Каноническое преобразование

Преобразование координат, сохраняющее форму уравнений Гамильтона

В гамильтоновой механике каноническое преобразование — это замена канонических координат ( q , p ) → ( Q , P ) , сохраняющая форму уравнений Гамильтона . Иногда это называют инвариантностью формы . Хотя уравнения Гамильтона сохраняются, им не обязательно сохранять явную форму самого гамильтониана . Канонические преобразования полезны сами по себе, а также составляют основу уравнений Гамильтона-Якоби (полезный метод расчета сохраняющихся величин ) и теоремы Лиувилля (которая сама по себе является основой классической статистической механики ).

Поскольку лагранжева механика основана на обобщенных координатах , преобразования координат q → Q не влияют на вид уравнений Лагранжа и, следовательно, не влияют на вид уравнений Гамильтона , если импульс одновременно изменяется преобразованием Лежандра в

$${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}\ ,}$$

степеней свободы ${\displaystyle \left\{\ (P_{1},Q_{1}),\ (P_{2},Q_{2}),\ (P_{3},Q_{3}),\ \ldots \ \right\}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i},}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots \ N,}$ ${\displaystyle N}$

Следовательно, преобразования координат (также называемые преобразованиями точек ) являются разновидностью канонических преобразований. Однако класс канонических преобразований гораздо шире, поскольку старые обобщенные координаты, импульсы и даже время могут быть объединены в новые обобщенные координаты и импульсы. Канонические преобразования, которые явно не включают время, называются ограниченными каноническими преобразованиями (во многих учебниках рассматривается только этот тип).

Современные математические описания канонических преобразований рассматриваются в рамках более широкой темы симплектоморфизма , которая охватывает предмет с расширенными математическими предпосылками, такими как кокасательные расслоения , внешние производные и симплектические многообразия .

Обозначения

Переменные, выделенные жирным шрифтом, такие как q, представляют собой список N обобщенных координат , которые не нужно трансформировать, как вектор при вращении , и аналогичным образом p представляет соответствующий обобщенный импульс , например,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &\equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right)\\\mathbf {p} &\equiv \left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N-1},p_{N}\right).\end{aligned}}}$$

Точка над переменной или списком означает производную по времени, например:

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}}$$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {q} }}\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial f}{\partial {q_{i}}}}\quad (\forall i).}$$

Обозначение скалярного произведения между двумя списками с одинаковым количеством координат является сокращением суммы произведений соответствующих компонентов, например:

$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$$

Скалярное произведение (также известное как «внутреннее произведение») отображает два списка координат в одну переменную, представляющую одно числовое значение. Координаты после преобразования аналогично помечены Q для преобразованных обобщенных координат и P для преобразованного обобщенного импульса.

Условия ограниченного канонического преобразования.

Ограниченные канонические преобразования — это преобразования координат, при которых преобразованные координаты Q и P не имеют явной зависимости от времени, т.е. и . Функциональная форма уравнений Гамильтона имеет вид ${\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ ${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}}$$

( q , p ) → ( Q , P )уравнений Гамильтона^[1]

$${\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(q(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),p(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),t)+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$$

Помимо того, что форма гамильтониана остается неизменной, он также позволяет использовать неизмененный гамильтониан в уравнениях движения Гамильтона благодаря указанной выше форме:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}&&=-\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {Q} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}&&=\,\,\,\,\,\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {P} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\end{alignedat}}}$$

Хотя канонические преобразования относятся к более общему набору преобразований фазового пространства, соответствующему менее разрешительным преобразованиям гамильтониана, они обеспечивают более простые условия для получения результатов, которые можно далее обобщить. Все следующие условия, за исключением условия билинейной инвариантности, могут быть обобщены на канонические преобразования, в том числе временные.

Косвенные условия

Поскольку ограниченные преобразования не имеют явной зависимости от времени (по определению), производная по времени новой обобщенной координаты Q _m равна

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}}$$

{⋅, ⋅}скобка Пуассона

Аналогично, для тождества сопряженного импульса P _m с использованием формы камильтониана следует, что:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}\\&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}}$$

Из-за вида гамильтоновых уравнений движения

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}}$$

если преобразование является каноническим, два полученных результата должны быть равны, что приводит к уравнениям:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}$$

Аналогичное рассуждение для обобщенных импульсов P _m приводит к двум другим системам уравнений:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}$$

Это косвенные условия проверки каноничности данного преобразования.

