Дифференциал (математика)

Математическое понятие бесконечно малой разности

В математике дифференциал относится к нескольким связанным понятиям ^[1], полученным из ранних дней исчисления , поставленным на строгую основу, таким как бесконечно малые разности и производные функций. ^[2]

Этот термин используется в различных разделах математики, таких как исчисление , дифференциальная геометрия , алгебраическая геометрия и алгебраическая топология .

Введение

Термин дифференциал используется в исчислении нестрого для обозначения бесконечно малого («бесконечно малого») изменения некоторой переменной величины . Например, если x — переменная , то изменение значения x часто обозначается Δ x (произносится как дельта x ). Дифференциал dx представляет собой бесконечно малое изменение переменной x . Идея бесконечно малого или бесконечно медленного изменения интуитивно чрезвычайно полезна, и существует ряд способов сделать это понятие математически точным.

Используя исчисление, можно математически связать бесконечно малые изменения различных переменных друг с другом с помощью производных . Если y является функцией x , то дифференциал dy от y связан с dx формулой , где обозначает не «dy, деленное на dx», как можно было бы интуитивно прочитать, а « производную y по x ». Эта формула суммирует идею о том, что производная y по x является пределом отношения разностей Δ y /Δ x, когда Δ x стремится к нулю. $${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,}$$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,}$

Основные понятия

• В исчислении дифференциал представляет собой изменение линеаризации функции .
  • Полный дифференциал является его обобщением для функций многих переменных.
• В традиционных подходах к исчислению дифференциалы (например, dx , dy , dt и т. д.) интерпретируются как бесконечно малые . Существует несколько методов строгого определения бесконечно малых, но достаточно сказать, что бесконечно малое число по абсолютной величине меньше любого положительного действительного числа, так же как бесконечно большое число больше любого действительного числа.
• Дифференциал — это другое название матрицы Якоби частных производных функции от Rn до Rm ( ^{особенно} когда эта ^{матрица} рассматривается как линейное отображение ).
• В более общем смысле дифференциал или pushforward относится к производной отображения между гладкими многообразиями и операциями pushforward, которые он определяет. Дифференциал также используется для определения двойственной концепции pullback .
• Стохастическое исчисление дает понятие стохастического дифференциала и связанного с ним исчисления для случайных процессов .
• Интегратор в интеграле Стилтьеса представляется как дифференциал функции. Формально дифференциал, стоящий под интегралом, ведет себя точно так же, как дифференциал: таким образом, формулы интегрирования подстановкой и интегрирования по частям для интеграла Стилтьеса соответствуют, соответственно, правилу цепочки и правилу произведения для дифференциала.

История и использование

Бесконечно малые величины сыграли значительную роль в развитии исчисления. Архимед использовал их, хотя и не считал, что рассуждения, связанные с бесконечно малыми величинами, строги. ^[3] Исаак Ньютон называл их флюксиями . Однако именно Готфрид Лейбниц ввел термин «дифференциалы» для бесконечно малых величин и ввел для них обозначение, которое используется и по сей день.

В обозначениях Лейбница , если x — переменная величина, то dx обозначает бесконечно малое изменение переменной x . Таким образом, если y — функция x, то производная y по x часто обозначается dy / dx , что в противном случае обозначалось бы (в обозначениях Ньютона или Лагранжа ) ẏ или y ′ . Использование дифференциалов в этой форме вызвало много критики, например, в знаменитой брошюре «Аналитик» епископа Беркли. Тем не менее, обозначения остаются популярными, поскольку они настоятельно предполагают идею о том, что производная y в точке x — это ее мгновенная скорость изменения ( наклон касательной линии графика ), которая может быть получена путем взятия предела отношения Δ y /Δ x , когда Δ x становится произвольно малым. Дифференциалы также совместимы с размерным анализом , где дифференциал, такой как dx, имеет те же размерности, что и переменная x .

