Ультрапродукт

Математическое построение

Ультрапроизведение — это математическая конструкция, которая появляется в основном в абстрактной алгебре и математической логике , в частности в теории моделей и теории множеств . Ультрапроизведение — это частное прямого произведения семейства структур . Все факторы должны иметь одинаковую сигнатуру . Ультрастепень — это частный случай этой конструкции, в которой все факторы равны.

Например, ультрастепени могут быть использованы для построения новых полей из заданных. Гипердействительные числа , ультрастепень действительных чисел , являются частным случаем этого.

Некоторые яркие приложения ультрапроизведений включают в себя весьма элегантные доказательства теоремы о компактности и теоремы о полноте , теорему Кейслера об ультрастепени, которая дает алгебраическую характеристику семантического понятия элементарной эквивалентности, и представление Робинсона–Закона об использовании надстроек и их мономорфизмов для построения нестандартных моделей анализа, что привело к росту области нестандартного анализа , которая была впервые предложена (как приложение теоремы о компактности) Абрахамом Робинсоном .

Определение

Общий метод получения ультрапродуктов использует индекс, задающий структуру ( в этой статье предполагается, что она непустая) для каждого элемента (все имеют одинаковую сигнатуру ), и ультрафильтр по ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I.}$

Для любых двух элементов и декартова произведения объявить их -эквивалентными , записанными или тогда и только тогда, когда набор индексов, по которым они совпадают, является элементом в символах, который сравнивает компоненты только относительно ультрафильтра Это бинарное отношение является отношением эквивалентности ^{[доказательство 1]} декартова произведения ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\textstyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=_{\mathcal {U}}b_{\bullet },}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}};}$ $${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }\;\iff \;\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.}$

Ультрапроизведение по модулю является ${\displaystyle M_{\bullet }=\left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ частным по отношению к и поэтому иногда обозначается как или ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }.}$

Явно, если класс -эквивалентности элемента обозначается как , то ультрапроизведение представляет собой множество всех классов -эквивалентности ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$ $${\displaystyle a_{\mathcal {U}}:={\big \{}x\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\;:\;x\sim a{\big \}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ $${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\;=\;\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\;:=\;\left\{a_{\mathcal {U}}\;:\;a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\right\}.}$$

Хотя предполагалось, что это ультрафильтр, приведенную выше конструкцию можно реализовать в более общем виде, когда это просто фильтр по , и в этом случае полученное фактор-множество называется ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/\,{\mathcal {U}}}$уменьшенное произведение .

Когда является главным ультрафильтром (что происходит тогда и только тогда, когда содержит свое ядро ​​), то ультрапроизведение изоморфно одному из множителей. И поэтому обычно не является главным ультрафильтром , что происходит тогда и только тогда, когда является свободным (то есть ), или, что эквивалентно, если каждое коконечное подмножество является элементом Поскольку каждый ультрафильтр на конечном множестве является главным, множество индексов , следовательно, также обычно бесконечно. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}=\varnothing }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle I}$

Ультрапроизведение действует как пространство фильтров-произведений, где элементы равны, если они равны только в отфильтрованных компонентах (неотфильтрованные компоненты игнорируются при эквивалентности). Можно определить конечно-аддитивную меру на множестве индексов , сказав if и otherwise. Тогда два члена декартова произведения эквивалентны точно, если они равны почти всюду на множестве индексов. Ультрапроизведение — это множество классов эквивалентности, сгенерированное таким образом. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle m(A)=1}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle m(A)=0}$

Финитные операции над декартовым произведением определяются поточечно (например, если — бинарная функция, то ). Другие отношения можно расширить таким же образом: где обозначает класс -эквивалентности относительно В частности, если каждое — упорядоченное поле , то таковым является и ультрапроизведение. ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle a_{i}+b_{i}=(a+b)_{i}}$ $${\displaystyle R\left(a_{\mathcal {U}}^{1},\dots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right)~\iff ~\left\{i\in I:R^{M_{i}}\left(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n}\right)\right\}\in {\mathcal {U}},}$$ ${\displaystyle a_{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sim .}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Сверхмощь

