math. Soc., стр. 299–316, ISBN 978-0-8218-0296-0, МР 1320997
Маховальд, Марк (1998), «К глобальному пониманию π∗(Sn)», Труды Международного конгресса математиков (Берлин, 1998) , Documenta Mathematica, Дополнительный том, т. II, стр. 465–472, MR 1648096
Маховальд, Марк (2001) [1994], "Спектральная последовательность EHP", Энциклопедия математики , EMS Press.
Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 58 (6): 804–809
Миранда, Рик (1995), Алгебраические кривые и римановы поверхности, Graduate Studies in Mathematics, т. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, doi : 10.1090/gsm/005, ISBN 0-8218-0268-2, МР 1326604
Нисида, Горо (1973), «Нильпотентность элементов стабильных гомотопических групп сфер», Журнал математического общества Японии , 25 (4): 707–732, doi : 10.2969/jmsj/02540707 , hdl : 2433/220059 , ISSN 0025-5645, MR 0341485.
Понтрягин, Лев , Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий , American Mathematical Society Translations, Сер. 2, Том 11, стр. 1–114 (1959)
Равенель, Дуглас К. (2003), Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, МР 0860042.
Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3749-8, г-н 2136212.
Серр, Жан-Пьер (1951), «Homologie Singulière des Espaces Fibrés. Приложения», Annals of Mathematics , Second Series, 54 (3): 425–505, doi : 10.2307/1969485, JSTOR 1969485, MR 0045386.
Серр, Жан-Пьер (1952), «Sur la подвеска Фрейденталя», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 234 , Париж: 1340–1342, ISSN 0764-4442, MR 0046048.
Тода, Хироси (1962), Методы композиции в гомотопических группах сфер , Annals of Mathematics Studies, т. 49, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09586-8, МР 0143217.
Уолшап, Джерард (2004), "Глава 3: Гомотопические группы и расслоения над сферами", Метрические структуры в дифференциальной геометрии , Graduate Texts in Mathematics, т. 224, Springer-Verlag, Нью-Йорк, doi :10.1007/978-0-387-21826-7, ISBN 0-387-20430-X, МР 2045823
Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2017), «Тривиальность 61-ствола в стабильных гомотопических группах сфер», Annals of Mathematics , 186 (2): 501–580, arXiv : 1601.02184 , doi : 10.4007/annals.2017.186.2.3, MR 3702672, S2CID 119147703.
Георгий, Богдан; Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2021), «Специальный слой мотивной деформации стабильной гомотопической категории алгебраический», Acta Mathematica , 226 (2): 319–407, arXiv : 1809.09290 , doi : 10.4310/ACTA.2021.v226. n2.a2 , S2CID 119303902.
Теория гомотопических типов — однозначные основания математики, Программа однозначных оснований и Институт перспективных исследований, 2013, MR 3204653

Ссылки по общей алгебраической топологии

Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1, г-н 1867354.
Мэй, Дж. Питер (1999б), Краткий курс алгебраической топологии, Чикагские лекции по математике (пересмотренное издание), Издательство Чикагского университета , ISBN 978-0-226-51183-2, г-н 1702278.

Исторические документы

Чех, Эдуард (1932), "Höhersizede Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Цюрих.
Хопф, Хайнц (1931), «Über die Abbildungen der drei Dimensionen Sphäre auf die Kugelfläche», Mathematische Annalen , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007/BF01457962, S2CID 123533891.
Мэй, Дж. Питер (1999a), «Стабильная алгебраическая топология 1945–1966», в IM James (ред.), История топологии , Elsevier Science , стр. 665–723, ISBN 978-0-444-82375-5.

Внешние ссылки

Баез, Джон (21 апреля 1997 г.), Находки этой недели в математической физике 102 , получено 2007-10-09
Хэтчер, Аллен , Стабильные гомотопические группы сфер (PDF) , получено 20 октября 2007 г.
О'Коннор, Дж. Дж.; Робертсон, Э. Ф. (1996), История топологии , получено 14 ноября 2007 г.в архиве истории математики MacTutor .
О'Коннор, Дж. Дж.; Робертсон, Э. Ф. (2001), Мари Эннемон Камиль Джордан , извлечено 14 ноября 2007 г.в архиве истории математики MacTutor.