Колебания круглой мембраны

Уравнения волн в диске, похожем на барабанную перепонку

Один из возможных режимов вибрации идеализированной круглой барабанной головки (режим с обозначением ниже). Другие возможные режимы показаны в конце статьи. ${\displaystyle u_{12}}$

Двумерная эластичная мембрана под напряжением может поддерживать поперечные колебания . Свойства идеализированной барабанной мембраны можно смоделировать колебаниями круглой мембраны однородной толщины, прикрепленной к жесткой раме. Благодаря явлению резонанса , на определенных частотах колебаний , ее резонансных частотах , мембрана может накапливать энергию колебаний, поверхность движется в характерном узоре стоячих волн . Это называется нормальным режимом . Мембрана имеет бесконечное количество этих нормальных режимов, начиная с самой низкой частоты, называемой основной частотой .

Существует бесконечно много способов, которыми мембрана может колебаться, каждый из которых зависит от формы мембраны в некоторый начальный момент времени и поперечной скорости каждой точки мембраны в этот момент времени. Колебания мембраны задаются решениями двумерного волнового уравнения с граничными условиями Дирихле , которые представляют собой ограничение рамки. Можно показать, что любая произвольно сложная вибрация мембраны может быть разложена на возможно бесконечный ряд нормальных мод мембраны. Это аналогично разложению временного сигнала в ряд Фурье .

Изучение вибраций барабанов привело математиков к формулировке знаменитой математической задачи о том, можно ли услышать форму барабана , и ответ (нельзя) был дан в 1992 году в двумерной постановке.

Практическое значение

Анализ проблемы вибрирующей барабанной головки объясняет ударные инструменты, такие как барабаны и литавры . Однако, есть также биологическое применение в работе барабанной перепонки . С образовательной точки зрения моды двумерного объекта являются удобным способом наглядно продемонстрировать значение мод, узлов, пучностей и даже квантовых чисел . Эти концепции важны для понимания структуры атома.

Проблема

Рассмотрим открытый диск радиуса с центром в начале координат, который будет представлять собой «неподвижную» форму барабанной головки. В любой момент времени высота формы барабанной головки в точке , измеренная от «неподвижной» формы барабанной головки, будет обозначаться как , которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Пусть обозначает границу , то есть окружность радиуса с центром в начале координат, которая представляет собой жесткую раму, к которой прикреплена барабанная головка. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u(x,y,t),}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle a}$

Математическое уравнение, описывающее вибрацию мембраны барабана, представляет собой волновое уравнение с нулевыми граничными условиями:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right){\text{ for }}(x,y)\in \Omega \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega .\,}$

Ввиду круговой геометрии будет удобно использовать полярные координаты. Тогда приведенные выше уравнения запишутся как ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (r,\theta ).}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ for }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ for }}r=a.\,}$

Здесь, - положительная константа, которая дает скорость, с которой поперечные волны вибрации распространяются в мембране. В терминах физических параметров скорость волны, c, определяется как ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {N_{rr}^{*}}{\rho h}}}}$

где , - радиальная мембрана, результирующая на границе мембраны ( ), , - толщина мембраны, а - плотность мембраны. Если мембрана имеет равномерное натяжение, то равномерная сила натяжения на данном радиусе может быть записана ${\displaystyle N_{rr}^{*}}$ ${\displaystyle r=a}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle F=rN_{rr}^{r}=rN_{\theta \theta }^{r}}$

где - результирующая мембрана в азимутальном направлении. ${\displaystyle N_{\theta \theta }^{r}=N_{rr}^{r}}$

Осесимметричный случай

Сначала мы рассмотрим возможные режимы колебаний круглой барабанной головки, которые являются осесимметричными . Тогда функция не зависит от угла и волновое уравнение упрощается до ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta ,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right).}$

Будем искать решения в разделенных переменных, подставляя это в уравнение выше и разделив обе части на получаем ${\displaystyle u(r,t)=R(r)T(t).}$ ${\displaystyle c^{2}R(r)T(t)}$

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {1}{R(r)}}\left(R''(r)+{\frac {1}{r}}R'(r)\right).}$

Левая часть этого равенства не зависит от , а правая часть не зависит от , отсюда следует, что обе стороны должны быть равны некоторой константе. Получаем отдельные уравнения для и : ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle R(r)}$

