Унитарность (физика)

Требование, чтобы операторы эволюции квантовых состояний во времени были унитарными преобразованиями

В квантовой физике унитарность является (или унитарный процесс имеет) условием, что временная эволюция квантового состояния согласно уравнению Шредингера математически представлена ​​унитарным оператором . Обычно это принимается как аксиома или основной постулат квантовой механики, в то время как обобщения или отступления от унитарности являются частью спекуляций о теориях, которые могут выходить за рамки квантовой механики. ^[1] Граница унитарности — это любое неравенство, которое следует из унитарности оператора эволюции , т. е. из утверждения, что временная эволюция сохраняет внутренние произведения в гильбертовом пространстве .

Гамильтонова эволюция

Временная эволюция, описываемая независимым от времени гамильтонианом , представлена ​​однопараметрическим семейством унитарных операторов , для которого гамильтониан является генератором: . В картине Шредингера унитарные операторы действуют на квантовое состояние системы, тогда как в картине Гейзенберга зависимость от времени вместо этого включается в наблюдаемые . ^[2] ${\displaystyle U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

Влияние унитарности на результаты измерений

В квантовой механике каждое состояние описывается как вектор в гильбертовом пространстве . Когда выполняется измерение, удобно описывать это пространство с помощью векторного базиса , в котором каждый базисный вектор имеет определенный результат измерения – например, векторный базис определенного импульса в случае, если импульс измеряется. Оператор измерения диагонален в этом базисе. ^[3]

Вероятность получить конкретный измеренный результат зависит от амплитуды вероятности, заданной внутренним произведением физического состояния с базисными векторами , которые диагонализируют оператор измерения. Для физического состояния, которое измеряется после того, как оно эволюционировало во времени, амплитуда вероятности может быть описана либо внутренним произведением физического состояния после эволюции во времени с соответствующими базисными векторами, либо, что эквивалентно, внутренним произведением физического состояния с базисными векторами, которые эволюционируют назад во времени. Используя оператор эволюции во времени , мы имеем: ^[4] ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.e^{-i{\hat {H}}(-t)/\hbar }\phi _{i}\right|\psi \right\rangle }$

Но по определению эрмитового сопряжения это также:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}\left(e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right)^{\dagger }\right|\psi \right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}e^{-i{\hat {H}}^{\dagger }(-t)/\hbar }\right|\psi \right\rangle }$

Поскольку эти равенства верны для любых двух векторов, получаем

${\displaystyle {\hat {H}}^{\dagger }={\hat {H}}}$

Это означает, что гамильтониан является эрмитовым , а оператор временной эволюции — унитарным . ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

Поскольку по правилу Борна норма определяет вероятность получения конкретного результата в измерении, унитарность вместе с правилом Борна гарантирует, что сумма вероятностей всегда равна единице. Более того, унитарность вместе с правилом Борна подразумевает, что операторы измерения в картине Гейзенберга действительно описывают, как результаты измерения, как ожидается, будут развиваться во времени.

Влияние на форму гамильтониана

То, что оператор эволюции во времени является унитарным, эквивалентно тому, что гамильтониан является эрмитовым . Эквивалентно, это означает, что возможные измеренные энергии, которые являются собственными значениями гамильтониана, всегда являются действительными числами.

Амплитуда рассеяния и оптическая теорема

S -матрица используется для описания того, как физическая система изменяется в процессе рассеяния. Фактически она равна оператору эволюции времени в течение очень длительного времени (приближающегося к бесконечности), действующему на импульсные состояния частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности. Таким образом, она также должна быть унитарным оператором; расчет, дающий неунитарную S-матрицу, часто подразумевает, что связанное состояние было упущено.

Оптическая теорема

Унитарность S-матрицы подразумевает, среди прочего, оптическую теорему . Это можно увидеть следующим образом: ^[5]

S-матрицу можно записать как:

${\displaystyle S=1+iT}$

где — часть S-матрицы, обусловленная взаимодействиями; например, просто подразумевает, что S-матрица равна 1, взаимодействие не происходит и все состояния остаются неизменными. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=0}$

Унитарность S-матрицы:

${\displaystyle S^{\dagger }S=1}$

тогда эквивалентно:

${\displaystyle -i\left(T-T^{\dagger }\right)=T^{\dagger }T}$

Левая часть — это удвоенная мнимая часть S-матрицы. Чтобы увидеть, что такое правая часть, давайте рассмотрим любой конкретный элемент этой матрицы, например, между некоторым начальным состоянием и конечным состоянием , каждое из которых может включать много частиц. Элемент матрицы тогда: ${\displaystyle |I\rangle }$ ${\displaystyle \langle F|}$

${\displaystyle \left\langle F\left|T^{\dagger }T\right|I\right\rangle =\sum _{i}\left\langle F|T^{\dagger }|A_{i}\right\rangle \left\langle A_{i}|T|I\right\rangle }$

где {A _i } — множество возможных состояний на оболочке, т.е. импульсных состояний частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности.

Таким образом, удвоенная мнимая часть S-матрицы равна сумме, представляющей произведения вкладов всех рассеяний начального состояния S-матрицы в любое другое физическое состояние на бесконечности, с рассеяниями последнего в конечное состояние S-матрицы. Поскольку мнимая часть S-матрицы может быть вычислена виртуальными частицами, появляющимися в промежуточных состояниях диаграмм Фейнмана , следует, что эти виртуальные частицы должны состоять только из реальных частиц, которые также могут появляться в качестве конечных состояний. Математический аппарат, который используется для обеспечения этого, включает калибровочную симметрию и иногда также призраки Фаддеева–Попова .

Границы унитарности

Согласно оптической теореме, амплитуда вероятности M (= iT) для любого процесса рассеяния должна подчиняться

${\displaystyle |M|^{2}=2\operatorname {Im} (M)}$

Похожие ограничения унитарности подразумевают, что амплитуды и поперечное сечение не могут слишком сильно увеличиваться с энергией или должны уменьшаться так быстро, как диктует определенная формула ^{[ какая? ]} . Например, ограничение Фруассара гласит, что полное поперечное сечение рассеяния двух частиц ограничено , где — константа, а — квадрат энергии центра масс. (См. переменные Мандельстама ) ${\displaystyle c\ln ^{2}s}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s}$

Смотрите также

• Антиунитарный оператор
• правило Борна
• Аксиомы вероятности
• Квантовый канал
• Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах
• Теорема Вигнера

Ссылки

1. Уэллетт, Дженнифер . «Элис и Боб встречают стену огня». Журнал Quanta . Получено 15 июня 2023 г.
2. "Лекция 5: Эволюция во времени" (PDF) . 22.51 Квантовая теория взаимодействия излучений . MIT OpenCourseWare . Получено 21.08.2019 .
3. Коэн-Таннуджи, К., Диу, Б., Лало, Ф., и Дуи, Б. (2006). Квантовая механика (2 т. комплект).
4. Париж, МГ (2012). Современные инструменты квантовой механики. The European Physical Journal Special Topics, 203(1), 61-86.
5. Пескин, М. (2018). Введение в квантовую теорию поля , гл. 7.3. CRC press.