Неупругая длина свободного пробега

Индекс расстояния, которое электроны проходят через твердое тело, прежде чем потерять энергию

Неупругая средняя длина свободного пробега ( НСП ) — это показатель того, какое расстояние в среднем проходит электрон через твердое тело, прежде чем потерять энергию.

Универсальная кривая для неупругого свободного пробега электронов в элементах на основе уравнения (5) в ^[1]

Если монохроматический первичный пучок электронов падает на твердую поверхность, большинство падающих электронов теряют свою энергию, поскольку они сильно взаимодействуют с веществом, что приводит к возбуждению плазмона, образованию пар электрон-дырка и колебательному возбуждению. [2] Интенсивность первичных электронов , I , ^{затухает} как функция расстояния _, d , в твердом теле. Спад интенсивности можно выразить следующим образом:

${\displaystyle I(d)=I_{0}\ e^{-d\ /\lambda (E)}}$

где I ( d ) — интенсивность после того, как первичный электронный луч прошел через твердое тело на расстояние d . Параметр λ( E ) , называемый неупругой средней длиной свободного пробега (IMFP), определяется как расстояние, которое может пройти электронный луч, прежде чем его интенсивность снизится до 1/ e от начального значения. (Обратите внимание, что это уравнение тесно связано с законом Бера-Ламберта .)

Неупругий средний свободный пробег электронов можно грубо описать универсальной кривой, одинаковой для всех материалов. ^{[1] [3]}

Знание IMFP необходимо для проведения ряда измерений в электронной спектроскопии и микроскопии . ^[4]

Применение IMFP в XPS

Далее ^[5] IMFP используется для расчета эффективной длины затухания (EAL), средней глубины выхода (MED) и информационной глубины (ID). Кроме того, IMFP можно использовать для внесения матричных поправок для относительного фактора чувствительности в количественном поверхностном анализе. Более того, IMFP является важным параметром в моделировании Монте-Карло фотоэлектронного транспорта в веществе.

Расчеты ИМФП

Расчеты IMFP в основном основаны на алгоритме (полный алгоритм Пенна, FPA), разработанном Пенном ^[6], экспериментальных оптических константах или расчетных оптических данных (для соединений). ^[5] FPA рассматривает событие неупругого рассеяния и зависимость функции потери энергии (EFL) от передачи импульса, которая описывает вероятность неупругого рассеяния как функцию передачи импульса. ^[5]

Экспериментальные измерения ИМФП

Для измерения IMFP одним из хорошо известных методов является спектроскопия электронов с упругим пиком (EPES). ^{[5] [7]} Этот метод измеряет интенсивность упруго рассеянных электронов с определенной энергией от образца материала в определенном направлении. Применяя аналогичную технику к материалам, IMFP которых известен, измерения сравниваются с результатами моделирования Монте-Карло при тех же условиях. Таким образом, получается IMFP определенного материала в определенном энергетическом спектре. Измерения EPES показывают среднеквадратичное (RMS) различие между 12% и 17% от теоретически ожидаемых значений. ^[5] Расчетные и экспериментальные результаты показывают более высокую степень согласия для более высоких энергий. ^[5]

Для энергий электронов в диапазоне 30 кэВ – 1 МэВ IMFP может быть непосредственно измерена с помощью спектроскопии потери энергии электронов внутри просвечивающего электронного микроскопа , при условии, что толщина образца известна. Такие измерения показывают, что IMFP в элементарных твердых телах является не гладкой, а колебательной функцией атомного номера . ^[8]

Для энергий ниже 100 эВ IMFP можно оценить в экспериментах по выходу вторичных электронов высокой энергии (SEY). ^[9] Поэтому анализируется SEY для произвольной энергии падающего излучения в диапазоне 0,1 кэВ-10 кэВ. Согласно этим экспериментам, модель Монте-Карло может быть использована для моделирования SEY и определения IMFP ниже 100 эВ.

Предиктивные формулы

Используя диэлектрический формализм ^[4] , IMFP можно рассчитать, решив следующий интеграл: ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$

с минимальной (максимальной) потерей энергии ( ), диэлектрической функцией , функцией потери энергии (ELF) и наименьшей и наибольшей передачей импульса . В общем случае решение этого интеграла является довольно сложной задачей и применимо только для энергий выше 100 эВ. Таким образом, были введены (полу)эмпирические формулы для определения IMFP. ${\displaystyle \omega _{\mathrm {min} }}$ ${\displaystyle \omega _{\mathrm {max} }}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mathrm {Im} ({\frac {-1}{\epsilon (k,\omega )}})}$ ${\displaystyle k_{\pm }={\sqrt {2E}}\pm {\sqrt {2(E-\omega )}}}$