Исчисление превратилось в отдельную ветвь математики в XVII веке н. э., хотя у него были предшественники, восходящие к античности. Презентации, например, Ньютона, Лейбница, были отмечены нестрогими определениями таких терминов, как дифференциальный, текучий и «бесконечно малый». Хотя многие из аргументов в «Аналитике» епископа Беркли 1734 года носят теологический характер, современные математики признают обоснованность его аргумента против « Призраков ушедших Количеств »; однако современные подходы не имеют тех же технических проблем. Несмотря на отсутствие строгости, в XVII и XVIII веках был достигнут огромный прогресс. В XIX веке Коши и другие постепенно разработали эпсилон-дельта- подход к непрерывности, пределам и производным, заложив прочную концептуальную основу для исчисления.

В 20 веке несколько новых концепций, например, многомерное исчисление и дифференциальная геометрия, по-видимому, воплощали в себе смысл старых терминов, особенно дифференциала ; и дифференциал, и бесконечно малый используются в новых, более строгих значениях.

Дифференциалы также используются в обозначениях интегралов , поскольку интеграл можно рассматривать как бесконечную сумму бесконечно малых величин: площадь под графиком получается путем деления графика на бесконечно тонкие полоски и суммирования их площадей. В таком выражении, как знак интеграла (который является модифицированным длинным s ) обозначает бесконечную сумму, f ( x ) обозначает «высоту» тонкой полоски, а дифференциал dx обозначает ее бесконечно тонкую ширину. $${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$$

Подходы

Существует несколько подходов, позволяющих сделать понятие дифференциалов математически точным.

1. Дифференциалы как линейные отображения . Этот подход лежит в основе определения производной и внешней производной в дифференциальной геометрии . ^[4]
2. Дифференциалы как нильпотентные элементы коммутативных колец . Этот подход популярен в алгебраической геометрии. ^[5]
3. Дифференциалы в гладких моделях теории множеств. Этот подход известен как синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий анализ бесконечно малых и тесно связан с алгебраическим геометрическим подходом, за исключением того, что идеи из теории топосов используются для сокрытия механизмов, посредством которых вводятся нильпотентные бесконечно малые. ^[6]
4. Дифференциалы как бесконечно малые в гипердействительных числовых системах, которые являются расширениями действительных чисел, содержащими обратимые бесконечно малые и бесконечно большие числа. Это подход нестандартного анализа, впервые предложенный Абрахамом Робинсоном . ^[7]

Эти подходы сильно отличаются друг от друга, но их объединяет идея количественности , то есть утверждения не только о том, что дифференциал бесконечно мал, но и о том, насколько он мал.

Дифференциалы как линейные отображения

Существует простой способ придать точный смысл дифференциалам, впервые использованным на Действительной прямой, рассматривая их как линейные отображения . Его можно использовать на , , гильбертовом пространстве , банаховом пространстве или, в более общем смысле, топологическом векторном пространстве . Случай Действительной прямой объяснить проще всего. Этот тип дифференциала также известен как ковариантный вектор или котангенс вектор , в зависимости от контекста. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Дифференциалы как линейные отображения на R

Предположим, что является действительной функцией на . Мы можем переосмыслить переменную в как функцию, а не число, а именно тождественное отображение на действительной прямой, которое переводит действительное число в себя: . Тогда является составным с , значение которого в равно . Дифференциал (который, конечно, зависит от ) тогда является функцией, значение которой в (обычно обозначается ) является не числом, а линейным отображением из в . Поскольку линейное отображение из в задается матрицей , это по сути то же самое, что и число, но изменение точки зрения позволяет нам думать о как о бесконечно малом и сравнивать его со стандартным бесконечно малым , которое снова является просто тождественным отображением из в ( матрица с записью ). Единичное отображение обладает тем свойством, что если очень мало, то очень мало, что позволяет нам рассматривать его как бесконечно малое. Дифференциал обладает тем же свойством, потому что он просто кратен , и это кратное является производной по определению. Поэтому мы получаем, что , и, следовательно , . Таким образом, мы возвращаемся к идее, что есть отношение дифференциалов и . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x(p)=p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x(p))=f(p)}$ ${\displaystyle \operatorname {d} f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle dx_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle dx_{p}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle dx_{p}}$ ${\displaystyle f'(p)}$ ${\displaystyle df_{p}=f'(p)\,dx_{p}}$ ${\displaystyle df=f'\,dx}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx}$

Это было бы просто уловкой, если бы не тот факт, что:

1. он отражает идею производной от at как наилучшего линейного приближения к at ; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$
2. в нем много обобщений.