Симплектическое условие

Иногда гамильтоновы соотношения представляются как:

$${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H}$$

Где ${\textstyle J:={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

и . Аналогично, пусть . ${\textstyle \mathbf {\eta } ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n}\\\end{bmatrix}}}$ ${\textstyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{n}\\P_{1}\\\vdots \\P_{n}\\\end{bmatrix}}}$

Из отношения частных производных преобразование отношения в частные производные с новыми переменными дает где . Аналогично для , ${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H}$ ${\displaystyle {\dot {\eta }}=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}$ ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H}$$

Ввиду вида гамильтоновых уравнений для , ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H}$$

где может использоваться из-за формы каминианского языка. Приравнивание двух уравнений дает симплектическое условие: ^[2] ${\textstyle \nabla _{\varepsilon }K=\nabla _{\varepsilon }H}$

$${\displaystyle MJM^{T}=J}$$

^[3]симплектическую группу ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$ ${\textstyle M^{T}JM=J}$ ${\textstyle J^{-1}=-J}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }H}$

Инвариантность скобки Пуассона

Скобка Пуассона , которая определяется как:

$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)}$$

$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)}$$

^[4]

$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\{u,v\}_{\varepsilon }}$$

Симплектическое условие можно также восстановить, взяв и что показывает, что . Таким образом, эти условия эквивалентны симплектическим условиям. Кроме того, видно, что , что также является результатом явного вычисления матричного элемента путем его расширения. ^[3] ${\textstyle u=\varepsilon _{i}}$ ${\textstyle v=\varepsilon _{j}}$ ${\textstyle (MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}}$

Инвариантность скобки Лагранжа.

Скобка Лагранжа , которая определяется как:

$${\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)}$$

можно представить в матричной форме как:

$${\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)}$$

Используя аналогичный вывод, получаем:

$${\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }}$$

^[3] ${\textstyle u=\eta _{i}}$ ${\textstyle v=\eta _{j}}$ ${\textstyle (M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}$

Условия билинейной инвариантности

Этот набор условий применим только к ограниченным каноническим преобразованиям или каноническим преобразованиям, которые не зависят от переменной времени.

Рассмотрим произвольные вариации двух видов в одной паре обобщенной координаты и соответствующего импульса: ^[5]

${\textstyle d\varepsilon =(dq_{1},dp_{1},0,0,\ldots ),\quad \delta \varepsilon =(\delta q_{1},\delta p_{1},0,0,\ldots ).}$

Площадь бесконечно малого параллелограмма определяется выражением:

${\textstyle \delta a(12)=dq_{1}\delta p_{1}-\delta q_{1}dp_{1}={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon .}$

Из условия симплектики следует , что бесконечно малая площадь сохраняется при каноническом преобразовании: ${\textstyle M^{T}JM=J}$

${\textstyle \delta a(12)={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon ={(M\delta \eta )}^{T}\,J\,Md\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,M^{T}JM\,d\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,J\,d\eta =\delta A(12).}$

Обратите внимание, что новые координаты не обязательно должны быть полностью ориентированы в одной координатной плоскости импульса.

Следовательно, в более общем смысле это условие формулируется как инвариантность формы при каноническом преобразовании, расширенное как: ${\textstyle {(d\varepsilon )}^{T}\,J\,\delta \varepsilon }$

$${\displaystyle \sum \delta q\cdot dp-\delta p\cdot dq=\sum \delta Q\cdot dP-\delta P\cdot dQ}$$

^{[6] [7][8]} ${\textstyle {v}^{T}\,J\,w}$ ${\textstyle {v}}$ ${\textstyle w}$

Теорема Лиувилля

Косвенные условия позволяют доказать теорему Лиувилля , которая утверждает, что объем в фазовом пространстве сохраняется при канонических преобразованиях, т. е.

$${\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} }$$

По исчислению последний интеграл должен равняться первому, умноженному на определитель якобиана M.

