В математике унитарным представлением группы G называется линейное представление π группы G на комплексном гильбертовом пространстве V, такое что π( g ) является унитарным оператором для любого g ∈ G. Общая теория хорошо развита в случае, когда G является локально компактной ( хаусдорфовой ) топологической группой , а представления сильно непрерывны .
Теория широко применялась в квантовой механике с 1920-х годов, особенно под влиянием книги Германа Вейля 1928 года Gruppentheorie und Quantenmechanik . Одним из пионеров в построении общей теории унитарных представлений для любой группы G , а не только для конкретных групп, полезных в приложениях, был Джордж Макки .
Теория унитарных представлений топологических групп тесно связана с гармоническим анализом . В случае абелевой группы G достаточно полную картину теории представлений группы G дает двойственность Понтрягина . В общем случае классы унитарной эквивалентности (см. ниже) неприводимых унитарных представлений группы G составляют ее унитарное двойственное множество . Это множество можно отождествить со спектром C*-алгебры, ассоциированной с G конструкцией групповой C*-алгебры . Это топологическое пространство .
Общая форма теоремы Планшереля пытается описать регулярное представление G на L 2 ( G ) с помощью меры на унитарном дуальном. Для абелева G это дается теорией двойственности Понтрягина. Для компактного G это делается теоремой Петера–Вейля ; в этом случае унитарное дуальное является дискретным пространством , а мера прикрепляет атом к каждой точке массы, равной его степени.
Пусть G — топологическая группа. Сильно непрерывное унитарное представление G в гильбертовом пространстве H — это групповой гомоморфизм из G в унитарную группу H ,
такой, что g → π( g ) ξ является непрерывной функцией нормы для любого ξ ∈ H .
Обратите внимание, что если G является группой Ли , то гильбертово пространство также допускает базовые гладкие и аналитические структуры. Вектор ξ в H называется гладким или аналитическим , если отображение g → π( g ) ξ является гладким или аналитическим (в норме или слабых топологиях на H ). [1] Гладкие векторы плотны в H по классическому аргументу Ларса Гординга , поскольку свертка гладкими функциями компактного носителя дает гладкие векторы. Аналитические векторы плотны по классическому аргументу Эдварда Нельсона , расширенному Роу Гудманом, поскольку векторы в образе оператора тепла e –tD , соответствующего эллиптическому дифференциальному оператору D в универсальной обертывающей алгебре G , являются аналитическими. Гладкие или аналитические векторы не только образуют плотные подпространства; они также образуют общие ядра для неограниченных кососопряжённых операторов, соответствующих элементам алгебры Ли , в смысле спектральной теории . [2]
Два унитарных представления π 1 : G → U( H 1 ), π 2 : G → U( H 2 ) называются унитарно эквивалентными, если существует унитарное преобразование A : H 1 → H 2 такое, что π 1 ( g ) = A * ∘ π 2 ( g ) ∘ A для всех g в G . Когда это выполняется, говорят , что A является сплетающим оператором для представлений . [3]
Если — представление связной группы Ли в конечномерном гильбертовом пространстве , то является унитарным тогда и только тогда, когда соответствующее представление алгебры Ли отображается в пространство косо-самосопряженных операторов в . [4]
Унитарное представление полностью приводимо , в том смысле, что для любого замкнутого инвариантного подпространства ортогональное дополнение снова является замкнутым инвариантным подпространством. Это на уровне наблюдения, но является фундаментальным свойством. Например, это подразумевает, что конечномерные унитарные представления всегда являются прямой суммой неприводимых представлений, в алгебраическом смысле.
Поскольку с унитарными представлениями гораздо проще работать, чем с общим случаем, естественно рассмотреть унитаризуемые представления , те, которые становятся унитарными при введении подходящей комплексной структуры гильбертова пространства. Это работает очень хорошо для конечных групп , и в более общем случае для компактных групп , с помощью усредняющего аргумента, примененного к произвольной эрмитовой структуре. [5] Например, естественным доказательством теоремы Машке является этот путь.
В общем случае для некомпактных групп более серьезным вопросом является то, какие представления унитаризуемы. Одной из важных нерешенных проблем в математике является описание унитарного дуального , эффективная классификация неприводимых унитарных представлений всех вещественных редуктивных групп Ли . Все неприводимые унитарные представления допустимы (или, скорее, их модули Хариш-Чандры допустимы), и допустимые представления задаются классификацией Ленглендса , и легко сказать, какие из них имеют нетривиальную инвариантную полуторалинейную форму . Проблема в том, что в общем случае трудно сказать, когда квадратичная форма положительно определена . Для многих редуктивных групп Ли это было решено; см. теорию представлений SL2(R) и теорию представлений группы Лоренца для примеров.