Дифференциалы как линейные отображения на R^н

Если — функция из в , то мы говорим, что она дифференцируема ^[8] в , если существует линейное отображение из в такое, что для любого существует окрестность такая , что для , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\in N}$ $${\displaystyle \left|f(x)-f(p)-df_{p}(x-p)\right|<\varepsilon \left|x-p\right|.}$$

Теперь мы можем использовать тот же трюк, что и в одномерном случае, и думать о выражении как о композите со стандартными координатами на (так что это -й компонент ). Тогда дифференциалы в точке образуют базис для векторного пространства линейных отображений из в и, следовательно, если дифференцируемо в , мы можем записать как линейную комбинацию этих базисных элементов: ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{j}(p)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(dx_{1}\right)_{p},\left(dx_{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx_{n}\right)_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {d} f_{p}}$ $${\displaystyle df_{p}=\sum _{j=1}^{n}D_{j}f(p)\,(dx_{j})_{p}.}$$

Коэффициенты (по определению) являются частными производными от at по . Следовательно, если дифференцируемо по всем , то можно записать более кратко: ${\displaystyle D_{j}f(p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$$

В одномерном случае все становится как прежде. $${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx}$$

Эта идея напрямую обобщается на функции из в . Более того, она имеет решающее преимущество перед другими определениями производной, поскольку она инвариантна относительно изменений координат. Это означает, что ту же идею можно использовать для определения дифференциала гладких отображений между гладкими многообразиями . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Примечание: Обратите внимание , что существование всех частных производных при является необходимым условием существования дифференциала при . Однако это не является достаточным условием . Для контрпримеров см. производную Гато . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Дифференциалы как линейные отображения на векторном пространстве

Та же процедура работает на векторном пространстве с достаточной дополнительной структурой, чтобы обоснованно говорить о непрерывности. Наиболее конкретным случаем является гильбертово пространство, также известное как полное внутреннее произведение , где внутреннее произведение и его связанная норма определяют подходящую концепцию расстояния. Та же процедура работает для банахова пространства, также известного как полное нормированное векторное пространство . Однако для более общего топологического векторного пространства некоторые детали более абстрактны, поскольку нет концепции расстояния.

Для важного случая конечной размерности любое пространство внутреннего произведения является гильбертовым пространством, любое нормированное векторное пространство является банаховым пространством, а любое топологическое векторное пространство является полным. В результате вы можете определить систему координат из произвольного базиса и использовать ту же технику, что и для . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Дифференциалы как зародыши функций

Этот подход работает на любом дифференцируемом многообразии . Если

1. U и V — открытые множества, содержащие p
2. ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$является непрерывным
3. ${\displaystyle g\colon V\to \mathbb {R} }$является непрерывным

тогда f эквивалентна g в точке p , обозначаемой , тогда и только тогда, когда существует открытое содержащее p такое, что для каждого x из W . Росток f в точке p , обозначаемый , представляет собой множество всех действительных непрерывных функций, эквивалентных f в точке p ; если f гладкая в точке p , то является гладким ростком. Если ${\displaystyle f\sim _{p}g}$ ${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ ${\displaystyle [f]_{p}}$ ${\displaystyle [f]_{p}}$

1. ${\displaystyle U_{1}}$, и являются открытыми множествами, содержащими p ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$
2. ${\displaystyle f_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {R} }$, , и являются гладкими функциями ${\displaystyle f_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g_{1}\colon V_{1}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g_{2}\colon V_{2}\to \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle f_{1}\sim _{p}g_{1}}$
4. ${\displaystyle f_{2}\sim _{p}g_{2}}$
5. r — действительное число

затем

1. ${\displaystyle r*f_{1}\sim _{p}r*g_{1}}$
2. ${\displaystyle f_{1}+f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}+g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle f_{1}*f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}*g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }$

Это показывает, что ростки в точке p образуют алгебру .

