Компактная конвергенция

Тип математической сходимости в топологии

В математике компактная сходимость (или равномерная сходимость на компактах ) — тип сходимости , обобщающий идею равномерной сходимости . Это связано с компактно-открытой топологией .

Определение

Пусть - топологическое пространство и - метрическое пространство . Последовательность функций ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

Говорят, что сходится компактно относительно некоторой функции , если для любого компакта ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle f_{n}|_{K}\to f|_{K}}$

равномерно на как . Это означает , что для всех компактных ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}$

Примеры

• Если и с их обычными топологиями, с , то компактно сходится к постоянной функции со значением 0, но не равномерно. ${\displaystyle X=(0,1)\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$
• Если , и , то сходится поточечно к функции, равной нулю на и единице при , но последовательность не сходится компактно. ${\displaystyle X=(0,1]}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle 1}$
• Очень мощным инструментом для демонстрации компактной сходимости является теорема Арзела-Асколи . Существует несколько версий этой теоремы, грубо говоря, она утверждает, что каждая последовательность равнонепрерывных и равномерно ограниченных отображений имеет подпоследовательность, компактно сходящую к некоторому непрерывному отображению.

Характеристики

• Если равномерно, то компактно. ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Если — компактно и компактно, то равномерно. ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Если — локально компактное пространство , то компактно тогда и только тогда, когда локально равномерно. ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Если пространство компактно порождено , компактно и каждое непрерывно , то непрерывно . ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Способы конвергенции (аннотированный указатель)
• Теорема Монтеля

Рекомендации

• Р. Реммерт Теория комплексных функций (1991 Springer) с. 95