Сверхмощность — это сверхпроизведение, для которого все факторы равны. Явно, ${\displaystyle M_{i}}$ультрастепень множества помодулю ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$— это ультрапроизведениеиндексированного семействаопределяемоедля каждого индекса. Ультрастепень может быть обозначена какили (так какчасто обозначается как) как ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}={\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }}$ ${\displaystyle M_{\bullet }:=\left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M_{i}:=M}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M}$ ${\displaystyle M^{I}}$ $${\displaystyle M^{I}/{\mathcal {U}}~:=~\prod _{i\in I}M\,/\,{\mathcal {U}}\,}$$

Для каждого пусть обозначает постоянное отображение , которое тождественно равно Это постоянное отображение/кортеж является элементом декартова произведения , и поэтому присваивание определяет отображение . ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle (m)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I\to M}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle M^{I}={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M}$ ${\displaystyle m\mapsto (m)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M\to {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M.}$естественное вложение в- ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$это отображение, которое отправляет элементвкласс эквивалентности константного кортежа ${\displaystyle M\to {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle (m)_{i\in I}.}$

Примеры

Гипердействительные числа являются ультрапроизведением одной копии действительных чисел для каждого натурального числа относительно ультрафильтра по натуральным числам, содержащим все кофинитные множества. Их порядок является расширением порядка действительных чисел. Например, последовательность, заданная определяет класс эквивалентности, представляющий гипердействительное число, которое больше любого действительного числа. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{i}=i}$

Аналогично можно определить нестандартные целые числа , нестандартные комплексные числа и т. д., взяв ультрапроизведение копий соответствующих структур.

В качестве примера переноса отношений в ультрапроизведение рассмотрим последовательность, определяемую выражением Поскольку для всех следует, что класс эквивалентности больше класса эквивалентности так, что его можно интерпретировать как бесконечное число, которое больше изначально построенного. Однако пусть для не равно, но Множество индексов, по которым и согласны, является членом любого ультрафильтра (потому что и согласны почти всюду), поэтому и принадлежат одному и тому же классу эквивалентности. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}=2i.}$ ${\displaystyle \psi _{i}>\omega _{i}=i}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \psi _{i}=2i}$ ${\displaystyle \omega _{i}=i,}$ ${\displaystyle \chi _{i}=i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 7,}$ ${\displaystyle \chi _{7}=8.}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi }$

В теории больших кардиналов стандартной конструкцией является взятие ультрапроизведения всей теоретико-множественной вселенной относительно некоторого тщательно выбранного ультрафильтра. Свойства этого ультрафильтра оказывают сильное влияние на свойства (более высокого порядка) ультрапроизведения; например, если является -полным, то ультрапроизведение снова будет хорошо обоснованным. (См. измеримый кардинал для прототипического примера.) ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Теорема Лося

Теорема Лося, также называемая фундаментальной теоремой ультрапроизведений , принадлежит Ежи Лосю (фамилия произносится [ˈwɔɕ] , что примерно означает «мыть»). Она утверждает, что любая формула первого порядка истинна в ультрапроизведении тогда и только тогда, когда множество индексов , для которых формула истинна, является членом Точнее: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Пусть будет сигнатурой, ультрафильтром над множеством и для каждого пусть будет -структурой. Пусть или будет ультрапроизведением относительно Тогда для каждого где и для каждого -формула ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$ ${\displaystyle a^{k}=\left(a_{i}^{k}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \phi ,}$ $${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\models \phi \left[a_{\mathcal {U}}^{1},\ldots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right]~\iff ~\{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in {\mathcal {U}}.}$$

Теорема доказывается индукцией по сложности формулы. Тот факт, что является ультрафильтром (а не просто фильтром), используется в предложении отрицания, а аксиома выбора нужна на шаге квантора существования. В качестве приложения получается теорема переноса для гиперреальных полей . ${\displaystyle \phi .}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Примеры

Пусть будет унарным отношением в структуре и образует ультрастепень Тогда множество имеет аналог в ультрастепени, и формулы первого порядка, включающие также справедливы для Например, пусть будет действительными числами, и пусть выполняется, если является рациональным числом. Тогда в мы можем сказать, что для любой пары рациональных чисел и существует другое число, такое что не является рациональным, и Поскольку это можно перевести в логическую формулу первого порядка на соответствующем формальном языке, теорема Лося подразумевает, что имеет то же свойство. То есть, мы можем определить понятие гиперрациональных чисел, которые являются подмножеством гиперреальных чисел, и они имеют те же свойства первого порядка, что и рациональные числа. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle S=\{x\in M:Rx\}}$ ${\displaystyle {}^{*}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {}^{*}S.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x<z<y.}$ ${\displaystyle {}^{*}S}$

