Алгебраический элемент

Понятие в абстрактной алгебре

В математике , если L является полем расширения K , то элемент a из L называется алгебраическим элементом над K или просто алгебраическим над K , если существует некоторый ненулевой многочлен g ( x ) с коэффициентами в K, такой что g ( a ) = 0. Элементы L , которые не являются алгебраическими над K, называются трансцендентными над K.

Эти понятия обобщают алгебраические числа и трансцендентные числа (где расширение поля равно C / Q , где C — поле комплексных чисел , а Q — поле рациональных чисел ).

Примеры

• Квадратный корень из 2 является алгебраическим числом над Q , поскольку он является корнем многочлена g ( x ) = x ² − 2 , коэффициенты которого рациональны.
• Число Pi трансцендентно над Q, но алгебраично над полем действительных чисел R : оно является корнем уравнения g ( x ) = x −π , коэффициенты которого (1 и −π ) являются действительными, но не любого многочлена с только рациональными коэффициентами. (В определении термина трансцендентное число используется C / Q , а не C / R .)

Характеристики

Следующие условия эквивалентны для элемента : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$

• ${\displaystyle a}$является алгебраическим над , ${\displaystyle K}$
• расширение поля является алгебраическим, т.е. каждый элемент является алгебраическим над (здесь обозначает наименьшее подполе , содержащее и ), ${\displaystyle K(a)/K}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$
• расширение поля имеет конечную степень, т.е. размерность как векторного пространства конечна , ${\displaystyle K(a)/K}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K[a]=K(a)}$, где — множество всех элементов , которое можно записать в виде многочлена, коэффициенты которого лежат в . ${\displaystyle K[a]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle g(a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$

Чтобы сделать это более явным, рассмотрим оценку полинома . Это гомоморфизм , и его ядром является . Если является алгебраическим, этот идеал содержит ненулевые полиномы, но поскольку является евклидовой областью , он содержит единственный полином с минимальной степенью и старшим коэффициентом , который затем также порождает идеал и должен быть неприводимым . Полином называется минимальным полиномом , и он кодирует многие важные свойства . Следовательно, изоморфизм колец, полученный теоремой о гомоморфизме, является изоморфизмом полей, где мы можем тогда заметить, что . В противном случае является инъективным и, следовательно, мы получаем изоморфизм полей , где является полем дробей , т. е. полем рациональных функций на , по универсальному свойству поля дробей. Мы можем заключить, что в любом случае мы находим изоморфизм или . Исследование этой конструкции дает желаемые результаты. ${\displaystyle \varepsilon _{a}:K[X]\rightarrow K(a),\,P\mapsto P(a)}$ ${\displaystyle \{P\in K[X]\mid P(a)=0\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{a}}$ ${\displaystyle K(X)\rightarrow K(a)}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(a)\cong K[X]/(p)}$ ${\displaystyle K(a)\cong K(X)}$

Эту характеристику можно использовать для того, чтобы показать, что сумма, разность, произведение и частное алгебраических элементов над снова являются алгебраическими над . Ибо если и оба алгебраические, то конечно. Поскольку оно содержит вышеупомянутые комбинации и , присоединение одного из них к также дает конечное расширение, и, следовательно, эти элементы также являются алгебраическими. Таким образом, множество всех элементов , которые являются алгебраическими над , является полем, которое находится между и . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (K(a))(b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Поля, не допускающие никаких алгебраических элементов над собой (кроме своих собственных элементов), называются алгебраически замкнутыми . Поле комплексных чисел является примером. Если является алгебраически замкнутым, то поле алгебраических элементов над является алгебраически замкнутым, что снова можно напрямую показать с помощью характеристики простых алгебраических расширений выше. Примером этого является поле алгебраических чисел . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Смотрите также

• Алгебраическая независимость

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001