$${\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int \det(M)\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} }$$

${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$

Использование свойства «разделения» якобианов дает

$${\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.}$$

Устранение повторяющихся переменных дает

$${\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.}$$

Применение косвенных условий выше дает . ^[9] ${\displaystyle \operatorname {det} (M)=1}$

Подход с использованием производящих функций

Чтобы гарантировать допустимое преобразование между ( q , p , H ) и ( Q , P , K ) , мы можем прибегнуть к подходу прямой производящей функции . Оба набора переменных должны подчиняться принципу Гамильтона . То есть интеграл действия по лагранжианам и , полученный из соответствующего гамильтониана посредством «обратного» преобразования Лежандра , должен быть стационарным в обоих случаях (так что можно использовать уравнения Эйлера – Лагранжа для получения гамильтоновых уравнений движения обозначенных форма, как показано, например, здесь ): ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}$$

Один из способов выполнения обоих вариационных интегральных равенств состоит в том, чтобы иметь

$${\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}$$

Лагранжианы не уникальны: всегда можно умножить на константу λ и добавить полную производную по времени.генеральный директор/DTи получим те же уравнения движения (как описано в Wikibooks). Обычно масштабный коэффициент λ устанавливается равным единице; Канонические преобразования, для которых λ ≠ 1, называются расширенными каноническими преобразованиями .генеральный директор/DTсохраняется, иначе проблема стала бы тривиальной, и у новых канонических переменных не было бы особой свободы отличаться от старых.

Здесь G — производящая функция одной старой канонической координаты ( q или p ), одной новой канонической координаты ( Q или P ) и (возможно) времени t . Таким образом, существует четыре основных типа производящих функций (хотя могут существовать и смеси этих четырех типов), в зависимости от выбора переменных. Как будет показано ниже, производящая функция будет определять преобразование от старых канонических координат к новым , и любое такое преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) гарантированно будет каноническим.

Подробно обсуждаются различные производящие функции и их свойства, представленные в таблице ниже:

Производящая функция типа 1

Производящая функция 1-го типа G ₁ зависит только от старых и новых обобщенных координат

$${\displaystyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$$

$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, должны выполняться следующие 2 N + 1 уравнения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Эти уравнения определяют преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) следующим образом: Первый набор N уравнений

$${\displaystyle \ \mathbf {p} ={\frac {\ \partial G_{1}\ }{\partial \mathbf {q} }}\ }$$

обобщенными координатами Qканоническими координатами ( q , p )Q _kQвторуюN

$${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$$

Pканонических координатах ( q , p )старые канонические координаты ( q , p )новых канонических координат ( Q , P )

$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$$

Kканонических координат ( Q , P )

На практике эта процедура проще, чем кажется, поскольку производящая функция обычно проста. Например, пусть

$${\displaystyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}}$$

К = ЧАС

Производящая функция типа 2

Производящая функция типа 2 зависит только от старых обобщенных координат и новых обобщенных импульсов ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$

$${\displaystyle G\equiv G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$$

преобразование Лежандра ${\displaystyle -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$

$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$$

Поскольку старые координаты и новые импульсы независимы, должны выполняться следующие 2 N + 1 уравнения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Эти уравнения определяют преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) следующим образом: Первый набор N уравнений

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$$

Pканоническими координатами ( q , p )P _kPвторуюN

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$$

Qканонические координаты ( q , p )старые канонические координаты ( q , p )новых канонических координат ( Q , P )

$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$$

Kканонических координат ( Q , P )

На практике эта процедура проще, чем кажется, поскольку производящая функция обычно проста. Например, пусть

$${\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P} }$$

gN

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)}$$

Производящая функция типа 3

Производящая функция типа 3 зависит только от старых обобщенных импульсов и новых обобщенных координат. ${\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$

$${\displaystyle G\equiv G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$$

преобразование Лежандра ${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$

$${\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, должны выполняться следующие 2 N + 1 уравнения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Эти уравнения определяют преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) следующим образом: Первый набор N уравнений

$${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$$

обобщенными координатами Qканоническими координатами ( q , p )Q _kQвторуюN

$${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$$

Pканонических координатах ( q , p )старые канонические координаты ( q , p )новых канонических координат ( Q , P )

$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$$

Kканонических координат ( Q , P )

На практике эта процедура проще, чем кажется, поскольку производящая функция обычно проста.

