Класс универсальности

Коллекция моделей с одинаковым пределом потока ренормгруппы

В статистической механике класс универсальности — это набор математических моделей , которые разделяют единый масштабно-инвариантный предел в процессе потока ренормгруппы . Хотя модели внутри класса могут существенно различаться в конечных масштабах, их поведение будет становиться все более похожим по мере приближения к предельному масштабу. В частности, асимптотические явления, такие как критические показатели, будут одинаковыми для всех моделей в классе.

Некоторые хорошо изученные классы универсальности содержат модель Изинга или теорию перколяции в соответствующих точках фазового перехода ; оба они являются семействами классов, по одному для каждого измерения решетки. Обычно семейство классов универсальности будет иметь нижнюю и верхнюю критическую размерность : ниже нижней критической размерности класс универсальности становится вырожденным (эта размерность равна 2d для модели Изинга или для направленной перколяции, но 1d для ненаправленной перколяции), а выше верхней критической размерности критические показатели стабилизируются и могут быть вычислены с помощью аналога теории среднего поля (эта размерность равна 4d для Изинга или для направленной перколяции и 6d для ненаправленной перколяции).

Список критических показателей

Критические показатели определяются в терминах изменения определенных физических свойств системы вблизи ее точки фазового перехода. Эти физические свойства будут включать ее приведенную температуру , ее параметр порядка, измеряющий, какая часть системы находится в «упорядоченной» фазе, удельную теплоемкость и т. д. ${\displaystyle \tau }$

• Показатель степени — это показатель, связывающий удельную теплоемкость C с приведенной температурой: имеем . Удельная теплоемкость обычно будет сингулярной в критической точке, но знак минус в определении позволяет ей оставаться положительной. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C=\tau ^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$
• Экспонента связывает параметр порядка с температурой. В отличие от большинства критических экспонент она предполагается положительной, поскольку параметр порядка обычно будет равен нулю в критической точке. Итак, мы имеем . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi =|\tau |^{\beta }}$
• Экспонента связывает температуру с реакцией системы на внешнюю движущую силу или поле источника. Мы имеем , где J — движущая сила. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle d\Psi /dJ=\tau ^{-\gamma }}$
• Экспонента связывает параметр порядка с полем источника при критической температуре, где эта связь становится нелинейной. Мы имеем (следовательно ), с теми же значениями, что и раньше. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle J=\Psi ^{\delta }}$ ${\displaystyle \Psi =J^{1/\delta }}$
• Показатель степени связывает размер корреляций (т.е. участков упорядоченной фазы) с температурой; вдали от критической точки они характеризуются длиной корреляции . Имеем . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =\tau ^{-\nu }}$
• Экспонента измеряет размер корреляций при критической температуре. Она определяется так, что корреляционная функция масштабируется как . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle r^{-d+2-\eta }}$
• Экспонента , используемая в теории перколяции , измеряет размер крупнейших кластеров (грубо говоря, крупнейших упорядоченных блоков) при «температурах» (вероятностях связи) ниже критической точки. Таким образом , . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle s_{\max }\sim (p_{c}-p)^{-1/\sigma }}$
• Показатель степени , также из теории перколяции , измеряет число кластеров размера s , далеких от (или число кластеров при критичности): , с удаленным множителем при критической вероятности. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle s_{\max }}$ ${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })}$ ${\displaystyle f}$

Для симметрий указанная группа дает симметрию параметра порядка. Группа — это диэдральная группа , группа симметрии n -угольника, — симметрическая группа n -элемента , — октаэдрическая группа , — ортогональная группа в n измерениях. 1 — тривиальная группа . ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Oct} }$ ${\displaystyle O(n)}$

Ссылки

1. Фахардо, Хуан AB (2008). Универсальность в самоорганизованной критичности (PDF) . Гранада.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Fayfar, Sean; Bretaña, Alex; Montfrooij, Wouter (2021-01-15). «Защищенная перколяция: новый класс универсальности, относящийся к сильнолегированным квантовым критическим системам». Journal of Physics Communications . 5 (1): 015008. arXiv : 2008.08258 . Bibcode : 2021JPhCo...5a5008F. doi : 10.1088/2399-6528/abd8e9 . ISSN  2399-6528.
3. Луис, Эдвин; де Ассис, Тиаго; Феррейра, Сильвио; Андраде, Роберто (2019). «Локальная экспонента шероховатости в классе универсальности нелинейной молекулярно-лучевой эпитаксии в одном измерении». Physical Review E. 99 ( 2): 022801. arXiv : 1812.03114 . Bibcode : 2019PhRvE..99b2801L. doi : 10.1103/PhysRevE.99.022801. PMID  30934348. S2CID  91187266.

Внешние ссылки

• Классы универсальности из Sklogwiki
• Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления , Оксфорд, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 
• Ódor, Géza (2004). "Классы универсальности в неравновесных решеточных системах". Reviews of Modern Physics . 76 (3): 663–724. arXiv : cond-mat/0205644 . Bibcode :2004RvMP...76..663O. doi :10.1103/RevModPhys.76.663. S2CID  96472311.
• Creswick, Richard J.; Kim, Seung-Yeon (1997). «Критические показатели модели Поттса с четырьмя состояниями». Journal of Physics A: Mathematical and General . 30 (24): 8785–8786. arXiv : cond-mat/9701018 . doi : 10.1088/0305-4470/30/24/036. S2CID  16687747.