Неразветвленный морфизм

В алгебраической геометрии неразветвленный морфизм — это морфизм схем, такой что (а) он локально имеет конечное представление и (б) для каждого и имеем, что ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

1. Поле вычетов является отделимым алгебраическим расширением . ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle k(y)}$
2. ${\displaystyle f^{\#}({\mathfrak {m}}_{y}){\mathcal {O}}_{x,X}={\mathfrak {m}}_{x},}$где и — максимальные идеалы локальных колец. ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{y,Y}\to {\mathcal {O}}_{x,X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{y},{\mathfrak {m}}_{x}}$

Плоский неразветвленный морфизм называется этальным морфизмом . Менее строго, если удовлетворяет условиям при ограничении достаточно малыми окрестностями и , то говорят, что он неразветвлен вблизи . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Некоторые авторы предпочитают использовать более слабые условия, и в этом случае они называют морфизм, удовлетворяющий вышеуказанным условиям, G-неразветвленным морфизмом .

Простой пример

Пусть будет кольцом, а B — кольцом, полученным присоединением целого элемента к A ; т. е. для некоторого монического многочлена F . Тогда является неразветвленным тогда и только тогда, когда многочлен F является отделимым (т. е. он и его производная порождают единичный идеал ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=A[t]/(F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)\to \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle A[t]}$

Случай кривой

Пусть — конечный морфизм между гладкими связными кривыми над алгебраически замкнутым полем, P — замкнутая точка X и . Тогда мы имеем локальный кольцевой гомоморфизм , где и — локальные кольца в Q и P полей Y и X . Поскольку — дискретное нормирование , существует единственное целое число такое, что . Это целое число называется индексом ветвления над . ^[1] Поскольку базовое поле алгебраически замкнуто, является неразветвленным в (фактически, этальным ) тогда и только тогда, когда . В противном случае говорят , что является разветвленным в P , а Q называется точкой ветвления . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Q=f(P)}$ ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{Q}\to {\mathcal {O}}_{P}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{Q},{\mathfrak {m}}_{Q})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{P},{\mathfrak {m}}_{P})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$ ${\displaystyle e_{P}>0}$ ${\displaystyle f^{\#}({\mathfrak {m}}_{Q}){\mathcal {O}}_{P}={{\mathfrak {m}}_{P}}^{e_{P}}}$ ${\displaystyle e_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle k(P)=k(Q)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e_{P}=1}$ ${\displaystyle f}$

Характеристика

Для морфизма , локально имеющего конечное представление, следующие утверждения эквивалентны: ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$

1. f неразветвлен.
2. Диагональная карта — это открытое погружение. ${\displaystyle \delta _{f}:X\to X\times _{Y}X}$
3. Относительный котангенсивный пучок равен нулю. ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$

Смотрите также

• Конечные расширения локальных полей
• Ветвление (математика)

Ссылки

1. Хартсхорн 1977, Гл. IV, § 2.
2. Гротендик и Дьедонне 1967, Следствие 17.4.2.

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Quatrième partie». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 . дои : 10.1007/bf02732123. МР  0238860.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157