Уравнение трех волн

В нелинейных системах трехволновые уравнения , иногда называемые трехволновыми уравнениями резонансного взаимодействия или триадными резонансами , описывают волны малой амплитуды в различных нелинейных средах, включая электрические цепи и нелинейную оптику . Они представляют собой набор полностью интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных . Поскольку они представляют собой простейший, наиболее прямой пример резонансного взаимодействия , имеют широкую применимость в науках и полностью интегрируемы, они интенсивно изучаются с 1970-х годов. ^[1]

Неформальное знакомство

Уравнение трех волн возникает при рассмотрении некоторых простейших мыслимых нелинейных систем . Линейные дифференциальные системы имеют общую форму

${\displaystyle D\psi =\lambda \psi }$

для некоторого дифференциального оператора D. Простейшее нелинейное расширение этого — записать

${\displaystyle D\psi -\lambda \psi =\varepsilon \psi ^{2}.}$

Как можно решить эту проблему? Доступно несколько подходов. В некоторых исключительных случаях могут быть известны точные решения уравнений этой формы. В общем, они находятся в некотором ad hoc- способе после применения некоторого ansatz . Второй подход заключается в том, чтобы предположить, что и использовать теорию возмущений для поиска «поправок» к линеаризованной теории. Третий подход заключается в применении методов из теории матрицы рассеяния ( S-матрицы ). ${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$

В подходе S-матрицы рассматриваются частицы или плоские волны, приходящие из бесконечности, взаимодействующие и затем уходящие в бесконечность. Если считать от нуля, случай нулевой частицы соответствует вакууму , состоящему полностью из фона. Случай одной частицы — это волна, которая приходит из далекого прошлого, а затем исчезает в воздухе; это может произойти, когда фон поглощающий, заглушающий или диссипативный . С другой стороны, волна появляется из воздуха и уходит. Это происходит, когда фон нестабилен и генерирует волны: говорят, что система « излучает ». Случай двух частиц состоит из частицы, приходящей и затем уходящей. Это уместно, когда фон неоднороден: например, акустическая плоская волна приходит, рассеивается от вражеской подводной лодки , а затем уходит в бесконечность; путем тщательного анализа исходящей волны можно вывести характеристики пространственной неоднородности. Есть еще две возможности: рождение пары и аннигиляция пары . В этом случае пара волн создается «из воздуха» (путем взаимодействия с каким-либо фоном) или исчезает в воздухе.

Следующим по этому показателю является трехчастичное взаимодействие. Оно уникально тем, что не требует никакого взаимодействующего фона или вакуума, и не является «скучным» в смысле невзаимодействующей плоской волны на однородном фоне. Записывая для этих трех волн, движущихся от/до бесконечности, это простейшее квадратичное взаимодействие принимает форму ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2},\psi _{3}}$

${\displaystyle (D-\lambda )\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

и их циклические перестановки. Эту общую форму можно назвать трехволновым уравнением ; конкретная форма представлена ​​ниже. Ключевым моментом является то, что все квадратичные резонансные взаимодействия могут быть записаны в этой форме (при соответствующих предположениях). Для систем, изменяющихся во времени, где можно интерпретировать как энергию , можно записать ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (D-i\partial /\partial t)\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

для версии, зависящей от времени.

Обзор

Формально трехволновое уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+v_{j}\cdot \nabla B_{j}=\eta _{j}B_{\ell }^{*}B_{m}^{*}}$

где циклический, - групповая скорость для волны, имеющей в качестве волнового вектора и угловой частоты , и градиент , взятые в плоском евклидовом пространстве в n измерениях. - коэффициенты взаимодействия; путем изменения масштаба волны их можно взять . При циклической перестановке существует четыре класса решений. Записав одно , имеем . Все они эквивалентны относительно перестановки. В 1+1 измерениях существует три различных решения: решения, называемые взрывными ; случаи, называемые вынужденным обратным рассеянием , и случай, называемый солитонным обменом . Они соответствуют очень различным физическим процессам. ^{[2] [3]} Одно интересное решение называется симултоном, оно состоит из трех сопутствующих солитонов, движущихся со скоростью v , которая отличается от любой из трех групповых скоростей . Это решение имеет возможную связь с «тремя сестрами», наблюдаемыми в волнах-убийцах , хотя в глубокой воде нет трехволнового резонансного взаимодействия. ${\displaystyle j,\ell ,m=1,2,3}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}_{j},\omega _{j}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \eta _{j}}$ ${\displaystyle \eta _{j}=\pm 1}$ ${\displaystyle \eta =\eta _{1}\eta _{2}\eta _{3}}$ ${\displaystyle \eta =\pm 1}$ ${\displaystyle \eta =-1}$ ${\displaystyle \eta =+1}$ ${\displaystyle +++}$ ${\displaystyle --+}$ ${\displaystyle -+-}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$

Введение содержится в записях лекций Харви Сегура. ^[4]