Первый подход заключается в вычислении IMFP с помощью приближенной формы релятивистского уравнения Бете для неупругого рассеяния электронов в веществе. ^{[5] [10]} Уравнение 2 справедливо для энергий от 50 эВ до 200 кэВ:

с

${\displaystyle \alpha (E)={\frac {1+{\frac {E}{2m_{e}c^{2}}}}{1+{\frac {E}{m_{e}c^{2}}}}}={\frac {1+{\frac {E}{1021}}999.8}{(1+{\frac {E}{510}}998.9)^{2}}}}$

и

${\displaystyle E_{p}=28.816\left({\frac {N_{\nu }\rho }{M}}\right)^{0.5}(\mathrm {eV} )}$

и энергия электрона в эВ выше уровня Ферми (проводники) или выше дна зоны проводимости (непроводники). — масса электрона, скорость света в вакууме, — число валентных электронов на атом или молекулу, описывает плотность (в ), — атомный или молекулярный вес и , , и — параметры, определяемые ниже. Уравнение 2 вычисляет IMFP и его зависимость от энергии электронов в конденсированном веществе. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle N_{\nu }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathrm {\frac {g}{cm^{3}}} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

Уравнение 2 было далее развито [ ^{5] [11]} для нахождения соотношений для параметров , и для энергий от 50 эВ до 2 кэВ: ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle \gamma =0.191\rho ^{-0.5}(\mathrm {eV^{-1}} )}$
• ${\displaystyle C=19.7-9.1U(\mathrm {nm^{-1}} )}$
• ${\displaystyle D=534-208U(\mathrm {eV} \mathrm {nm^{-1}} )}$
• ${\displaystyle U={\frac {N_{\nu }\rho }{M}}=(E_{p}/28.816)^{2}}$

Здесь энергия запрещенной зоны дана в эВ. Уравнения 2 и 3 также известны как уравнения TTP-2M и в целом применимы для энергий от 50 эВ до 200 кэВ. Пренебрегая несколькими материалами (алмаз, графит, Cs, кубический BN и гексагональный BN), которые не следуют этим уравнениям (из-за отклонений в ), уравнения TTP-2M показывают точное согласие с измерениями. ${\displaystyle E_{g}}$ ${\displaystyle \beta }$

Другой подход, основанный на уравнении 2 для определения IMFP, — это формула S1. ^{[5] [12]} Эту формулу можно применять для энергий от 100 эВ до 10 кэВ:

${\displaystyle \lambda ^{-1}={\frac {(4+0.44Z^{0.5}+0.104E^{0.872})a^{1.7}}{Z^{0.3}(1-W)}}}$

с атомным номером (средним атомным номером для соединения) или ( теплота образования соединения в эВ на атом) и средним атомным расстоянием : ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W=0.06H}$ ${\displaystyle W=0.02E_{g}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {10^{21}M}{\rho N_{A}(g+h)}}(\mathrm {nm^{3}} )}$

с постоянной Авогадро и стехиометрическими коэффициентами и описывающими бинарные соединения . В этом случае атомный номер становится ${\displaystyle N_{A}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G_{g}H_{h}}$

${\displaystyle Z={\frac {gZ_{g}+hZ_{h}}{g+h}}}$

с атомными номерами и двух компонентов. Эта формула S1 показывает более высокое согласие с измерениями по сравнению с уравнением 2. ^[5 ] ${\displaystyle Z_{g}}$ ${\displaystyle Z_{h}}$

Расчет IMFP либо по формуле TTP-2M, либо по формуле S1 требует разного знания некоторых параметров. ^[5] При применении формулы TTP-2M необходимо знать , и для проводящих материалов (а также для непроводников). При использовании формулы S1 для проводников требуется знание атомного номера (среднего атомного номера для соединений) и . Если рассматриваются непроводящие материалы, необходимо также знать либо , либо . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle N_{\nu }}$ ${\displaystyle E_{g}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle E_{g}}$ ${\displaystyle H}$

Аналитическая формула для расчета IMFP до 50 эВ была предложена в 2021 году. ^{[4] Поэтому к аналитической формуле, уже выведенной из} 1 , был добавлен экспоненциальный член , применимый для энергий до 500 эВ:

Для релятивистских электронов справедливо:

со скоростью электрона , а . обозначает скорость света. и даны в нанометрах. Константы в 4 и 5 определяются следующим образом: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v^{2}=c^{2}\tau (\tau +2)/(\tau +1)^{2}}$ ${\displaystyle \tau =E/c^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle a_{0}}$

• ${\displaystyle A=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\,d\omega }$
• ${\displaystyle A\ln {(I)}=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\ln {(\omega )}\,d\omega }$
• ${\displaystyle C=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\omega \,d\omega }$

