Верхний комплект

Подмножество предварительного порядка, содержащее все более крупные элементы

Диаграмма Хассе делителей , упорядоченная отношением делитель , с верхним множеством, окрашенным в зеленый цвет. Белые множества образуют нижнее множество ${\displaystyle 210}$ ${\displaystyle \uparrow 2}$ ${\displaystyle \downarrow 105.}$

В математике верхнее множество ( также называемое замкнутым вверх множеством , расстроенным или изотонной группой в X ) ^[1] частично упорядоченного множества — это подмножество со следующим свойством: если s принадлежит S и если x в X больше s (то есть, если ), то x принадлежит S . Другими словами, это означает, что любой элемент x из X , который принадлежит некоторому элементу S , обязательно является также элементом S . Термин нижнее множество (также называемое замкнутым вниз множеством , нижним множеством , убывающим множеством , начальным сегментом или полуидеалом ) определяется аналогично как подмножество S из X со свойством, что любой элемент x из X , который принадлежит некоторому элементу S , обязательно является также элементом S . ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle s<x}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Определение

Пусть будет предупорядоченным множеством . Верхнее множество в (также называемое замкнутым множеством вверх , расстроенным множеством или изотонным множеством ) ^[1] — это подмножество , которое «замкнуто при движении вверх», в том смысле, что ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$

для всех и вся если тогда ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle u\leq x}$ ${\displaystyle x\in U.}$

Двойственное понятие — это нижнее множество (также называемое замкнутым вниз множеством , нижним множеством , убывающим множеством , начальным сегментом или полуидеалом ), которое является подмножеством , которое «замкнуто относительно движения вниз», в том смысле, что ${\displaystyle L\subseteq X}$

для всех и вся если тогда ${\displaystyle l\in L}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\leq l}$ ${\displaystyle x\in L.}$

Термины «идеал порядка» или «идеал» иногда используются как синонимы для нижнего множества. ^{[2] [3] [4]} Такой выбор терминологии не отражает понятие идеала решетки , поскольку нижнее множество решетки не обязательно является подрешеткой. ^[2]

Характеристики

• Каждое частично упорядоченное множество является верхним множеством самого себя.
• Пересечение и объединение любого семейства верхних множеств снова является верхним множеством .
• Дополнением любого верхнего множества является нижнее множество, и наоборот .
• Для частично упорядоченного множества семейство верхних множеств, упорядоченных с отношением включения , представляет собой полную решетку , решетку верхнего множества . ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle X}$
• Для произвольного подмножества частично упорядоченного множества наименьшее верхнее множество, содержащее , обозначается с помощью стрелки вверх (см. верхнее замыкание и нижнее замыкание). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \uparrow Y}$
  • Двойственно, наименьшее нижнее множество, содержащее, обозначается с помощью стрелки вниз как ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \downarrow Y.}$
• Нижнее множество называется главным, если оно имеет вид , где является элементом ${\displaystyle \downarrow \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$
• Каждое нижнее множество конечного частично упорядоченного множества равно наименьшему нижнему множеству, содержащему все максимальные элементы ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
  • ${\displaystyle \downarrow Y=\downarrow \operatorname {Max} (Y)}$где обозначает множество, содержащее максимальные элементы ${\displaystyle \operatorname {Max} (Y)}$ ${\displaystyle Y.}$
• Направленное нижнее множество называется порядковым идеалом .
• Для частичных порядков, удовлетворяющих условию нисходящей цепи , антицепи и верхние множества находятся во взаимно однозначном соответствии посредством следующих биекций : сопоставить каждую антицепь ее верхнему замыканию (см. ниже); наоборот, сопоставить каждое верхнее множество множеству его минимальных элементов. Это соответствие не выполняется для более общих частичных порядков; например, множества действительных чисел и оба сопоставляются с пустой антицепью. ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>0\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>1\}}$

Верхнее закрытие и нижнее закрытие

Для элемента частично упорядоченного множества верхнее замыкание или замыкание вверх обозначается как или определяется как в то время как нижнее замыкание или замыкание вниз обозначается как или определяется как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle x^{\uparrow },}$ ${\displaystyle \uparrow \!x,}$ $${\displaystyle x^{\uparrow X}=\;\uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\downarrow X},}$ ${\displaystyle x^{\downarrow },}$ ${\displaystyle \downarrow \!x,}$ $${\displaystyle x^{\downarrow X}=\;\downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.}$$

Множества и являются, соответственно, наименьшими верхними и нижними множествами, содержащими в качестве элемента. В более общем смысле, заданное подмножество определяет верхнее / восходящее замыкание и нижнее / нисходящее замыкание обозначенных и соответственно , как и ${\displaystyle \uparrow \!x}$ ${\displaystyle \downarrow \!x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle A^{\downarrow X}}$ $${\displaystyle A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a}$$ $${\displaystyle A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.}$$

Таким образом, и где верхние множества и нижние множества этой формы называются главными . Верхнее замыкание и нижнее замыкание множества являются, соответственно, наименьшим верхним множеством и нижним множеством, содержащими его. ${\displaystyle \uparrow x=\uparrow \{x\}}$ ${\displaystyle \downarrow x=\downarrow \{x\},}$

Верхнее и нижнее замыкания, рассматриваемые как функции от множества мощности к себе, являются примерами операторов замыкания, поскольку они удовлетворяют всем аксиомам замыкания Куратовского . В результате верхнее замыкание множества равно пересечению всех верхних множеств, содержащих его, и аналогично для нижних множеств. (Действительно, это общее явление операторов замыкания. Например, топологическое замыкание множества равно пересечению всех замкнутых множеств, содержащих его; охват множества векторов равно пересечению всех подпространств, содержащих его; подгруппа , порождённая подмножеством группы , равна пересечению всех подгрупп, содержащих его; идеал, порождённый подмножеством кольца , равен пересечению всех идеалов, содержащих его; и т. д.) ${\displaystyle X}$

Порядковые числительные

Порядковое число обычно отождествляется с множеством всех меньших порядковых чисел. Таким образом, каждое порядковое число образует низшее множество в классе всех порядковых чисел, которые полностью упорядочены включением множеств.

Смотрите также

• Абстрактный симплициальный комплекс (также называемый: системой независимости ) — семейство множеств, замкнутое вниз относительно отношения включения.
• Конфинальное множество – подмножество частично упорядоченного множества , которое содержит для каждого элемента некоторый элемент такой, что ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y.}$

Ссылки

1. Dolecki & Mynard 2016, стр. 27–29.
2. Брайан А. Дэйви; Хилари Энн Пристли (2002). Введение в решетки и порядок (2-е изд.). Cambridge University Press . стр. 20, 44. ISBN 0-521-78451-4. LCCN  2001043910.
3. Стэнли, РП (2002). Перечислительная комбинаторика . Кембриджские исследования по высшей математике. Том 1. Cambridge University Press. С. 100. ISBN 978-0-521-66351-9.
4. Лоусон, М. В. (1998). Обратные полугруппы: теория частичных симметрий . World Scientific. стр. 22. ISBN 978-981-02-3316-7.

• Бланк, Дж. (2000). "Представления доменов топологических пространств" (PDF) . Теоретическая информатика . 247 (1–2): 229–255. doi : 10.1016/s0304-3975(99)00045-6 .
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Хоффман, КХ (2001), Аксиомы низкого разделения (T0) и (T1)