Топологические дефекты или солитоны — это неоднородности или нарушения, возникающие в непрерывных полях или упорядоченных состояниях материи. Эти дефекты, которые могут принимать различные формы, такие как точки, линии или поверхности, характеризуются своей стабильностью и тем фактом, что их нельзя «сгладить» или удалить путем непрерывных преобразований поля или материала. Они играют значительную роль в различных областях физики, включая физику конденсированного состояния, космологию и квантовую теорию поля, и могут оказывать глубокое влияние на свойства и поведение систем, в которых они встречаются.
Один из самых простых и распространенных примеров топологического солитона встречается в старомодных витых шнурах телефонных трубок, которые обычно наматываются по часовой стрелке. Годы поднятия трубки могут привести к тому, что части шнура смотаются в противоположном направлении против часовой стрелки, и когда это произойдет, появится характерная большая петля, разделяющая два направления намотки. Эта странная на вид переходная петля, которая не движется ни по часовой стрелке, ни против нее, является отличным примером топологического солитона. Независимо от того, насколько сложен контекст, все, что можно квалифицировать как топологический солитон, должно на каком-то уровне демонстрировать ту же самую простую проблему согласования, которую можно увидеть в примере с скрученным телефонным шнуром.
Топологические солитоны легко возникают при создании кристаллических полупроводников, используемых в современной электронике, и в этом контексте их эффекты почти всегда вредны. По этой причине такие кристаллические переходы называются топологическими дефектами . Однако эта терминология, в основном твердотельная, отвлекает от богатых и интригующих математических свойств таких граничных областей. Таким образом, для большинства нетвердотельных контекстов предпочтительнее более позитивная и математически богатая фраза «топологический солитон».
Более подробное обсуждение топологических солитонов и связанных с ними тем представлено ниже.
В математике и физике топологический солитон или топологический дефект — решение системы уравнений в частных производных или квантовой теории поля, гомотопически отличное от вакуумного решения .
Существование топологического дефекта можно продемонстрировать всякий раз, когда граничные условия влекут за собой существование гомотопически различных решений. Обычно это происходит потому, что граница, на которой задаются условия, имеет нетривиальную гомотопическую группу , сохраняющуюся в дифференциальных уравнениях ; тогда решения дифференциальных уравнений топологически различны и классифицируются по своему гомотопическому классу . Топологические дефекты не только устойчивы к небольшим возмущениям, но и не могут распасться, распутаться или распутаться именно потому, что не существует непрерывного преобразования, которое отобразило бы их (гомотопически) в однородное или «тривиальное» решение.
Упорядоченная среда определяется как область пространства, описываемая функцией f ( r ), которая присваивает каждой точке этой области параметр порядка , а возможные значения пространства параметров порядка составляют пространство параметров порядка . Гомотопическая теория дефектов использует фундаментальную группу пространства параметров порядка среды для обсуждения существования, устойчивости и классификации топологических дефектов в этой среде. [1]
Предположим, что R — пространство параметров порядка среды, и пусть G — группа преобразований Ли на R. Пусть H — подгруппа симметрии G среды. Тогда пространство параметров порядка можно записать как фактор группы Ли [2] R = G / H .
Если G — универсальное накрытие для G / H , то можно показать [2] , что π n ( G / H ) = π n −1 ( H ), где π i обозначает i -ю гомотопическую группу .
Различные типы дефектов среды могут характеризоваться элементами различных гомотопических групп пространства параметров порядка. Например, (в трёх измерениях) линейные дефекты соответствуют элементам π 1 ( R ), точечные дефекты соответствуют элементам π 2 ( R ), текстуры соответствуют элементам π 3 ( R ). Однако дефекты, принадлежащие одному и тому же классу сопряжения π 1 ( R ), могут непрерывно деформироваться друг к другу [1] , и, следовательно, разные дефекты соответствуют различным классам сопряжения.
Поэнару и Тулуза показали [3] , что пересекающиеся дефекты запутываются тогда и только тогда, когда они являются членами отдельных классов сопряженности π 1 ( R ).
Топологические дефекты возникают в уравнениях в частных производных и считаются [ по мнению кого? ] водить [ как? ] фазовые переходы в физике конденсированного состояния .