Производящая функция типа 4

Производящая функция 4-го типа зависит только от старого и нового обобщенных импульсов ${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$

$${\displaystyle G\equiv G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$$

преобразование Лежандра ${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$

$${\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, должны выполняться следующие 2 N + 1 уравнения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Эти уравнения определяют преобразование ( q , p ) → ( Q , P ) следующим образом: Первый набор N уравнений

$${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$$

Pканоническими координатами ( q , p )P _kPвторуюN

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$$

Qканонические координаты ( q , p )старые канонические координаты ( q , p )новых канонических координат ( Q , P )

$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$$

Kканонических координат ( Q , P )

Ограничения на производящие функции

Например, используя производящую функцию второго рода: и , первый набор уравнений, состоящий из переменных , и необходимо инвертировать, чтобы получить . Этот процесс возможен, когда матрица, определяемая невырожденной. ^[11] ${\textstyle {p}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}_{i}}}}$ ${\textstyle {Q}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}_{i}}}}$ ${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\textstyle \mathbf {q} }$ ${\textstyle \mathbf {P} }$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ ${\textstyle a_{ij}={\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}}$

$${\displaystyle \left|{\begin{array}{l l l}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{n}}}}\\{\quad \vdots }&{\ddots }&{\quad \vdots }\\{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{n}}}}\end{array}}\right|{\neq 0}}$$

Следовательно, на производящие функции накладываются ограничения на невырожденность матриц : , , . ^{[12] [13]} ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]}$

Ограничения производящих функций

Поскольку несингулярно, отсюда следует, что оно также неособо. Поскольку матрица обратна , преобразования производящих функций типа 2 всегда имеют неособую матрицу. Аналогично можно утверждать, что производящие функции типа 1 и типа 4 всегда имеют неособую матрицу, тогда как производящие функции типа 2 и типа 3 всегда имеют неособую матрицу. Следовательно, канонические преобразования, возникающие в результате этих производящих функций, не являются полностью общими. ^[14] ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$

Другими словами, поскольку ( Q , P ) и ( q , p ) являются каждая 2 N независимыми функциями, отсюда следует, что для того, чтобы иметь производящую функцию вида и или и , соответствующие матрицы Якоби и ограничены, чтобы быть несингулярными, обеспечивая что производящая функция является функцией 2 N + 1 независимых переменных. Однако, как особенность канонических преобразований, всегда можно выбрать 2 N таких независимых функций из наборов ( q , p ) или ( Q , P ) , чтобы сформировать представление производящей функции канонических преобразований, включая переменную времени. Следовательно, можно доказать, что каждое конечное каноническое преобразование может быть задано как замкнутая, но неявная форма, являющаяся вариантом данных четырех простых форм. ^[15] ${\textstyle G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ ${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$ ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ ${\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$

Условия канонического преобразования

Канонические преобразования преобразования

Из: , вычислите : ${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}={\frac {\partial K}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}={\dot {Q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\={\dot {q}}\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}-{\frac {\partial p}{\partial P}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial q}{\partial P}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial Q}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}}$ ${\textstyle {\dot {q}}}$ ${\textstyle {\dot {p}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$

Сходным образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}={\frac {\partial K}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}=-{\dot {P}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\=-{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial P}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}-{\frac {\partial P}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\=-\left({\dot {q}}\left({\frac {\partial P}{\partial q}}+{\frac {\partial p}{\partial Q}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial P}{\partial p}}-{\frac {\partial q}{\partial Q}}\right)+{\frac {\partial P}{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$

${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$

Два приведенных выше отношения можно объединить в матричной форме как: (которая также сохранит ту же форму для расширенного канонического преобразования), где был использован результат . Следовательно, канонические отношения преобразования считаются эквивалентными в этом контексте. ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-H}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

Канонические соотношения трансформации теперь можно переформулировать, включив в них зависимость от времени:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$

QP ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$ ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$

Симплектическое условие

Применение преобразования формулы координат для , в уравнениях гамильтониана дает: ${\displaystyle \nabla _{\eta }H=M^{T}\nabla _{\varepsilon }H}$

$${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}$$

Аналогично для : ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)}$$

${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ ${\textstyle MJM^{T}=J}$ ${\textstyle M^{T}JM=J}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

Инвариантность скобки Пуассона и Лагранжа.

