Двоичная функция масс

В астрономии двойная функция масс или просто функция масс — это функция , которая ограничивает массу невидимого компонента (обычно звезды или экзопланеты ) в однолинейной спектроскопической двойной звезде или в планетной системе . Ее можно рассчитать только из наблюдаемых величин, а именно орбитального периода двойной системы и пиковой лучевой скорости наблюдаемой звезды. Скорость одного двойного компонента и орбитальный период предоставляют информацию о разделении и гравитационной силе между двумя компонентами и, следовательно, о массах компонентов.

Введение

Два тела, вращающиеся вокруг общего центра масс, обозначенного красным плюсом. Большее тело имеет большую массу, а следовательно, меньшую орбиту и меньшую орбитальную скорость, чем его компаньон с меньшей массой.

Функция массы двойной системы вытекает из третьего закона Кеплера , когда известна радиальная скорость одного компонента двойной системы. ^[1] Третий закон Кеплера описывает движение двух тел, вращающихся вокруг общего центра масс . Он связывает орбитальный период с орбитальным разделением двух тел и суммой их масс. Для заданного орбитального разделения более высокая общая масса системы подразумевает более высокие орбитальные скорости . С другой стороны, для заданной массы системы более длительный орбитальный период подразумевает большее разделение и более низкие орбитальные скорости.

Поскольку орбитальный период и орбитальные скорости в двойной системе связаны с массами двойных компонентов, измерение этих параметров дает некоторую информацию о массах одного или обоих компонентов. ^[2] Однако истинная орбитальная скорость часто неизвестна, поскольку скорости в плоскости неба определить гораздо сложнее, чем скорости вдоль луча зрения. ^[1]

Радиальная скорость — это компонент скорости орбитальной скорости в поле зрения наблюдателя. В отличие от истинной орбитальной скорости, радиальную скорость можно определить с помощью доплеровской спектроскопии спектральных линий в свете звезды ^[3] или по изменениям времени прибытия импульсов от радиопульсара . ^[4] Двойная система называется однолинейной спектроскопической двойной, если можно измерить радиальное движение только одного из двух двойных компонентов. В этом случае можно определить нижний предел массы другого, невидимого компонента. ^[1]

Истинную массу и истинную орбитальную скорость невозможно определить из радиальной скорости, поскольку наклонение орбиты , как правило, неизвестно. (Наклонение — это ориентация орбиты с точки зрения наблюдателя, и оно связывает истинную и радиальную скорости. ^[1] ) Это приводит к вырождению между массой и наклонением. ^{[5] [6]} Например, если измеренная радиальная скорость низкая, это может означать, что истинная орбитальная скорость низкая (подразумевая объекты с малой массой), а наклонение высокое (орбита видна с ребра), или что истинная скорость высокая (подразумевая объекты с большой массой), но наклонение низкое (орбита видна анфас).

Вывод для круговой орбиты

Кривая лучевой скорости с пиковой лучевой скоростью K = 1 м/с и орбитальным периодом 2 года.

Пиковая лучевая скорость — это полуамплитуда кривой лучевой скорости, как показано на рисунке. Орбитальный период определяется из периодичности кривой лучевой скорости. Это две наблюдаемые величины, необходимые для расчета функции двойной массы. ^[2] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P_{\text{orb}}}$

Наблюдаемый объект, лучевую скорость которого можно измерить, в данной статье принимается за объект 1, его невидимый спутник — за объект 2.

Пусть и — массы звезд, причем полная масса двойной системы, орбитальные скорости и — расстояния объектов до центра масс. — большая полуось (орбитальное разделение) двойной системы. ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}+M_{2}=M_{\mathrm {tot} }}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}=a}$

Начнем с третьего закона Кеплера, с орбитальной частоты и гравитационной постоянной , ${\displaystyle \omega _{\mathrm {orb} }=2\pi /P_{\mathrm {orb} }}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle GM_{\text{tot}}=\omega _{\text{orb}}^{2}a^{3}.}$$

Используя определение положения центра масс, [ ^1] можно записать ${\displaystyle M_{1}a_{1}=M_{2}a_{2}}$ $${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)=a_{1}\left(1+{\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)={\frac {a_{1}}{M_{2}}}(M_{1}+M_{2})={\frac {a_{1}M_{\mathrm {tot} }}{M_{2}}}.}$$

Подставляя это выражение в третий закон Кеплера, находим ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}{\frac {a_{1}^{3}M_{\mathrm {tot} }^{3}}{M_{2}^{3}}}.}$$

который можно переписать в $${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a_{1}^{3}}{G}}.}$$