Подлинность [ необходимо дальнейшее объяснение ] топологического дефекта зависит от природы вакуума, к которому будет стремиться система, если пройдет бесконечное время; Ложные и истинные топологические дефекты можно отличить, если дефект находится в ложном вакууме и истинном вакууме соответственно. [ нужны разъяснения ]
Примеры включают солитон или уединенную волну, которая возникает в точно решаемых моделях , таких как
Топологические дефекты в системах класса универсальности лямбда-перехода [ необходимы разъяснения ] , включая:
Топологические дефекты космологического типа представляют собой явления чрезвычайно высоких энергий [ нужны разъяснения ] и которые считаются непрактичными для создания [ по мнению кого? ] в физических экспериментах на Земле. Топологические дефекты, возникшие при формировании Вселенной, теоретически можно было наблюдать без значительных затрат энергии.
В теории Большого взрыва Вселенная охлаждается из начального горячего и плотного состояния, вызывая серию фазовых переходов, очень похожих на то, что происходит в системах с конденсированной материей, таких как сверхпроводники. Определенный [ какой? Теории Великого объединения предсказывают образование стабильных топологических дефектов в ранней Вселенной во время этих фазовых переходов.
Считается, что в зависимости от характера нарушения симметрии при космологических фазовых переходах в ранней Вселенной образовались различные солитоны по механизму Киббла-Зурека . Хорошо известными топологическими дефектами являются:
Возможны и другие, более сложные гибриды этих типов дефектов.
По мере того как Вселенная расширялась и охлаждалась, симметрия законов физики начала нарушаться в областях, распространяющихся со скоростью света ; топологические дефекты возникают на границах соседних областей. [ как? ] Вещество, составляющее эти границы, находится в упорядоченной фазе , которая сохраняется после завершения фазового перехода в неупорядоченную фазу для окружающих областей.
Топологические дефекты астрономами не выявлены; однако некоторые типы несовместимы с текущими наблюдениями. В частности, если бы доменные границы и монополи присутствовали в наблюдаемой Вселенной, они привели бы к значительным отклонениям от того, что могут видеть астрономы.
Из-за этих наблюдений образование дефектов в наблюдаемой Вселенной сильно ограничено и требует особых обстоятельств (см. Инфляция (космология) ). С другой стороны, предполагалось, что космические струны обеспечивают первоначальную «затравочную» гравитацию, вокруг которой конденсируется крупномасштабная структура космоса материи. Текстуры такие же доброкачественные. [ необходимы разъяснения ] В конце 2007 года холодное пятно в космическом микроволновом фоне предоставило доказательства возможной текстуры . [4]
В физике конденсированного состояния теория гомотопических групп обеспечивает естественную основу для описания и классификации дефектов в упорядоченных системах. [1] Топологические методы использовались в ряде задач теории конденсированного состояния. Поэнару и Тулуза с помощью топологических методов получили условие наличия линейных (струнных) дефектов в жидких кристаллах, которые могут пересекать друг друга без запутывания. Именно нетривиальное применение топологии впервые привело к открытию своеобразного гидродинамического поведения в А -фазе сверхтекучего гелия -3. [1]
Гомотопическая теория глубоко связана с устойчивостью топологических дефектов. В случае линейного дефекта, если замкнутый путь может непрерывно деформироваться в одну точку, дефект нестабилен, в противном случае он стабилен.
В отличие от космологии и теории поля, топологические дефекты в конденсированном веществе наблюдались экспериментально. [5] Ферромагнитные материалы имеют области магнитного выравнивания, разделенные доменными стенками. Нематические и двухосные нематические жидкие кристаллы демонстрируют множество дефектов, включая монополи, струны, текстуры и т. д. [1] В кристаллических твердых телах наиболее распространенными топологическими дефектами являются дислокации , которые играют важную роль в предсказании механических свойств кристаллов. , особенно кристаллическая пластика .
В магнитных системах топологические дефекты включают 2D-дефекты, такие как скирмионы (с целым зарядом скирмиона), или 3D-дефекты, такие как хопфионы (с целым индексом Хопфа). Определение можно расширить, включив в него дислокации гелимагнитного порядка, такие как краевые дислокации [6] [7] и винтовые дислокации [8] (которые имеют целое значение вектора Бюргерса).
