В абстрактной алгебре модуль называется равномерным, если пересечение любых двух ненулевых подмодулей ненулевое. Это равносильно утверждению, что каждый ненулевой подмодуль M является существенным подмодулем . Кольцо можно назвать равномерным справа (левым) кольцом, если оно однородно как правый (левый) модуль над собой.
Альфред Голди использовал понятие унифицированных модулей, чтобы построить меру размерности модулей, теперь известную как унифицированная размерность (или размерность Голди ) модуля. Равномерная размерность обобщает некоторые, но не все аспекты понятия размерности векторного пространства . Конечная равномерная размерность была ключевым предположением для нескольких теорем Голди, включая теорему Голди , которая характеризует, какие кольца являются правыми порядками в полупростом кольце . Модули конечной равномерной размерности обобщают как артиновы, так и нётеровы модули .
В литературе однородную размерность также называют просто размерностью модуля или рангом модуля . Равномерное измерение не следует путать с соответствующим понятием, также принадлежащим Голди, о пониженном ранге модуля.
Единообразие модуля обычно не сохраняется за счет прямых произведений или фактормодулей. Прямая сумма двух ненулевых однородных модулей всегда содержит два подмодуля с нулевым пересечением, а именно два исходных слагаемых модуля. Если N 1 и N 2 являются собственными подмодулями однородного модуля M и ни один из подмодулей не содержит другого, то он не может быть равномерным, поскольку
Однорядные модули однородны, а однородные модули обязательно непосредственно неразложимы. Любая коммутативная область является равномерным кольцом, поскольку если a и b — ненулевые элементы двух идеалов, то произведение ab — ненулевой элемент в пересечении идеалов.
Следующая теорема позволяет определить размерность модулей с помощью равномерных подмодулей. Это модульная версия теоремы о векторном пространстве:
Теорема: Если U i и V j являются членами конечного набора равномерных подмодулей модуля M, таких что и оба являются существенными подмодулями модуля M , то n = m .
Равномерная размерность модуля M , обозначаемая u.dim( M ), определяется как n , если существует конечное множество равномерных подмодулей U i таких, что это существенный подмодуль M. Предыдущая теорема гарантирует, что это n корректно определено. Если такого конечного набора подмодулей не существует, то u.dim( M ) определяется как ∞. Говоря о равномерном размере кольца, необходимо уточнить, измеряется ли u.dim( RR ) или , скорее, u.dim( RR ) . На противоположных сторонах кольца можно иметь два разных одинаковых размера.
Если N — подмодуль M , то u.dim( N ) ⩽ u.dim( M ) с равенством в точности тогда, когда N — существенный подмодуль M. В частности, M и его инъективная оболочка E ( M ) всегда имеют одну и ту же однородную размерность. Также верно, что u.dim( M ) = n тогда и только тогда, когда E ( M ) является прямой суммой n неразложимых инъективных модулей .
Можно показать, что u.dim( M ) = ∞ тогда и только тогда, когда M содержит бесконечную прямую сумму ненулевых подмодулей. Таким образом, если M нётерово или артиново, M имеет конечную равномерную размерность. Если M имеет конечную композиционную длину k , то u.dim( M ) ≤ k с равенством в точности тогда, когда M является полупростым модулем . (Лам, 1999 г.)
Стандартный результат состоит в том, что правая нётерова область является правой областью Оре . Фактически, мы можем восстановить этот результат из другой теоремы, приписываемой Голди, которая утверждает, что следующие три условия эквивалентны для области D :
Двойственным понятием однородного модуля является понятие полого модуля : модуль M называется полым, если, когда N 1 и N 2 являются подмодулями M такими, что , то либо N 1 = M , либо N 2 = M . Эквивалентно, можно также сказать, что каждый собственный подмодуль M является лишним подмодулем .
Эти модули также допускают аналог равномерного измерения, называемый коравномерным измерением , корангом , полым измерением или двойным измерением Голди . Исследования полых модулей и одинаковых размеров проводились в (Fleury 1974) , (Reiter 1981) , (Takeuchi 1976) , (Varadarajan 1979) и (Miyashita 1966) . Читателя следует предупредить, что Флери исследовал различные способы дуализации измерения Голди. Версии полого измерения Варадараджана, Такеучи и Рейтера, возможно, являются более естественными. Гжещук и Пучиловский в (Grzeszczuk & Puczylowski 1984) дали определение равномерной размерности модулярных решеток, так что полая размерность модуля была однородной размерностью его двойственной решетки подмодулей.
Конечно- копорожденный модуль всегда имеет конечную равномерную размерность. Возникает вопрос: имеет ли конечно порожденный модуль конечную полую размерность? Ответ оказывается отрицательным: в (Сарат и Варадараджан 1979) было показано, что если модуль M имеет конечную полую размерность, то M / J ( M ) является полупростым артиновым модулем . Существует много колец с единицей, для которых R / J ( R ) не является полупростым артиновым, и если такое кольцо R , то R само по себе конечно порождено, но имеет бесконечную полую размерность.
Позже Сарат и Варадараджан показали, что полупростой артиновский полумодуль M / J ( M ) также достаточен для того, чтобы M имел конечную полую размерность, при условии, что J ( M ) является лишним подмодулем M. [1] Это показывает, что кольца R с конечной полой размерностью как левый, так и правый R -модуль являются в точности полулокальными кольцами .
Дополнительным следствием результата Варадараджана является то, что RR имеет конечную полую размерность точно так же, как и RR . Это контрастирует со случаем конечной равномерной размерности, поскольку известно, что кольцо может иметь конечную равномерную размерность с одной стороны и бесконечную равномерную размерность с другой.