Определим как множество всех гладких ростков, обращающихся в нуль в точке p , и как произведение идеалов . Тогда дифференциал в точке p (котангенс вектор в точке p ) является элементом . Дифференциал гладкой функции f в точке p , обозначаемый , есть . ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}{\mathcal {I}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{p}}$ ${\displaystyle [f-f(p)]_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}$

Аналогичный подход заключается в определении дифференциальной эквивалентности первого порядка в терминах производных в произвольной координатной области. Тогда дифференциал f в точке p представляет собой множество всех функций, дифференциально эквивалентных в точке p . ${\displaystyle f-f(p)}$

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии дифференциалы и другие бесконечно малые понятия обрабатываются весьма явным образом, принимая, что координатное кольцо или структурный пучок пространства могут содержать нильпотентные элементы . Простейшим примером является кольцо дуальных чисел R [ ε ], где ε ² = 0.

Это может быть мотивировано алгебро-геометрической точкой зрения на производную функции f из R в R в точке p . Для этого сначала отметим, что f  − f ( p ) принадлежит идеалу I p _{функций} на R , которые обращаются в нуль в точке p . Если производная f обращается в нуль в точке p , то f  − f ( p ) принадлежит квадрату I _p ² этого идеала. Следовательно, производная f в точке p может быть захвачена классом эквивалентности [ f  − f ( p )] в факторпространстве I _p / I _p ² , а 1-струя f ( которая кодирует ее значение и ее первую производную) является классом эквивалентности f в пространстве всех функций по модулю I _p ² . Алгебраические геометры рассматривают этот класс эквивалентности как ограничение f на утолщенную версию точки p , координатным кольцом которой является не R (которое является факторпространством функций на R по модулю I _p ), а R [ ε ], которое является факторпространством функций на R по модулю I _p ² . Такая утолщенная точка является простым примером схемы . [ ^5]

Понятия алгебраической геометрии

Дифференциалы также важны в алгебраической геометрии , и существует несколько важных понятий.

• Абелевы дифференциалы обычно означают дифференциальные формы на алгебраической кривой или римановой поверхности .
• Квадратичные дифференциалы (которые ведут себя как «квадраты» абелевых дифференциалов) также важны в теории римановых поверхностей.
• Дифференциалы Кэлера дают общее понятие дифференциала в алгебраической геометрии.

Синтетическая дифференциальная геометрия

Пятый подход к бесконечно малым — это метод синтетической дифференциальной геометрии ^[9] или гладкого бесконечно малого анализа . ^[10] Он тесно связан с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что бесконечно малые более неявны и интуитивны. Основная идея этого подхода заключается в замене категории множеств другой категорией плавно меняющихся множеств, которая является топосом . В этой категории можно определить действительные числа, гладкие функции и так далее, но действительные числа автоматически содержат нильпотентные бесконечно малые, поэтому их не нужно вводить вручную, как в алгебро-геометрическом подходе. Однако логика в этой новой категории не идентична знакомой логике категории множеств: в частности, закон исключенного третьего не выполняется. Это означает, что теоретико-множественные математические аргументы распространяются на гладкий бесконечно малый анализ только в том случае, если они конструктивны (например, не используют доказательство от противного ). Конструктивисты считают этот недостаток положительным моментом, поскольку он заставляет находить конструктивные аргументы везде, где они доступны.