Поскольку и где в последних равенствах использовано условие симплектики. Используя , получены равенства и , влекущие инвариантность скобок Пуассона и Лагранжа. ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}$ ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }}$ ${\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }}$

Расширенное каноническое преобразование

Канонические преобразования преобразования

Решив для:

$${\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}$$

${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ ${\textstyle \lambda =1}$

Все результаты, представленные ниже, могут быть получены также заменой , и из известных решений, так как она сохраняет форму уравнений Гамильтона . Поэтому говорят, что расширенные канонические преобразования являются результатом канонического преобразования ( ) и тривиального канонического преобразования ( ), которое (для данного примера удовлетворяет условию). ^[16] ${\textstyle q\rightarrow {\sqrt {\lambda }}q}$ ${\textstyle p\rightarrow {\sqrt {\lambda }}p}$ ${\textstyle H\rightarrow {\lambda }H}$ ${\textstyle \lambda =1}$ ${\textstyle \lambda \neq 1}$ ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$ ${\textstyle M={\sqrt {\lambda }}I}$

Используя те же шаги, которые ранее применялись в предыдущем обобщении, в общем случае и сохраняя уравнение , отношения в частных производных расширенного канонического преобразования получаются как: ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial g}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$

Симплектическое условие

Выполнив те же шаги для вывода симплектических условий, что и:

$${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}$$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$$

где использование вместо этого дает: ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=\lambda J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)}$$

^[17] ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$

Скобки Пуассона и Лагранжа.

Скобки Пуассона изменяются следующим образом:

$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda (\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda \{u,v\}_{\varepsilon }}$$

$${\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }}$$

^[18] ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda }$

Инфинитезимальное каноническое преобразование

Рассмотрим каноническое преобразование, зависящее от непрерывного параметра , следующим образом: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}}$

Для бесконечно малых значений соответствующие преобразования называются бесконечно малыми каноническими преобразованиями , которые также известны как дифференциальные канонические преобразования. ${\displaystyle \alpha }$

Рассмотрим следующую производящую функцию:

${\displaystyle G_{2}(q,P,t)=qP+\alpha G(q,P,t)}$

Поскольку для , имеет результирующее каноническое преобразование, и этот тип производящей функции можно использовать для бесконечно малого канонического преобразования, ограничиваясь бесконечно малым значением. Из условий генераторов второго типа: ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle G_{2}=qP}$ ${\displaystyle Q=q}$ ${\displaystyle P=p}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{p}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}}}=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,P,t)\\{Q}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}}}=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {P}}}(q,P,t)\\\end{aligned}}}$$

^[19] ${\displaystyle P=P(q,p,t;\alpha )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(q,p,t)}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{p}&=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,p,t)\\{Q}&=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\\\end{aligned}}}$$

^[20]

Активные канонические преобразования

При пассивном взгляде на преобразования система координат изменяется без изменения физической системы, тогда как при активном взгляде на преобразования система координат сохраняется, и говорят, что физическая система претерпевает преобразования. Таким образом, используя соотношения бесконечно малых канонических преобразований, говорят, что изменение состояний системы при активном рассмотрении канонического преобразования равно:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta q=\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\quad {\text{and}}\quad \delta p=-\alpha {\frac {\partial G}{\partial q}}(q,p,t),\\\end{aligned}}}$

или как в матричной форме. ${\displaystyle \delta \eta =\alpha J\nabla _{\eta }G}$

Для любой функции она изменяется при активном просмотре преобразования в соответствии с: ${\displaystyle u(\eta )}$

${\displaystyle \delta u=u(\eta +\delta \eta )-u(\eta )=(\nabla _{\eta }u)^{T}\delta \eta =\alpha (\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }G)=\alpha \{u,G\}.}$

