Число Хегнера

Понятие в алгебраической теории чисел

В теории чисел число Хегнера ( как его назвали Конвей и Гай ) — это положительное целое число d, свободное от квадратов , такое, что мнимое квадратичное поле имеет класс номер 1. Эквивалентно, кольцо алгебраических целых чисел имеет уникальную факторизацию . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$

Определение таких чисел является частным случаем проблемы числа классов , и они лежат в основе нескольких поразительных результатов в теории чисел.

Согласно теореме (Бейкера–) Штарка–Хегнера существует ровно девять чисел Хегнера:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 и 163. (последовательность A003173 в OEIS )

Этот результат был предположен Гауссом и доказан с небольшими огрехами Куртом Хегнером в 1952 году. Алан Бейкер и Гарольд Старк независимо доказали результат в 1966 году, и Старк далее указал, что пробел в доказательстве Хегнера был незначительным. ^[2]

Полином Эйлера, порождающий простые числа

Многочлен Эйлера , порождающий простые числа , который дает (различные) простые числа для n  = 0, ..., 39, связан с числом Хегнера 163 = 4 · 41 − 1. $${\displaystyle n^{2}+n+41,}$$

Рабинович ^[3] доказал, что дает простые числа тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного уравнения равен отрицательному числу Хегнера. $${\displaystyle n^{2}+n+p}$$ ${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$ ${\displaystyle 1-4p}$

(Обратите внимание, что дает , поэтому является максимальным.) ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p-2}$

1, 2 и 3 не имеют требуемой формы, поэтому числа Хегнера, которые подходят, это 7, 11, 19, 43, 67, 163, дающие простые производящие функции формы Эйлера для 2, 3, 5, 11, 17, 41; эти последние числа Ф. Ле Лионне называет счастливыми числами Эйлера . ^[4]

Почти целые числа и константа Рамануджана

Константа Рамануджана — это трансцендентное число ^[5] , которое является почти целым числом , в том смысле, что для всех намерений и целей его можно считать целым числом : ^[6] ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$ $${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots \approx 640\,320^{3}+744.}$$

Это число было открыто в 1859 году математиком Чарльзом Эрмитом . ^[7] В первоапрельской статье 1975 года в журнале Scientific American ^[8] обозреватель «Математических игр» Мартин Гарднер выдвинул ложное утверждение, что это число на самом деле целое и что индийский математический гений Шриниваса Рамануджан предсказал его — отсюда и его название.

Это совпадение объясняется комплексным умножением и q -разложением j- инварианта .

Деталь

В дальнейшем j(z) обозначает j-инвариант комплексного числа z. Кратко, является целым числом для  d, числа Хегнера, и через q -разложение. ${\displaystyle \textstyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)}$ $${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)+744}$$

Если — квадратичная иррациональность, то ее j -инвариант — алгебраическое целое число степени , номер класса и минимальный (монический целочисленный) полином, которому он удовлетворяет, называется «полиномом класса Гильберта». Таким образом, если мнимое квадратичное расширение имеет номер класса 1 (то есть d — число Хегнера), j -инвариант — целое число. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle \left|\mathrm {Cl} {\bigl (}\mathbf {Q} (\tau ){\bigr )}\right|}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$

Разложение q -функции j в ряд Фурье , записанное в виде ряда Лорана по , начинается так: ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ $${\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .}$$

Коэффициенты асимптотически растут как и коэффициенты низкого порядка растут медленнее, чем , поэтому для , j очень хорошо аппроксимируется своими первыми двумя членами. Установка дает Теперь так, Или, где линейный член ошибки , объясняя, почему находится в пределах приблизительно указанного выше целого числа. ${\displaystyle c_{n}}$ $${\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O{\bigl (}\ln(n){\bigr )},}$$ ${\displaystyle 200\,000^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle q\ll {\frac {1}{200\,000}}}$ ${\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}$ $${\displaystyle q=-e^{-\pi {\sqrt {163}}}\quad \therefore \quad {\frac {1}{q}}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}.}$$ $${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=\left(-640\,320\right)^{3},}$$ $${\displaystyle \left(-640\,320\right)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).}$$ $${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {-196\,884}{e^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}$$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$

