В геометрии трансверсаль — это линия , которая проходит через две линии в одной плоскости в двух различных точках . Трансверсали играют роль в установлении того, являются ли две или более других линий в евклидовой плоскости параллельными . Пересечения трансверсали с двумя линиями создают различные типы пар углов : последовательные внутренние углы , последовательные внешние углы , соответственные углы и накрест лежащие углы . Как следствие постулата параллельности Евклида , если две линии параллельны, то последовательные внутренние углы являются дополнительными , соответственные углы равны, а накрест лежащие углы равны.
Трансверсаль образует 8 углов, как показано на графике слева вверху:
Трансверсаль, которая пересекает две параллельные линии под прямым углом, называется перпендикулярной трансверсалью . В этом случае все 8 углов прямые [1]
Когда линии параллельны , случай, который часто рассматривается, трансверсаль производит несколько конгруэнтных дополнительных углов . Некоторые из этих пар углов имеют особые названия и обсуждаются ниже: соответствующие углы, чередующиеся углы и последовательные углы. [2] [3] : Статья 87
Чередующиеся углы — это четыре пары углов, которые:
Если два угла одной пары равны (имеют одинаковую величину), то углы каждой из других пар также равны.
Предложение 1.27 « Начал» Евклида , теоремы абсолютной геометрии (следовательно, справедливой как в гиперболической , так и в евклидовой геометрии ), доказывает, что если углы пары накрест лежащих углов трансверсали равны, то две прямые параллельны (не пересекаются).
Из постулата параллельности Евклида следует , что если две прямые параллельны, то углы пары накрест лежащих углов секущей равны (Предложение 1.29 « Начал» Евклида ).
Соответственные углы — это четыре пары углов, которые:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда два угла любой пары соответствующих углов любой секущей равны (имеют одинаковую величину).
Предложение 1.28 «Начал» Евклида , теоремы абсолютной геометрии (следовательно, справедливой как в гиперболической , так и в евклидовой геометрии ), доказывает, что если углы пары соответствующих углов трансверсали равны, то две прямые параллельны (не пересекаются).
Из постулата параллельности Евклида следует , что если две прямые параллельны, то углы пары соответствующих углов секущей равны (Предложение 1.29 « Начал» Евклида ).
Если углы одной пары соответствующих углов конгруэнтны, то углы каждой из других пар также конгруэнтны. На различных изображениях с параллельными линиями на этой странице соответствующие пары углов: α=α 1 , β=β 1 , γ=γ 1 и δ=δ 1 .
Последовательные внутренние углы — это две пары углов, которые: [4] [2]
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда два угла любой пары последовательных внутренних углов любой секущей являются дополнительными (в сумме дают 180°).
Предложение 1.28 «Начал» Евклида , теоремы абсолютной геометрии (следовательно, справедливой как в гиперболической , так и в евклидовой геометрии ), доказывает, что если углы пары последовательных внутренних углов являются дополнительными, то две прямые параллельны (не пересекаются).
Из постулата параллельности Евклида следует , что если две прямые параллельны, то углы пары последовательных внутренних углов трансверсали являются дополнительными (предложение 1.29 « Начал» Евклида ).
Если одна пара последовательных внутренних углов является дополнительной, то другая пара также является дополнительной.
Если три прямые, находящиеся в общем положении и образующие треугольник, затем пересечь секущей, то длины шести получившихся отрезков удовлетворяют теореме Менелая .
Формулировка Евклида постулата параллельности может быть выражена в терминах трансверсали. В частности, если внутренние углы по одну сторону трансверсали меньше двух прямых углов, то линии должны пересекаться. Фактически, Евклид использует ту же фразу на греческом языке, которая обычно переводится как «трансверсаль». [5] : 308, nfote 1
Предложение 27 Евклида гласит, что если трансверсаль пересекает две прямые так, что внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Евклид доказывает это от противного : если прямые не параллельны, то они должны пересечься, и образуется треугольник. Тогда один из накрест лежащих углов является внешним углом, равным другому углу, который является противолежащим внутренним углом в треугольнике. Это противоречит предложению 16, которое гласит, что внешний угол треугольника всегда больше противолежащих внутренних углов. [5] : 307 [3] : Статья 88
Предложение 28 Евклида расширяет этот результат двумя способами. Во-первых, если трансверсаль пересекает две прямые так, что соответствующие углы равны, то прямые параллельны. Во-вторых, если трансверсаль пересекает две прямые так, что внутренние углы по одну сторону от трансверсали являются дополнительными, то прямые параллельны. Они следуют из предыдущего предложения путем применения того факта, что противолежащие углы пересекающихся прямых равны (Предложение 15) и что смежные углы на прямой являются дополнительными (Предложение 13). Как отметил Прокл , Евклид дает только три из возможных шести таких критериев для параллельных прямых. [5] : 309–310 [3] : Статья 89-90
Предложение Евклида 29 является обратным к предыдущим двум. Во-первых, если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то внутренние углы, противоположные ей, равны. Если нет, то один из них больше другого, что подразумевает, что его дополнение меньше, чем дополнение другого угла. Это подразумевает, что есть внутренние углы по одну сторону от трансверсали, которые меньше двух прямых углов, что противоречит пятому постулату. Предложение продолжается утверждением, что на трансверсали двух параллельных прямых соответствующие углы равны, а внутренние углы по одну сторону равны двум прямым углам. Эти утверждения следуют таким же образом, как Предложение 28 следует из Предложение 27. [5] : 311–312 [3] : Статья 93-95
Доказательство Евклида существенно использует пятый постулат, однако современные трактовки геометрии вместо этого используют аксиому Плейфера . Чтобы доказать предложение 29, предполагая аксиому Плейфера, пусть трансверсаль пересекает две параллельные прямые и предположим, что внутренние углы между ними не равны. Проведем третью прямую через точку, где трансверсаль пересекает первую прямую, но под углом, равным углу, который трансверсаль образует со второй прямой. Это дает две различные прямые через точку, обе параллельные другой прямой, что противоречит аксиоме. [5] : 313 [6]
В пространствах более высоких размерностей линия, пересекающая каждую из набора линий в различных точках, является трансверсалью этого набора линий. В отличие от двумерного (плоского) случая, существование трансверсалей не гарантируется для наборов из более чем двух линий.
В евклидовом 3-мерном пространстве регулус — это множество скрещивающихся прямых , R , такое, что через каждую точку каждой прямой R проходит трансверсаль R , а через каждую точку трансверсали R проходит прямая R. Множество трансверсалей регулуса R также является регулусом, называемым противоположным регулусом , R o . В этом пространстве три взаимно скрещивающиеся прямые всегда можно продолжить до регулуса.