Учитывая изменение гамильтонианов в активном представлении , т.е. для фиксированной точки,

$${\displaystyle K(Q=q_{0},P=p_{0},t)-H(q=q_{0},p=p_{0},t)=\left(H(q_{0}',p_{0}',t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\right)-H(q_{0},p_{0},t)=-\delta H+\alpha {\frac {\partial G}{\partial t}}=\alpha \left(\{G,H\}+{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)=\alpha {\frac {dG}{dt}}}$$

${\textstyle (q=q_{0}',p=p_{0}')}$ ${\textstyle (Q=q_{0},P=p_{0})}$ ${\displaystyle G(q,P,t)}$ ${\displaystyle G(q,p,t)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Примеры ИКТ

Эволюция времени

Взяв и , то . Таким образом, непрерывное применение такого преобразования отображает координаты в . Следовательно, если гамильтониан инвариантен к сдвигу во времени, т. е. не имеет явной зависимости от времени, его значение сохраняется для движения. ${\displaystyle G(q,p,t)=H(q,p,t)}$ ${\displaystyle \alpha =dt}$ ${\displaystyle \delta \eta =(J\nabla _{\eta }H)dt={\dot {\eta }}dt=d\eta }$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$ ${\displaystyle \eta (\tau +t)}$

Перевод

Взяв и .​ Следовательно, канонический импульс вызывает сдвиг соответствующей обобщенной координаты, и если гамильтониан является инвариантом переноса, импульс является константой движения. ${\displaystyle G(q,p,t)=p_{k}}$ ${\displaystyle \delta p_{i}=0}$ ${\displaystyle \delta q_{i}=\alpha \delta _{ik}}$

Вращение

Рассмотрим ортогональную систему для системы N-частиц:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathbf {q} =\left(x_{1},y_{1},z_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z_{n}\right),}\\{\mathbf {p} =\left(p_{1x},p_{1y},p_{1z},\ldots ,p_{nx},p_{ny},p_{nz}\right).}\end{array}}}$

Если выбрать генератор: и бесконечно малое значение , то изменение координат для x определяется выражением: ${\displaystyle G=L_{z}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix}\right)}$ ${\displaystyle \alpha =\delta \phi }$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\delta x_{i}=\{x_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{x_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\underbrace {\{x_{i},x_{j}p_{jy}\}} _{=0}-{\{x_{i},y_{j}p_{jx}\}}})\delta \phi \\{=\displaystyle -\sum _{j}y_{j}\underbrace {\{x_{i},p_{jx}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =-y_{i}\delta \phi }\end{array}}}$

и аналогично для y:

${\displaystyle {\begin{array}{c}\delta y_{i}=\{y_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{y_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\{y_{i},x_{j}p_{jy}\}-\underbrace {\{y_{i},y_{j}p_{jx}\}} _{=0})\delta \phi \\{=\displaystyle \sum _{j}x_{j}\underbrace {\{y_{i},p_{jy}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =x_{i}\delta \phi \,,}\end{array}}}$

тогда как z-компонента всех частиц не меняется: . ${\displaystyle \delta z_{i}=\left\{z_{i},G\right\}\delta \phi =\sum _{j}\left\{z_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\right\}\delta \phi =0}$

Эти преобразования соответствуют повороту вокруг оси z на угол в первом приближении. Следовательно, повторное применение бесконечно малого канонического преобразования порождает вращение системы частиц вокруг оси z. Если гамильтониан инвариантен относительно вращения вокруг оси z, то генератор — составляющая момента импульса вдоль оси вращения — является инвариантом движения. ^[20] ${\displaystyle \delta \phi }$

Движение как каноническое преобразование

Само движение (или, что то же самое, сдвиг начала времени) является каноническим преобразованием. Если и , то автоматически выполняется принцип Гамильтона ${\displaystyle \mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )}$

$${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0}$$

принципу Гамильтона ${\displaystyle (\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))}$