Формулы числа Пи

Братья Чудновские обнаружили в 1987 году, что доказательство которого использует тот факт, что Аналогичные формулы см. в ряду Рамануджана–Сато . $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}},}$$ $${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}.}$$

Другие числа Хегнера

Для четырех наибольших чисел Хегнера получаются следующие приближения ^{[9] .} $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx {\color {white}000\,0}96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx {\color {white}000\,}960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx {\color {white}00}5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$$

Альтернативно, ^[10] где причина квадратов обусловлена ​​определенными рядами Эйзенштейна . Для чисел Хегнера не получается почти целое число; даже не заслуживает внимания. ^[11] Целочисленные j -инварианты в высокой степени факторизуемы, что следует из формы $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}\left(3^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}\left(9^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}\left(21^{2}-1\right)^{3}{\color {white}0}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}\left(231^{2}-1\right)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle d<19}$ ${\displaystyle d=19}$

$${\displaystyle 12^{3}\left(n^{2}-1\right)^{3}=\left(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1)\right)^{3},}$$

и фактор как, $${\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,0}-96^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,}-960^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-67}}}{2}}\right)&={\color {white}00}-5\,280^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640\,320^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}.\end{aligned}}}$$

Эти трансцендентные числа , помимо того, что они близко аппроксимируются целыми числами (которые являются просто алгебраическими числами степени 1), могут быть близко аппроксимированы алгебраическими числами степени 3, ^[12] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;&x^{3}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;&x^{3}-2x^{2}-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,0019;&x^{3}-2x^{2}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;&\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&=0\end{aligned}}}$$

Корни кубических уравнений могут быть точно заданы частными от функции Дедекинда эта η ( τ ), модулярной функции, включающей 24-й корень, и которая объясняет 24 в приближении. Они также могут быть близко аппроксимированы алгебраическими числами степени 4, ^[13 ] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {960}{24}}+7{\sqrt {3\cdot 43}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}$$

Если обозначает выражение в скобках (например, ), то оно удовлетворяет соответственно уравнениям четвертой степени ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 3x^{3}+{\color {white}000\,0}{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}-{\color {white}000\,000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 9x^{3}+{\color {white}000\,}{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}-{\color {white}000\,00}{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}0}4\cdot 21x^{3}+{\color {white}00}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\color {white}000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end{aligned}}}$$

Обратите внимание на повторное появление целых чисел, а также на тот факт, что которые с соответствующей дробной степенью являются именно j -инвариантами. ${\displaystyle n=3,9,21,231}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {96}{24}}\right)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19\right)&=96^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {960}{24}}\right)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43\right)&=960^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}\right)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67\right)&=5\,280^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}\right)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163\right)&=640\,320^{2}\end{aligned}}}$$

Аналогично для алгебраических чисел степени 6, $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$$

где x s задаются соответственно соответствующим корнем уравнений секстики , $${\displaystyle {\begin{aligned}5x^{6}-{\color {white}000\,0}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}000\,}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}00}5\,280x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}}$$

с появлением j -инвариантов снова. Эти секстики не только алгебраичны, они также разрешимы в радикалах , поскольку они разлагаются на два кубика по расширению (с первым разложением далее на два квадратичных ). Эти алгебраические приближения могут быть точно выражены в терминах дедекиндовых эта-частных. В качестве примера, пусть , тогда, ${\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$$

где эта-частные — это алгебраические числа, указанные выше.