Нестандартный анализ

Окончательный подход к бесконечно малым снова включает расширение действительных чисел, но менее радикальным способом. В нестандартном аналитическом подходе нет нильпотентных бесконечно малых, есть только обратимые, которые можно рассматривать как обратные величины бесконечно больших чисел. ^[7] Такие расширения действительных чисел могут быть построены явно с использованием классов эквивалентности последовательностей действительных чисел , так что, например, последовательность (1, 1/2, 1/3, ..., 1/ n , ...) представляет бесконечно малую величину. Логика первого порядка этого нового набора гипердействительных чисел та же самая, что и логика для обычных действительных чисел, но аксиома полноты (которая включает логику второго порядка ) не выполняется. Тем не менее, этого достаточно, чтобы разработать элементарный и вполне интуитивный подход к исчислению с использованием бесконечно малых, см. принцип переноса .

Дифференциальная геометрия

Понятие дифференциала мотивирует несколько концепций в дифференциальной геометрии (и дифференциальной топологии ).

• Дифференциал (Пушфорвард) отображения между многообразиями.
• Дифференциальные формы обеспечивают структуру, которая позволяет умножать и дифференцировать дифференциалы.
• Внешняя производная — это понятие дифференциации дифференциальных форм, обобщающее дифференциал функции (который является дифференциальной 1-формой ).
• В частности, обратный путь — это геометрическое название цепного правила для составления отображения между многообразиями с дифференциальной формой на целевом многообразии.
• Ковариантные производные или дифференциалы предоставляют общее понятие для дифференцирования векторных полей и тензорных полей на многообразии или, в более общем смысле, сечений векторного расслоения : см. Связность (векторное расслоение) . Это в конечном итоге приводит к общему понятию связности .

Другие значения

Термин дифференциал также был принят в гомологической алгебре и алгебраической топологии из-за роли внешней производной в когомологиях де Рама: в коцепном комплексе отображения (или кограничные операторы ) d _i часто называются дифференциалами. Двойственно, граничные операторы в цепном комплексе иногда называются кодифференциалами . ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet }),}$

Свойства дифференциала также мотивируют алгебраические понятия вывода и дифференциальной алгебры .

Смотрите также

• Дифференциальное уравнение
• Дифференциальная форма
• Дифференциал функции

Примечания

Цитаты

1. "Differential". Wolfram MathWorld . Получено 24 февраля 2022 г. Слово дифференциал имеет несколько связанных значений в математике. В наиболее общем контексте оно означает "относящийся к производным". Так, например, часть исчисления, имеющая дело с извлечением производных (т. е. дифференциацией), известна как дифференциальное исчисление.
   Слово "дифференциал" также имеет более техническое значение в теории дифференциальных k-форм как так называемая одна форма.
2. "differential - Определение Differential в американском английском языке по Oxford Dictionaries". Oxford Dictionaries - English . Архивировано из оригинала 3 января 2014 года . Получено 13 апреля 2018 года .
3. Бойер 1991.
4. Дарлинг 1994.
5. Eisenbud & Harris 1998.
6. См. Kock 2006 и Moerdijk & Reyes 1991.
7. См. Робинсон 1996 и Кейслер 1986.
8. См., например, Апостол 1967.
9. См. Kock 2006 и Lawvere 1968.
10. См. Мурдейк и Рейес 1991 и Белл 1998.

Ссылки

• Апостол, Том М. (1967), Calculus (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.
• Белл , Джон Л. (1998), Приглашение к гладкому анализу бесконечно малых (PDF).
• Бойер, Карл Б. (1991), «Архимед Сиракузский», История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Дарлинг, RWR (1994), Дифференциальные формы и связи , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, Bibcode : 1994dfc..book.....D, ISBN 978-0-521-46800-8.
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998), Геометрия схем , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1
• Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым (2-е изд.).
• Кок, Андерс (2006), Синтетическая дифференциальная геометрия (PDF) (2-е изд.), Cambridge University Press.
• Ловер, Ф. В. (1968), Очерк синтетической дифференциальной геометрии (PDF) (опубликовано в 1998 г.).
• Мурдейк, И .; Рейес, Гонсало Э. (1991), Модели для гладкого бесконечно малого анализа , Springer-Verlag, ISBN 978-1-441-93095-8.
• Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциалы». Математический мир .