Примеры

• Перевод где два постоянных вектора является каноническим преобразованием. Действительно, матрица Якобиана есть тождество, которое является симплектическим: . ${\displaystyle \mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ ${\displaystyle I^{\text{T}}JI=J}$
• Set и , преобразование где – матрица вращения порядка 2 является каноническим. Учитывая, что этому подчиняются специальные ортогональные матрицы, легко увидеть, что якобиан симплектичен. Однако этот пример работает только в размерности 2: это единственная специальная ортогональная группа, в которой каждая матрица симплектична. Обратите внимание, что вращение здесь действует , а не независимо , поэтому это не то же самое, что физическое вращение ортогональной пространственной системы координат. ${\displaystyle \mathbf {x} =(q,p)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =(Q,P)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x} }$ ${\displaystyle R\in SO(2)}$ ${\displaystyle R^{\text{T}}R=I}$ ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$
• Преобразование , где – произвольная функция от , является каноническим. Матрица Якобиана действительно имеет вид ${\displaystyle (Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle p}$
  $${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}}$$
  что является симплектическим.

Современное математическое описание

В математических терминах канонические координаты — это любые координаты в фазовом пространстве ( кокасательном расслоении ) системы, которые позволяют записать каноническую одну форму как

$${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,dq^{i}}$$

точная формаканоническим преобразованиемкоординат qверхнего индексаиндексасвойства контравариантного преобразованиянео симплектоморфизме ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$

История

Первое крупное применение канонического преобразования было сделано в 1846 году Шарлем Делоне при изучении системы Земля-Луна-Солнце . Результатом этой работы стала публикация пары больших томов под названием « Мемуары» Французской академии наук в 1860 и 1867 годах.

Смотрите также

• Симплектоморфизм
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Теорема Лиувилля (гамильтониан)
• Преобразование Матье
• Линейное каноническое преобразование

Примечания

1. Гольдштейн, Пул и Сафко 2007, с. 370
2. Гольдштейн, Пул и Сафко 2007, с. 381-384
3. Джакалья 1972, с. 8-9
4. Лемос 2018, с. 255
5. Hand & Finch 1999, с. 250-251
6. Ланцос 2012, с. 121
7. Гупта и Гупта 2008, с. 304
8. Лурье 2002, с. 337
9. Лурье 2002, с. 548-550
10. Гольдштейн, Пул и Сафко 2007, с. 373
11. Джонс 2005, с. 438
12. Лурье 2002, с. 547
13. Сударшан и Мукунда 2010, с. 58
14. Джонс 2005, с. 437-439
15. Сударшан и Мукунда 2010, стр. 58–60.
16. Джакалья 1972, с. 18-19
17. Гольдштейн, Пул и Сафко 2007, с. 383
18. Джакалья 1972, с. 16-17
19. Джонс 2005, с. 452-454
20. Хергерт, Хейко (10 декабря 2021 г.). «PHY422/820: Классическая механика» (PDF) . Архивировано (PDF) оригинала 22 декабря 2023 г. Проверено 22 декабря 2023 г.

Рекомендации

• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2007). Классическая механика (3-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон [ua] ISBN 978-0-321-18897-7.
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975) [1939]. Механика . Перевод Белла, С.Дж .; Сайкс, Дж. Б. (3-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-7506-28969.
• Джакалья, Джорджио Эухенио Оскар (1972). Методы возмущений в нелинейных системах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90054-3. LCCN  72-87714.
• Ланцос, Корнелиус (24 апреля 2012 г.). Вариационные принципы механики. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-13470-3.
• Лурье, Анатолий Иванович (2002). Аналитическая механика (1-е изд.). Шпрингер-Верлаг Берлин. ISBN 978-3-642-53650-2.
• Гупта, Правин П.; Гупта, Санджай (2008). Жесткая динамика (10-е изд.). Кришна Пракашан Медиа.
• Джонс, Оливер Дэвис (2005). Аналитическая механика для теории относительности и квантовой механики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-856726-4.
• Лемос, Нивалдо А (2018). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-41658-0.
• Хэнд, Луи Н.; Финч, Джанет Д. (1999). Аналитическая механика (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521573276.
• Сударшан, ЕС Джордж; Мукунда, Н. (2010). Классическая динамика: современный взгляд. Уайли. ISBN 9780471835400.