Однако рассмотрим архимедово свойство действительных чисел, которое гласит, что не существует действительного числа такого, что для каждого неравенства в бесконечном списке. Теорема Лося неприменима к архимедову свойству, поскольку архимедово свойство не может быть сформулировано в логике первого порядка. Фактически, архимедово свойство ложно для гипердействительных чисел, как показано выше построением гипердействительного числа . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>1,\;x>1+1,\;x>1+1+1,\ldots }$ ${\displaystyle \omega }$

Прямые пределы сверхспособностей (ультрапределы)

В теории моделей и теории множеств часто рассматривается прямой предел последовательности ультрастепеней. В теории моделей эта конструкция может называться ультрапределом или предельной ультрастепенью .

Начиная со структуры и ультрафильтра, формируем ультрастепень, Затем повторяем процесс для формирования и так далее. Для каждого существует каноническое диагональное вложение На предельных стадиях, таких как образуют прямой предел более ранних стадий. Можно продолжить в трансфинитный. ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0},}$ ${\displaystyle A_{1}.}$ ${\displaystyle A_{2},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}\to A_{n+1}.}$ ${\displaystyle A_{\omega },}$

Ультрапродуктовая монада

Монада ультрафильтра — это монада коденсити включения категории конечных множеств в категорию всех множеств . ^[1]

Аналогично,Монада ультрапроизведения — это монада коденсити включения категорииконечно -индексированных семейств множеств в категориювсех индексированных семейств множеств. Поэтому в этом смысле ультрапроизведения категорически неизбежны. ^[1] Явно, объектсостоит из непустого индексного набора и индексированного семейства множеств. Морфизммежду двумя объектами состоит из функциимежду индексными наборами и-индексированным семействомфункций Категория— это полная подкатегория этой категории,состоящая из всех объектов,индексное множество которыхконечно. Монада коденсити отображения включениятогда, по сути, задается как ${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fam} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fam} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(N_{i}\right)_{j\in J}\to \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \phi :I\to J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \left(\phi _{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle \phi _{j}:M_{\phi (j)}\to N_{j}.}$ ${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fam} }$ ${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {FinFam} \hookrightarrow \mathbf {Fam} }$ $${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}~\mapsto ~\left(\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\right)_{{\mathcal {U}}\in U(I)}\,.}$$

Смотрите также

• Теорема компактности
• Расширитель (теория множеств)  — в теории множеств система ультрафильтров, представляющая элементарное вложение, свидетельствующее о больших кардинальных свойствах.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Теорема Лёвенгейма–Скулема  – Существование и мощность моделей логических теорий
• Принцип переноса  – Концепция в теории моделей
• Ультрафильтр  – максимально правильный фильтр

Примечания

1. Leinster, Tom (2013). «Codensity and the ultrafilter monad» (PDF) . Теория и приложения категорий . 28 : 332–370. arXiv : 1209.3606 . Bibcode : 2012arXiv1209.3606L.

Доказательства

1. Хотя предполагается, что является ультрафильтром по этому доказательству, требуется только, чтобы был фильтром на Везде, пусть и будут элементами Соотношение всегда выполняется, так как является элементом фильтра Таким образом, рефлексивность следует из рефлексивности равенства Аналогично, симметрично , так как равенство симметрично . Для транзитивности предположим, что и являются элементами его остается показать, что также принадлежит Транзитивность равенства гарантирует (так как если то и ). Поскольку замкнуто относительно бинарных пересечений, Поскольку замкнуто вверх в оно содержит каждое надмножество (состоящее из индексов); в частности, содержит ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I},b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle c_{\bullet }=\left(c_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\,\sim \,a_{\bullet }}$ ${\displaystyle \{i\in I:a_{i}=a_{i}\}=I}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \,=.\,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle R=\{i:a_{i}:=b_{i}\}}$ ${\displaystyle S:=\{i:b_{i}=c_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}};}$ ${\displaystyle T:=\{i:a_{i}=c_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle R\cap S\subseteq T}$ ${\displaystyle i\in R\cap S}$ ${\displaystyle a_{i}=b_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}=c_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle R\cap S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Ссылки

• Белл, Джон Лейн; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: Введение (переиздание издания 1974 года). Dover Publications . ISBN 0-486-44979-3.
• Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, Х. П. (2000) [1981]. Курс универсальной алгебры (ред. Millennium).