Матрица переноса

В прикладной математике матрица переноса представляет собой формулировку в терминах блочно-теплицевой матрицы двухмасштабного уравнения, характеризующего масштабируемые функции . Масштабируемые функции играют важную роль в теории вейвлетов и теории конечных элементов .

Для маски , которая представляет собой вектор с индексами компонентов от до , матрица переноса , которую мы здесь называем , определяется как ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle T_{h}}$

${\displaystyle (T_{h})_{j,k}=h_{2\cdot j-k}.}$

Более подробно

${\displaystyle T_{h}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}.}$

Эффект можно выразить с помощью оператора понижения частоты дискретизации " ": ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \downarrow }$

${\displaystyle T_{h}\cdot x=(h*x)\downarrow 2.}$

Характеристики

• ${\displaystyle T_{h}\cdot x=T_{x}\cdot h}$.
• Если удалить первый и последний столбцы и переместить нечетные столбцы влево, а четные — вправо, то получится транспонированная матрица Сильвестра .
• Определитель матрицы переноса по сути является результирующим.

  Точнее:

  Пусть будут четными коэффициентами ( ), а пусть будут нечетными коэффициентами ( ). ${\displaystyle h_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h_{\mathrm {e} })_{k}=h_{2k}}$ ${\displaystyle h_{\mathrm {o} }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h_{\mathrm {o} })_{k}=h_{2k+1}}$

  Тогда , где находится результирующий . ${\displaystyle \det T_{h}=(-1)^{\lfloor {\frac {b-a+1}{4}}\rfloor }\cdot h_{a}\cdot h_{b}\cdot \mathrm {res} (h_{\mathrm {e} },h_{\mathrm {o} })}$ ${\displaystyle \mathrm {res} }$

  Это соединение позволяет производить быстрые вычисления с использованием алгоритма Евклида .
• Для следа матрицы переноса свернутых масок справедливо
  ${\displaystyle \mathrm {tr} ~T_{g*h}=\mathrm {tr} ~T_{g}\cdot \mathrm {tr} ~T_{h}}$
• Для определителя матрицы переноса свернутых масок справедливо

  ${\displaystyle \det T_{g*h}=\det T_{g}\cdot \det T_{h}\cdot \mathrm {res} (g_{-},h)}$

  где обозначает маску с чередующимися знаками, т.е. . ${\displaystyle g_{-}}$ ${\displaystyle (g_{-})_{k}=(-1)^{k}\cdot g_{k}}$
• Если , то . ${\displaystyle T_{h}\cdot x=0}$ ${\displaystyle T_{g*h}\cdot (g_{-}*x)=0}$
  Это конкретизация свойства детерминанта, указанного выше. Из свойства детерминанта известно, что является сингулярным , когда является сингулярным. Это свойство также говорит, как векторы из нулевого пространства могут быть преобразованы в векторы нулевого пространства . ${\displaystyle T_{g*h}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle T_{g*h}}$
• Если является собственным вектором относительно собственного значения , т.е. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda }$

  ${\displaystyle T_{h}\cdot x=\lambda \cdot x}$,

  тогда является собственным вектором относительно того же собственного значения, т.е. ${\displaystyle x*(1,-1)}$ ${\displaystyle T_{h*(1,1)}}$

  ${\displaystyle T_{h*(1,1)}\cdot (x*(1,-1))=\lambda \cdot (x*(1,-1))}$.
• Пусть будут собственными значениями , что подразумевает и в более общем случае . Эта сумма полезна для оценки спектрального радиуса . Существует альтернативная возможность вычисления суммы степеней собственных значений, которая выполняется быстрее для малых . ${\displaystyle \lambda _{a},\dots ,\lambda _{b}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}+\dots +\lambda _{b}=\mathrm {tr} ~T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}^{n}+\dots +\lambda _{b}^{n}=\mathrm {tr} (T_{h}^{n})}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle n}$

  Пусть будет периодизацией относительно периода . То есть это круговой фильтр, что означает, что индексы компонентов являются классами остатков относительно модуля . Тогда с оператором повышающей дискретизации выполняется ${\displaystyle C_{k}h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle C_{k}h}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle \uparrow }$

  ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{h}^{n})=\left(C_{k}h*(C_{k}h\uparrow 2)*(C_{k}h\uparrow 2^{2})*\cdots *(C_{k}h\uparrow 2^{n-1})\right)_{[0]_{2^{n}-1}}}$

  На самом деле не свертки нужны, а только одни, при применении стратегии эффективного вычисления степеней. Еще более ускорить подход можно с помощью быстрого преобразования Фурье . ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle 2\cdot \log _{2}n}$
• Из предыдущего утверждения можно вывести оценку спектрального радиуса . Он имеет место ${\displaystyle \varrho (T_{h})}$

  ${\displaystyle \varrho (T_{h})\geq {\frac {a}{\sqrt {\#h}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {3\cdot \#h}}}}$

  где — размер фильтра, и если все собственные значения действительны, то также верно, что ${\displaystyle \#h}$

  ${\displaystyle \varrho (T_{h})\leq a}$,

  где . ${\displaystyle a=\Vert C_{2}h\Vert _{2}}$

Смотрите также

• определитель Гурвица

Ссылки

• Стрэнг, Гилберт (1996). «Собственные значения и сходимость каскадного алгоритма». Труды IEEE по обработке сигналов . 44 : 233–238. doi :10.1109/78.485920. ${\displaystyle (\downarrow 2){H}}$
• Тилеманн, Хеннинг (2006). Оптимально согласованные вейвлеты (кандидатская диссертация).(содержит доказательства вышеуказанных свойств)