Моностатический многогранник

В геометрии моностатический многогранник ( или неустойчивый многогранник ) — это d - многогранник , который «может стоять только на одной грани». Они были описаны в 1969 году Дж. Х. Конвеем , М. Голдбергом, Р. К. Гаем и К. К. Ноултоном . Моностатический многогранник в 3-мерном пространстве, построенный независимо Гаем и Ноултоном, имеет 19 граней . В 2012 году Андраш Бездек открыл 18-гранное решение ^[1] , а в 2014 году Алекс Решетов опубликовал 14-гранный объект ^{[2] .}

3D-модель моностатического многогранника Р. К. Гая

3D модель моностатического многогранника Решетова

Определение

Многогранник называется моностатичным, если при однородном заполнении он устойчив только на одной грани . С другой стороны, многогранник является моностатичным, если его центроид ( центр масс ) имеет ортогональную проекцию внутри только одной грани.

Характеристики

• Ни один выпуклый многоугольник на плоскости не является моностатичным. Это было показано В. Арнольдом с помощью сведения к теореме о четырёх вершинах .
• В размерности до 8 нет моностатических симплексов . В размерности 3 это принадлежит Конвею. В размерности до 6 это принадлежит Р. Дж. М. Доусону. Размерности 7 и 8 были исключены Р. Дж. М. Доусоном, У. Финбоу и П. Маком.
• (Р. Дж. М. Доусон) Существуют моностатические симплексы в размерности 10 и выше.
• (Язык) Существуют моностатические многогранники размерности 3, формы которых сколь угодно близки к сфере.
• (Язык) Существуют моностатические многогранники в размерности 3 с k-кратной вращательной симметрией для произвольного положительного целого числа k.

Смотрите также

• Гёмбёч
• игрушка-неваляшка

Ссылки

1. Бездек, Андраш. "Устойчивость многогранников" (PDF) . Получено 2018-07-09 .
2. Решетов, Александр (13 мая 2014 г.), «Неустойчивый многогранник с 14 гранями», International Journal of Computational Geometry & Applications , 24 (1): 39–59, doi :10.1142/S0218195914500022

• Дж. Х. Конвей , М. Голдберг и Р. К. Гай , Задача 66-12, SIAM Review 11 (1969), 78–82.
• К. К. Ноултон , Неустойчивый многогранник всего с 19 гранями, Bell Telephone Laboratories MM 69-1371-3 (3 января 1969 г.).
• Х. Крофт, К. Фалконер и Р. К. Гай, Задача B12 в сборнике «Нерешенные проблемы геометрии» , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 61, 1991.
• Р. Дж. М. Доусон, Моностатические симплексы. Amer. Math. Monthly 92 (1985), № 8, 541–546.
• Р. Дж. М. Доусон, В. Финбоу, П. Мак, Моностатические симплексы. II. Геом. Посвящение 70 (1998), 209–219.
• Р. Дж. М. Доусон, В. Финбоу, Моностатические симплексы. III. Geom. Dedicata 84 (2001), 101–113.
• З. Ланги, Решение некоторых проблем Конвея и Гая о моностабильных многогранниках, Bull. Lond. Math. Soc. 54 (2022), № 2, 501–516.
• Игорь Пак , Лекции по дискретной и полиэдральной геометрии , Раздел 9.
• А. Решетов, Неустойчивый многогранник с 14 гранями, Int. J. Comput. Geom. Appl. 24 (2014), 39–60.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Неустойчивый многогранник". MathWorld .
• YouTube: Унистабильный многогранник
• Проект демонстрации Вольфрама: неустойчивый многогранник Бездека с 18 гранями