Абелева группа без кручения

Абелева группа без нетривиальных элементов кручения

В математике , в частности в абстрактной алгебре , абелева группа без кручения — это абелева группа , не имеющая нетривиальных элементов кручения ; то есть группа , в которой групповая операция коммутативна , а единичный элемент является единственным элементом с конечным порядком .

В то время как конечно порожденные абелевы группы полностью классифицированы, о бесконечно порожденных абелевых группах известно немного, даже в счетном случае без кручения. ^[1]

Определения

Говорят, что абелева группа не имеет кручения, если ни один элемент, кроме единицы, не имеет конечного порядка . ^{[2] [3] [4]} Явно, для любого единственным элементом, для которого является . ${\displaystyle \langle G,+,0\rangle }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle nx=0}$ ${\displaystyle x=0}$

Естественным примером группы без кручения является , поскольку только целое число 0 может быть добавлено к себе конечное число раз, чтобы достичь 0. В более общем случае свободная абелева группа не имеет кручения для любого . Важным шагом в доказательстве классификации конечно порожденных абелевых групп является то, что каждая такая группа без кручения изоморфна . ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+,0\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$

Неконечно порожденный счетный пример дает аддитивная группа кольца многочленов (свободная абелева группа счетного ранга). ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

Более сложными примерами являются аддитивная группа рационального поля или ее подгруппы, такие как (рациональные числа, знаменатель которых является степенью ). Еще более запутанные примеры дают группы более высокого ранга . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{-1}]}$ ${\displaystyle p}$

Группы ранга 1

Классифицировать

Ранг абелевой группы — это размерность -векторного пространства . Эквивалентно это максимальная мощность линейно независимого (над ) подмножества . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$

Если не имеет кручения, то она инъецируется в . Таким образом, абелевы группы без кручения ранга 1 являются в точности подгруппами аддитивной группы . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Классификация

Абелевы группы без кручения ранга 1 были полностью классифицированы. Для этого с группой связывается подмножество простых чисел следующим образом: выбираем любое , для простого числа говорим, что тогда и только тогда, когда для каждого . Это не зависит от выбора , так как для другого существует такое, что . Бэр доказал ^{[5] [6]} , что является полным инвариантом изоморфизма для абелевых групп без кручения ранга 1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \tau (A)}$ ${\displaystyle x\in A\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\in \tau (A)}$ ${\displaystyle x\in p^{k}A}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in A\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle ny=mx}$ ${\displaystyle \tau (A)}$

Проблема классификации в целом

Трудность задачи классификации для определенного типа структур на счетном множестве может быть количественно определена с помощью теории моделей и дескриптивной теории множеств . В этом смысле было доказано, что задача классификации для счетных абелевых групп без кручения является максимально трудной. ^[7]

Примечания

1. См., например, введение к статье Томаса, Саймона (2003), «Проблема классификации для абелевых групп без кручения конечного ранга», J. Am. Math. Soc. , 16 (1): 233–258, doi : 10.1090/S0894-0347-02-00409-5 , Zbl  1021.03043
2. Фрейли (1976, стр. 78)
3. Лэнг (2002, стр. 42)
4. Хангерфорд (1974, стр. 78)
5. Рейнхольд Бэр (1937). «Абелевы группы без элементов конечного порядка». Duke Mathematical Journal . 3 (1): 68–122. doi :10.1215/S0012-7094-37-00308-9.
6. Филлип А. Гриффит (1970). Теория бесконечных абелевых групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7.Глава VII.
7. Паолини, Джанлука; Шела, Сахарон (2021). «Абелевы группы без кручения полны по Борелю». arXiv : 2102.12371 [math.LO].

Ссылки

• Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Херштейн, IN (1964), Топики по алгебре , Уолтем: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Хангерфорд, Томас В. (1974), Алгебра , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90518-9.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра (пересмотренное 3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95385-X.
• Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, пересмотренное издание , Бостон: Allyn and Bacon , LCCN  68-15225