Пиковая радиальная скорость объекта 1, зависит от наклона орбиты (наклон 0° соответствует орбите, видимой анфас, наклон 90° соответствует орбите, видимой ребро). Для круговой орбиты ( орбитальный эксцентриситет = 0) она определяется как ^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle K=v_{1}\sin i=\omega _{\text{orb}}a_{1}\sin i.}$$

После подстановки получаем ${\displaystyle a_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\text{tot}}^{2}}}={\frac {K^{3}}{G\omega _{\text{orb}}\sin ^{3}i}}.}$$

Бинарная функция масс (с единицей массы) равна ^{[8] [7] [2] [9] [1] [6] [10]} ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}.}$$

Для оценочной или предполагаемой массы наблюдаемого объекта 1 минимальная масса невидимого объекта 2 может быть определена путем предположения . Истинная масса зависит от наклона орбиты. Наклонение обычно неизвестно, но в некоторой степени его можно определить из наблюдаемых затмений , ^[2] ограничить из-за отсутствия наблюдения затмений, ^{[8] [9]} или смоделировать с использованием эллипсоидальных вариаций (несферическая форма звезды в двойной системе приводит к изменениям яркости в ходе орбиты, которые зависят от наклона системы). ^[11] ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {2,min} }}$ ${\displaystyle i=90^{\circ }}$ ${\displaystyle M_{2}}$

Пределы

В случае (например, когда невидимый объект является экзопланетой ^[8] ), функция масс упрощается до ${\displaystyle M_{1}\gg M_{2}}$ $${\displaystyle f\approx {\frac {M_{2}^{3}\ \sin ^{3}i}{M_{1}^{2}}}.}$$

В другом крайнем случае, когда (например, когда невидимый объект представляет собой черную дыру большой массы ), функция масс становится ^[2] и поскольку для , функция масс дает нижний предел массы невидимого объекта 2. ^[6] ${\displaystyle M_{1}\ll M_{2}}$ $${\displaystyle f\approx M_{2}\sin ^{3}i,}$$ ${\displaystyle 0\leq \sin(i)\leq 1}$ ${\displaystyle 0^{\circ }\leq i\leq 90^{\circ }}$

В общем случае для любого или , ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M_{1}}$ $${\displaystyle M_{2}>\max \left(f,f^{1/3}M_{1}^{2/3}\right).}$$

Эксцентрическая орбита

На орбите с эксцентриситетом функция масс определяется выражением ^{[7] [12]} ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}.}$$

Приложения

Рентгеновские двойные звезды

Если аккретор в рентгеновской двойной звезде имеет минимальную массу, которая значительно превышает предел Толмена–Оппенгеймера–Волкова (максимально возможная масса для нейтронной звезды ), ожидается, что это будет черная дыра. Так обстоит дело, например, в случае Cygnus X-1 , где была измерена лучевая скорость звезды-компаньона. ^{[13] [14]}

Экзопланеты

Экзопланета заставляет свою звезду - хозяина двигаться по небольшой орбите вокруг центра масс системы звезда-планета. Это «колебание» можно наблюдать, если лучевая скорость звезды достаточно высока. Это метод обнаружения экзопланет по лучевой скорости . ^{[5] [3]} Используя функцию масс и лучевую скорость звезды-хозяина, можно определить минимальную массу экзопланеты. ^{[15] [16] : 9  [12] [17]} Применение этого метода к Проксиме Центавра , ближайшей к Солнечной системе звезде, привело к открытию Проксимы Центавра b , планеты земного типа с минимальной массой 1,27  M _E . ^[18]

Планеты-пульсары

Планеты-пульсары — это планеты, вращающиеся вокруг пульсаров , и несколько из них были обнаружены с помощью хронометража пульсаров . Изменения радиальной скорости пульсара следуют из меняющихся интервалов между временем прибытия импульсов. ^[4] Первые экзопланеты были открыты таким образом в 1992 году вокруг миллисекундного пульсара PSR 1257+12 . ^[19] Другим примером является PSR J1719-1438 , миллисекундный пульсар, чей компаньон, PSR J1719-1438 b , имеет минимальную массу, приблизительно равную массе Юпитера , согласно функции масс. ^[8]

