В квантовой теории поля термин модули ( ед. ч .: модуль ; точнее поля модулей ) иногда используется для обозначения скалярных полей , чья потенциальная энергетическая функция имеет непрерывные семейства глобальных минимумов. Такие потенциальные функции часто встречаются в суперсимметричных системах. Термин «модуль» заимствован из математики (или, точнее, пространство модулей заимствовано из алгебраической геометрии ), где он используется как синоним «параметра». Слово модули ( в немецком языке Moduln ) впервые появилось в 1857 году в знаменитой статье Бернхарда Римана «Theorie der Abel'schen Functionen». [1]
В квантовых теориях поля возможные вакуумы обычно помечаются вакуумными ожидаемыми значениями скалярных полей, поскольку лоренц-инвариантность заставляет вакуумные ожидаемые значения любых полей с более высоким спином исчезать. Эти вакуумные ожидаемые значения могут принимать любое значение, для которого потенциальная функция является минимумом. Следовательно, когда потенциальная функция имеет непрерывные семейства глобальных минимумов, пространство вакуумов для квантовой теории поля является многообразием (или орбифолдом), обычно называемым вакуумным многообразием . [2] Это многообразие часто называют пространством модулей вакуумов или просто пространством модулей, для краткости.
Термин модули также используется в теории струн для обозначения различных непрерывных параметров, которые обозначают возможные фоны струн : ожидаемое значение поля дилатона , параметры (например, радиус и комплексная структура), которые управляют формой многообразия компактификации, и т. д. Эти параметры представлены в квантовой теории поля, которая аппроксимирует теорию струн при низких энергиях, вакуумными ожидаемыми значениями безмассовых скалярных полей, что соответствует описанному выше использованию. В теории струн термин «пространство модулей» часто используется специально для обозначения пространства всех возможных фонов струн.
В общих квантовых теориях поля, даже если классическая потенциальная энергия минимизируется по большому набору возможных значений ожидания, как только включаются квантовые поправки, в общем случае почти все эти конфигурации перестают минимизировать энергию. Результатом является то, что набор вакуумов квантовой теории , как правило, намного меньше, чем в классической теории . Заметное исключение происходит, когда различные рассматриваемые вакуумы связаны симметрией, которая гарантирует, что их уровни энергии остаются точно вырожденными.
Ситуация совершенно иная в суперсимметричных квантовых теориях поля. В общем, они обладают большими модульными пространствами вакуумов, которые не связаны никакой симметрией, например, массы различных возбуждений могут различаться в разных точках на модульном пространстве. Модульные пространства суперсимметричных калибровочных теорий в общем случае легче вычислить, чем несуперсимметричных теорий, поскольку суперсимметрия ограничивает допустимые геометрии модульного пространства даже при включении квантовых поправок.
Чем больше суперсимметрии, тем сильнее ограничение на вакуумное многообразие. Поэтому, если ограничение появляется ниже для заданного числа спиноров суперзарядов N, то оно также справедливо для всех больших значений N.
Первое ограничение на геометрию пространства модулей было найдено в 1979 году Бруно Зумино и опубликовано в статье «Суперсимметрия и кэлеровы многообразия». [3] Он рассмотрел теорию N=1 в 4-мерном пространстве с глобальной суперсимметрией. N=1 означает, что фермионные компоненты алгебры суперсимметрии могут быть собраны в один суперзаряд Майораны . Единственными скалярами в такой теории являются комплексные скаляры киральных суперполей . Он обнаружил, что вакуумное многообразие разрешенных значений вакуумных ожиданий для этих скаляров является не только комплексным, но и кэлеровым многообразием .
Если гравитация включена в теорию, так что есть локальная суперсимметрия, то полученная теория называется теорией супергравитации , а ограничение на геометрию пространства модулей становится сильнее. Пространство модулей должно быть не только кэлеровым, но и кэлерова форма должна подниматься до интегральных когомологий . Такие многообразия называются многообразиями Ходжа . Первый пример появился в статье 1979 года «Спонтанное нарушение симметрии и эффект Хиггса в супергравитации без космологической константы» [4] , а общее утверждение появилось 3 года спустя в «Квантование постоянной Ньютона в определенных теориях супергравитации». [5]
В расширенных 4-мерных теориях с N=2 суперсимметрией, соответствующей одному спинорному суперзаряду Дирака , условия сильнее. Алгебра суперсимметрии N=2 содержит два представления со скалярами, векторный мультиплет , содержащий комплексный скаляр, и гипермультиплет , содержащий два комплексных скаляра. Пространство модулей векторных мультиплетов называется кулоновской ветвью, а пространство гипермультиплетов называется ветвью Хиггса. Полное пространство модулей локально является произведением этих двух ветвей, поскольку теоремы о неперенормировке подразумевают, что метрика каждой из них не зависит от полей другого мультиплета. (См., например, Argyres, Non-Perturbative Dynamics Of Four-Dimensional Supersymmetric Field Theories, стр. 6–7, для дальнейшего обсуждения структуры локального произведения.)
В случае глобальной N=2 суперсимметрии, другими словами, в отсутствие гравитации, кулоновская ветвь пространства модулей является специальным кэлеровым многообразием. Первый пример этого ограничения появился в статье 1984 года Potentials and Symmetries of General Gauged N=2 Supergravity: Yang-Mills Models Бернара де Вита и Антуана Ван Пройена, в то время как общее геометрическое описание базовой геометрии, называемое специальной геометрией, было представлено Эндрю Строминджером в его статье 1990 года Special Geometry.
Ветвь Хиггса является гиперкэлеровым многообразием , как было показано Луисом Альваресом-Гоме и Дэниелом Фридманом в их статье 1981 года «Геометрическая структура и ультрафиолетовая конечность в суперсимметричной сигма-модели». При включении гравитации суперсимметрия становится локальной. Затем нужно добавить то же условие Ходжа к специальной кэлерово-кулоновской ветви, что и в случае N=1. Джонатан Баггер и Эдвард Виттен продемонстрировали в своей статье 1982 года «Связи материи в супергравитации N=2», что в этом случае ветвь Хиггса должна быть кватернионным кэлеровым многообразием .
В расширенных супергравитациях с N>2 пространство модулей всегда должно быть симметричным пространством .