Номера класса 2

Три числа 88, 148, 232, для которых мнимое квадратичное поле имеет класс номер 2, не являются числами Хегнера, но имеют некоторые схожие свойства в терминах почти целых чисел . Например, и ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,00}2\,508\,952^{2}-0.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,}199\,148\,648^{2}-0.000\,97\dots \\e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0.000\,0078\dots \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\color {white}00}\left(6+4{\sqrt {2}}\right)^{6}+0.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6}-0.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}$$

Последовательные простые числа

При наличии нечетного простого числа  p , если вычислить для (этого достаточно, поскольку ), то получим последовательные составные числа, за которыми последуют последовательные простые числа, тогда и только тогда, когда p является числом Хегнера. ^[14] ${\displaystyle k^{2}\mod p}$ ${\displaystyle \textstyle k=0,1,\dots ,{\frac {p-1}{2}}}$ ${\displaystyle \left(p-k\right)^{2}\equiv k^{2}\mod p}$

Подробности см. в статье Ричарда Моллина «Квадратичные многочлены, производящие последовательные различные простые числа, и группы классов комплексных квадратичных полей». ^[15]

Примечания и ссылки

1. Конвей, Джон Хортон ; Гай, Ричард К. (1996). Книга чисел. Springer. стр. 224. ISBN 0-387-97993-X.
2. Старк, Х. М. (1969), «О разрыве в теореме Хегнера» (PDF) , Журнал теории чисел , 1 (1): 16–27, Bibcode : 1969JNT.....1...16S, doi : 10.1016/0022-314X(69)90023-7, hdl : 2027.42/33039
3. Рабинович, Георг «Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren inquadatischen Zahlkörpern». Учеб. Пятый интернат. Конгресс Математика. (Кембридж) 1, 418–421, 1913.
4. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Париж: Герман, стр. 88 и 144, 1983.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентное число». MathWorld .дает , основанный на Нестеренко, Ю. В. "Об алгебраической независимости компонент решений системы линейных дифференциальных уравнений". Изв. АН СССР, Сер. Матем. 38, 495–512, 1974. Английский перевод в Math. USSR 8, 501–518, 1974. ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}$
6. Константа Рамануджана – из Wolfram MathWorld
7. Барроу, Джон Д. (2002). Константы природы . Лондон: Jonathan Cape. стр. 72. ISBN 0-224-06135-6.
8. Гарднер, Мартин (апрель 1975 г.). «Математические игры». Scientific American . 232 (4). Scientific American, Inc: 127. Bibcode : 1975SciAm.232d.126G. doi : 10.1038/scientificamerican0475-126.
9. Их можно проверить, вычислив на калькуляторе, а также для линейной составляющей ошибки. $${\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}}$$ $${\displaystyle {\frac {196\,884}{e^{\pi {\sqrt {d}}}}}}$$
10. "Подробнее об e^(pi*SQRT(163))". Архивировано из оригинала 2009-08-11 . Получено 2008-04-19 .
11. Абсолютное отклонение случайного действительного числа (выбранного равномерно из [0,1] , скажем) является равномерно распределенной величиной на [0, 0,5] , поэтому оно имеет абсолютное среднее отклонение и медианное абсолютное отклонение 0,25, а отклонение 0,22 не является исключительным.
12. «Формулы числа Пи».
13. «Расширение этаных коэффициентов Дедекинда Рамануджана».
14. «Простые комплексные квадратичные поля».
15. Mollin, RA (1996). «Квадратичные многочлены, производящие последовательные различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей» (PDF) . Acta Arithmetica . 74 : 17–30. doi :10.4064/aa-74-1-17-30.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Число Хегнера». Математический мир .
• Последовательность OEIS A003173 (числа Хегнера: мнимые квадратичные поля с уникальной факторизацией)
• Проблема Гаусса о числе классов для мнимых квадратичных полей, Дориан Голдфельд: Подробная история проблемы.
• Кларк, Алекс. "163 и константа Рамануджана". Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2013-05-16 . Получено 2013-04-02 .