В геометрии выпуклых многогранников задача Минковского для многогранников касается задания формы многогранника по направлениям и мерам его граней . [1] Теорема о том, что каждый многогранник однозначно определяется с точностью до переноса этой информацией, была доказана Германом Минковским ; она была названа «теоремой Минковского», хотя то же самое название было дано также нескольким не связанным между собой результатам Минковского. [ 2] Задача Минковского для многогранников также должна отличаться от задачи Минковского об задании выпуклых форм по их кривизне.
Для любого -мерного многогранника можно задать его набор направлений граней и мер с помощью конечного набора -мерных ненулевых векторов , по одному на грань, направленных перпендикулярно наружу от грани, с длиной, равной -мерной мере его грани. [3] Чтобы быть допустимой спецификацией ограниченного многогранника, эти векторы должны охватывать полное -мерное пространство, и никакие два не могут быть параллельны с одинаковым знаком. Кроме того, их сумма должна быть равна нулю; это требование соответствует наблюдению, что при проецировании многогранника перпендикулярно на любую гиперплоскость проецируемая мера его верхних граней и нижних граней должна быть одинаковой, поскольку верхние грани проецируются на тот же набор, что и нижние грани. [1]
Теорема Германа Минковского гласит , что эти необходимые условия являются достаточными: каждый конечный набор векторов, охватывающий все пространство, не имеющий двух параллельных с одинаковым знаком и дающий в сумме ноль, описывает направления граней и меры многогранника. Более того, форма этого многогранника однозначно определяется этой информацией: каждые два многогранника, которые порождают один и тот же набор векторов, являются переносами друг друга.
Наборы векторов, представляющих два многогранника, можно сложить, взяв объединение двух наборов и, когда два набора содержат параллельные векторы с одинаковым знаком, заменив их их суммой. Результирующая операция над формами многогранников называется суммой Блашке . Ее можно использовать для разложения произвольных многогранников на симплексы , а центрально-симметричных многогранников — на параллелотопы . [2]
При наличии определенной дополнительной информации (включая разделение направления и размера грани на единичный вектор и действительное число, которое может быть отрицательным, что обеспечивает дополнительный бит информации на грань) можно обобщить эти результаты существования и единственности на определенные классы невыпуклых многогранников. [4]
Также возможно задать трехмерные многогранники однозначно по направлению и периметру их граней. Теорема Минковского и уникальность этой спецификации по направлению и периметру имеют общее обобщение: всякий раз, когда два трехмерных выпуклых многогранника обладают свойством, что их грани имеют одинаковые направления, и ни одна грань одного многогранника не может быть переведена в собственное подмножество грани с тем же направлением другого многогранника, два многогранника должны быть переведены друг друга. Однако эта версия теоремы не обобщается на более высокие измерения. [4] [5]
