Матрица скорости перехода

Матрица, описывающая непрерывные во времени цепи Маркова

В теории вероятностей матрица скорости перехода (также известная как Q-матрица , ^[1] матрица интенсивности , ^[2] или бесконечно малая генераторная матрица ^[3] ) представляет собой массив чисел, описывающих мгновенную скорость, с которой непрерывная во времени цепь Маркова переходит между состояниями.

В матрице переходных скоростей (иногда обозначаемой ^[4] ) элемент (для ) обозначает скорость выхода из состояния и прибытия в него . Скорости и диагональные элементы определяются таким образом, что ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle q_{ij}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle q_{ij}\geq 0}$ ${\displaystyle q_{ii}}$

${\displaystyle q_{ii}=-\sum _{j\neq i}q_{ij}}$,

и поэтому строки матрицы в сумме дают ноль.

С точностью до глобального знака большой класс примеров таких матриц дает лапласиан направленного взвешенного графа . Вершины графа соответствуют состояниям цепи Маркова.

Характеристики

Матрица переходных скоростей имеет следующие свойства: ^[5]

• Существует по крайней мере один собственный вектор с исчезающим собственным значением, ровно один, если граф сильно связан. ${\displaystyle Q}$
• Все остальные собственные значения удовлетворяют . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 0>\mathrm {Re} \{\lambda \}\geq 2\min _{i}q_{ii}}$
• Все собственные векторы с ненулевым собственным значением удовлетворяют . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$
• Матрица скорости перехода удовлетворяет соотношению , где P(t) — непрерывная стохастическая матрица . ${\displaystyle Q=P'(0)}$

Пример

Очередь M/M/1 , модель, которая подсчитывает количество заданий в системе массового обслуживания с прибытием со скоростью λ и обслуживанием со скоростью μ, имеет матрицу переходных скоростей

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&&\mu &-(\mu +\lambda )&\ddots &\\&&&\ddots &\ddots \end{pmatrix}}.}$

Смотрите также

• Стохастическая матрица

Ссылки

1. Сухов и Кельберт 2008, Определение 2.1.1.
2. Asmussen, SR (2003). "Markov Jump Processes". Прикладная вероятность и очереди . Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. Том 51. С. 39–59. doi :10.1007/0-387-21525-5_2. ISBN 978-0-387-00211-8.
3. Триведи, К. С.; Кулкарни, В. Г. (1993). "FSPN: Fluid Stochastic Petri Networks". Application and Theory of Petri Nets 1993. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 691. p. 24. doi :10.1007/3-540-56863-8_38. ISBN 978-3-540-56863-6.
4. Рубино, Херардо; Серикола, Бруно (1989). «Времена пребывания в конечных марковских процессах» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 26 (4). Applied Probability Trust: 744–756. doi :10.2307/3214379. JSTOR  3214379. S2CID  54623773.
5. Кайзер, Джоэл (1 ноября 1972 г.). «О решениях и стационарных состояниях основного уравнения». Журнал статистической физики . 6 (2): 67–72. Bibcode : 1972JSP.....6...67K. doi : 10.1007/BF01023679. ISSN  1572-9613. S2CID  120377514.

• Норрис, Дж. Р. (1997). Цепи Маркова . doi :10.1017/CBO9780511810633.005. ISBN 9780511810633.
• Сухов, Юрий; Кельберт, Марк (2008). Цепи Маркова: учебник по случайным процессам и их приложениям . Cambridge University Press.
• Syski, R. (1992). Времена прохождения для цепей Маркова. IOS Press. ISBN 90-5199-060-X.