Ссылки

1. Карттунен, Ханну; Крегер, Пекка; Оя, Хейкки; Путанен, Маркку и Доннер, Карл Дж., ред. (2007) [1-е изд. 1987]. «Глава 9: Двойные звезды и звездные массы». Фундаментальная астрономия . Спрингер Верлаг . стр. 221–227. ISBN 978-3-540-34143-7.
2. Podsiadlowski, Philipp. "The Evolution of Binary Systems, in Accretion Processes in Astrophysics" (PDF) . Cambridge University Press . Получено 20 апреля 2016 г. .
3. "Лучевая скорость – первый метод, который сработал". Планетарное общество . Получено 20 апреля 2016 г.
4. "The Binary Pulsar PSR 1913+16". Корнелльский университет . Получено 26 апреля 2016 г.
5. Brown, Robert A. (2015). "Истинные массы экзопланет с радиальной скоростью". The Astrophysical Journal . 805 (2): 188. arXiv : 1501.02673 . Bibcode :2015ApJ...805..188B. doi :10.1088/0004-637X/805/2/188. S2CID  119294767.
6. Larson, Shane. "Binary Stars" (PDF) . Utah State University . Архивировано из оригинала (PDF) 12 апреля 2015 г. . Получено 26 апреля 2016 г. .
7. Tauris, TM & van den Heuvel, EPJ (2006). "Глава 16: Формирование и эволюция компактных звездных источников рентгеновского излучения". В Lewin, Walter & van der Klis, Michiel (ред.). Компактные звездные источники рентгеновского излучения . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press . стр. 623–665. arXiv : astro-ph/0303456 . ISBN 978-0-521-82659-4.
8. Бейлз, М .; Бейтс, С.Д.; Бхалерао, В.; Бхат, Н.Д.Р.; Бергей, М.; Берк-Сполаор, С.; д'Амико, Н.; Джонстон, С.; и др. (2011). «Превращение звезды в планету в миллисекундной двойной пульсарной системе». Science . 333 (6050): 1717–1720. arXiv : 1108.5201 . Bibcode :2011Sci...333.1717B. doi :10.1126/science.1208890. PMID  21868629. S2CID  206535504.
9. van Kerkwijk, MH; Breton, RP; Kulkarni, SR (2011). "Доказательства существования массивной нейтронной звезды на основе изучения радиальной скорости спутника пульсара "Черная вдова" PSR B1957+20". The Astrophysical Journal . 728 (2): 95. arXiv : 1009.5427 . Bibcode :2011ApJ...728...95V. doi :10.1088/0004-637X/728/2/95. S2CID  37759376.
10. "Binary Mass Function". COSMOS – The SAO Encyclopedia of Astronomy, Swinburne University of Technology . Получено 20 апреля 2016 г.
11. "The Orbital Inclination". Йельский университет . Архивировано из оригинала 14 мая 2020 г. Получено 17 февраля 2017 г.
12. Boffin, HMJ (2012). "Распределение массовых отношений спектроскопических двойных". В Arenou, F. & Hestroffer, D. (ред.). Труды семинара "Орбитальные пары: Па-де-де в Солнечной системе и Млечном Пути" . Observatoire de Paris. стр. 41–44. Bibcode : 2012ocpd.conf...41B. ISBN 978-2-910015-64-0.
13. Маудер, Х. (1973), «О пределе массы источника рентгеновского излучения в Лебеде X-1», Астрономия и астрофизика , 28 : 473–475, Bibcode : 1973A&A....28..473M
14. "Наблюдательные доказательства существования черных дыр" (PDF) . Университет Теннесси . Архивировано из оригинала (PDF) 10 октября 2017 г. . Получено 3 ноября 2016 г. .
15. "Документация и методология". Exoplanet Data Explorer . Получено 25 апреля 2016 г.
16. Батлер, RP ; Райт, JT; Марси, GW ; Фишер, DA ; Фогт, SS ; Тинни, CG; Джонс, HRA; Картер, BD; и др. (2006). «Каталог близких экзопланет». The Astrophysical Journal . 646 (1): 505–522. arXiv : astro-ph/0607493 . Bibcode :2006ApJ...646..505B. doi :10.1086/504701. S2CID  119067572.
17. Колена, Джон. «Обнаружение невидимых объектов: руководство по открытию внесолнечных планет и черных дыр». Университет Дьюка . Получено 25 апреля 2016 г.
18. Anglada-Escudé, Guillem; Amado, Pedro J.; Barnes, John; et al. (2016). «Кандидат в планеты земного типа на умеренной орбите вокруг Проксимы Центавра». Nature . 536 (7617): 437–440. arXiv : 1609.03449 . Bibcode :2016Natur.536..437A. doi :10.1038/nature19106. PMID  27558064. S2CID  4451513.
19. Wolszczan, DA ; Frail, D. (9 января 1992 г.). "Планетная система вокруг миллисекундного пульсара PSR1257+12". Nature . 355 (6356): 145–147. Bibcode :1992Natur.355..145W. doi :10.1038/355145a0. S2CID  4260368.