Данные ИМФП

Данные IMFP можно получить из базы данных NIST Electron Inelastic-Mean-Free-Path ^[13] или из базы данных NIST для моделирования электронных спектров для анализа поверхности (SESSA). ^[14] Данные содержат IMFP, определенные с помощью EPES для энергий ниже 2 кэВ. В противном случае IMFP можно определить с помощью формулы TPP-2M или S1. ^[5]

Смотрите также

• Закон Бера-Ламберта
• Теория рассеяния

Ссылки

1. Seah, MP; Dench, WA (1979), "Количественная электронная спектроскопия поверхностей: Стандартная база данных для неупругих средних свободных пробегов электронов в твердых телах", Анализ поверхности и интерфейса , 1 : 2–11, doi :10.1002/sia.740010103
2. Эгертон, РФ (1996) Спектроскопия потери энергии электронами в электронном микроскопе (Второе издание, Plenum Press, Нью-Йорк) ISBN 0-306-45223-5 
3. Вернер, Вольфганг SM (2001), «Обзор электронного транспорта в твердых телах», Анализ поверхности и интерфейса , 31 (3): 141–176, doi :10.1002/sia.973, S2CID  95869994
4. Le, Dai-Nam; Nguyen-Truong, Hieu T. (2021). «Аналитическая формула для неупругого среднего свободного пробега электронов». Журнал физической химии C. 125 ( 34): 18946–18951. doi :10.1021/acs.jpcc.1c05212. S2CID  238685492.
5. Пауэлл, Седрик Дж. (2020). «Практическое руководство по неупругим средним свободным пробегам, эффективным длинам затухания, средним глубинам выхода и информационным глубинам в рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии». Журнал вакуумной науки и технологии A. 38 ( 23209).
6. Пенн, DR (1987). «Расчеты средней длины свободного пробега электронов с использованием модельной диэлектрической функции». Phys. Rev. B. 35 ( 482): 482–486. Bibcode :1987PhRvB..35..482P. doi :10.1103/PhysRevB.35.482. PMID  9941428.
7. Powell, CJ; Jablonski, A. (1999). «Оценка расчетных и измеренных средних свободных пробегов электронов в неупругом состоянии вблизи твердых поверхностей». J. Phys. Chem. Ref. Data . 28 (1): 19–28. Bibcode : 1999JPCRD..28...19P. doi : 10.1063/1.556035.
8. Якубовский, Константин; Мицуиси, Казутака; Накаяма, Йошико; Фуруя, Казуо (2008). "Средняя длина свободного пробега неупругого рассеяния электронов в элементарных твердых телах и оксидах с использованием просвечивающей электронной микроскопии: колебательное поведение, зависящее от атомного номера". Physical Review B. 77 ( 10): 104102. Bibcode : 2008PhRvB..77j4102I. doi : 10.1103/PhysRevB.77.104102.
9. Ридзель, Ольга Ю.; Астасаускас, Витаутас; Вернер, Вольфганг СМ (2020). «Значения среднего свободного пробега неупругих электронов низкой энергии, определенные на основе анализа выходов вторичных электронов в диапазоне энергий падающих электронов 0,1–10 кэВ». Журнал электронной спектроскопии и родственных явлений . 241 : 146824. doi : 10.1016/j.elspec.2019.02.003 . S2CID  104369752.
10. Шиноцука, Х.; Танума, С.; Пауэлл, К.Дж.; Пенн, Д.Р. (2015). «Расчеты неупругих средних свободных пробегов электронов. X. Данные для 41 элементарного твердого тела в диапазоне от 50 эВ до 200 кэВ с релятивистским полным алгоритмом Пенна». Анализ поверхности и интерфейса . 47 (9): 871. doi :10.1002/sia.5789. S2CID  93935648.
11. Танума, С.; Пауэлл, К.Дж.; Пенн, Д.Р. (1994). «Расчеты неупругих средних свободных пробегов электронов. V. Данные для 14 органических соединений в диапазоне 50–2000 эВ». Анализ поверхности и интерфейса . 21 (3): 165-176. doi :10.1002/sia.740210302.
12. Seah, MP (2012). «Точная и простая универсальная кривая для зависящего от энергии неупругого среднего свободного пробега электронов». Анализ поверхности и интерфейса . 44 (4): 497. doi :10.1002/sia.4816. S2CID  93786577.
13. Powell, CJ; Jablonski, A. (2000). "База данных NIST по неупругому среднему свободному пути электронов". База данных стандартных ссылок NIST 71 .
14. Вернер, В. С. М.; Смекал, В.; Пауэлл, К. Дж. (2018). "База данных NIST для моделирования электронных спектров для анализа поверхности, версия 2.1". NIST NSRDS 100 .