Уравнения имеют пару Лакса и, таким образом, полностью интегрируемы . ^{[1] [5]} Пара Лакса представляет собой пару матриц 3x3, к которой можно применить метод обратной задачи рассеяния , используя методы Фокаса . ^{[6] [7]} Известен класс пространственно однородных решений, они задаются эллиптической ℘-функцией Вейерштрасса . ^[8] Соотношения резонансного взаимодействия в этом случае называются соотношениями Мэнли–Роу ; инварианты, которые они описывают, легко связаны с модулярными инвариантами и ^[9] То, что они появляются, возможно, не совсем удивительно, поскольку существует простой интуитивный аргумент. Вычитая один волновой вектор из двух других, мы получаем два вектора, которые порождают решетку периодов . Все возможные относительные положения двух векторов задаются j-инвариантом Клейна , поэтому следует ожидать, что решения будут характеризоваться этим. ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}.}$

Известно множество точных решений для различных граничных условий. ^[10] Недавно было дано «почти общее решение» для полного нелинейного уравнения в частных производных для трехволнового уравнения. Оно выражается через пять функций, которые можно свободно выбирать, и ряд Лорана для шестого параметра. ^{[8] [9]}

Приложения

Некоторые избранные приложения трехволновых уравнений включают в себя:

• В нелинейной оптике перестраиваемые лазеры , охватывающие широкий спектр частот, могут быть созданы путем параметрического трехволнового смешения в квадратичных ( ) нелинейных кристаллах . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$
• Поверхностные акустические волны и в электронных параметрических усилителях .
• Глубоководные волны сами по себе не обладают трехволновым взаимодействием; однако его удается обойти во многих сценариях:
  • Глубоководные капиллярные волны описываются трехволновым уравнением. ^[4]
  • Акустические волны взаимодействуют с глубоководными волнами посредством трехволнового взаимодействия, ^[11]
  • Волны вихреобразования объединяются в триаду.
  • Однородный ток (обязательно пространственно неоднородный по глубине) имеет триадные взаимодействия.

Все эти случаи естественным образом описываются трехволновым уравнением.

• В физике плазмы трехволновое уравнение описывает связь в плазме. ^[12]

Ссылки

1. Захаров, В. Е.; Манаков, СВ (1975). "К теории резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах" (PDF) . Советская физика ЖЭТФ . 42 (5): 842–850.
2. Degasperis, A.; Conforti, M.; Baronio, F.; Wabnitz, S.; Lombardo, S. (2011). "Уравнения трехволнового резонансного взаимодействия: спектральные и численные методы" (PDF) . Letters in Mathematical Physics . 96 (1–3): 367–403. Bibcode :2011LMaPh..96..367D. doi :10.1007/s11005-010-0430-4. S2CID  18846092.
3. Кауп, DJ; Рейман, А.; Берс, А. (1979). «Пространственно-временная эволюция нелинейных трехволновых взаимодействий. I. Взаимодействие в однородной среде». Reviews of Modern Physics . 51 (2): 275–309. Bibcode : 1979RvMP...51..275K. doi : 10.1103/RevModPhys.51.275.
4. Segur, H.; Grisouard, N. (2009). "Лекция 13: Триадные (или 3-волновые) резонансы" (PDF) . Геофизическая гидродинамика . Океанографический институт Вудс-Хоул .
5. Захаров, ВЕ; Манаков, СВ; Новиков, СП; Питаевский, ЛИ (1984). Теория солитонов: Метод обратной задачи рассеяния . Нью-Йорк: Plenum Press . Bibcode :1984lcb..book.....N.
6. Fokas, AS; Ablowitz, MJ (1984). «Об обратном преобразовании рассеяния многомерных нелинейных уравнений, связанных с системами первого порядка на плоскости». Журнал математической физики . 25 (8): 2494–2505. Bibcode : 1984JMP....25.2494F. doi : 10.1063/1.526471.
7. Lenells, J. (2012). «Начально-граничные задачи для интегрируемых эволюционных уравнений с 3×3 парами Лакса». Physica D. 241 ( 8): 857–875. arXiv : 1108.2875 . Bibcode : 2012PhyD..241..857L. doi : 10.1016/j.physd.2012.01.010. S2CID  119144977.
8. Martin, RA (2015). К общему решению уравнений трехволнового резонансного взаимодействия (диссертация). Университет Колорадо .
9. Martin, RA; Segur, H. (2016). «К общему решению трехволновых уравнений с частными производными». Исследования по прикладной математике . 137 : 70–92. doi : 10.1111/sapm.12133 .
10. Кауп, DJ (1980). «Метод решения разделимой начальной задачи полного трехмерного трехволнового взаимодействия». Исследования по прикладной математике . 62 : 75–83. doi :10.1002/sapm198062175.
11. Кадри, У. (2015). «Триадный резонанс в гравитационно-акустическом семействе». Тезисы осеннего заседания AGU . 2015 : OS11A–2006. Bibcode : 2015AGUFMOS11A2006K. doi : 10.13140/RG.2.1.4283.1441 .
12. Ким, Дж.-Х.; Терри, П.В. (2011). «Самосогласованная модель трехволновой связи с комплексными линейными частотами». Физика плазмы . 18 (9): 092308. Bibcode : 2011PhPl...18i2308K. doi : 10.1063/1.3640807.