${\displaystyle T''(t)=Kc^{2}T(t)\,}$

${\displaystyle rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,}$

Уравнение для имеет решения, которые экспоненциально растут или затухают для линейны или постоянны для и периодически для . Физически ожидается, что решение задачи о вибрирующей барабанной головке будет колебательным во времени, и это оставляет только третий случай, поэтому мы выбираем для удобства. Тогда, является линейной комбинацией функций синуса и косинуса, ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle K>0,}$ ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle K<0}$ ${\displaystyle K<0,}$ ${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$ ${\displaystyle T(t)}$

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

Обращаясь к уравнению для , отметим, что все решения этого дифференциального уравнения второго порядка являются линейной комбинацией функций Бесселя порядка 0, поскольку это частный случай дифференциального уравнения Бесселя : ${\displaystyle R(r),}$ ${\displaystyle K=-\lambda ^{2},}$

${\displaystyle R(r)=c_{1}J_{0}(\lambda r)+c_{2}Y_{0}(\lambda r).\,}$

Функция Бесселя не ограничена, что приводит к нефизическому решению проблемы вибрирующей головки барабана, поэтому константа должна быть равна нулю. Мы также предположим , что в противном случае эта константа может быть позже поглощена константами и исходя из Из этого следует, что ${\displaystyle Y_{0}}$ ${\displaystyle r\to 0,}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}=1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T(t).}$

${\displaystyle R(r)=J_{0}(\lambda r).}$

Требование, чтобы высота на границе головки барабана была равна нулю, приводит к условию ${\displaystyle u}$

${\displaystyle R(a)=J_{0}(\lambda a)=0.}$

Функция Бесселя имеет бесконечное число положительных корней, ${\displaystyle J_{0}}$

${\displaystyle 0<\alpha _{01}<\alpha _{02}<\cdots }$

Мы получаем это за так ${\displaystyle \lambda a=\alpha _{0n},}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

${\displaystyle R(r)=J_{0}\left({\frac {\alpha _{0n}}{a}}r\right).}$

Таким образом, осесимметричные решения задачи о вибрирующей головке барабана, которые можно представить в разделенных переменных, имеют вид ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u_{0n}(r,t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right){\text{ for }}n=1,2,\dots ,\,}$

где ${\displaystyle \lambda _{0n}=\alpha _{0n}/a.}$

Общий случай

Общий случай, когда может зависеть также от угла, рассматривается аналогично. Мы предполагаем решение в разделенных переменных, ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta ,}$

${\displaystyle u(r,\theta ,t)=R(r)\Theta (\theta )T(t).\,}$

Подставляя это в волновое уравнение и разделяя переменные, получаем

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=K}$

где - константа. Как и прежде, из уравнения для следует, что при и ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

Из уравнения

${\displaystyle {\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}}$

мы получаем, умножая обе части на и разделяя переменные, что ${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}r^{2}+{\frac {r^{2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L}$

и

${\displaystyle -{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=L,}$

для некоторой константы Поскольку является периодической, причем период является угловой переменной, то следует, что ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle \Theta (\theta )}$ ${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Theta (\theta )=C\cos m\theta +D\sin m\theta ,\,}$

где и и — некоторые константы. Это также подразумевает ${\displaystyle m=0,1,\dots }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle L=m^{2}.}$

Возвращаясь к уравнению, его решение представляет собой линейную комбинацию функций Бесселя и Применяя аналогичные рассуждения, как и в предыдущем разделе, приходим к ${\displaystyle R(r),}$ ${\displaystyle J_{m}}$ ${\displaystyle Y_{m}.}$

${\displaystyle R(r)=J_{m}(\lambda _{mn}r),\,}$ ${\displaystyle m=0,1,\dots ,}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

где с -ым положительным корнем ${\displaystyle \lambda _{mn}=\alpha _{mn}/a,}$ ${\displaystyle \alpha _{mn}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J_{m}.}$

Мы показали, что все решения в разделенных переменных задачи о вибрирующей головке барабана имеют вид

${\displaystyle u_{mn}(r,\theta ,t)=\left(A\cos c\lambda _{mn}t+B\sin c\lambda _{mn}t\right)J_{m}\left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )}$

для ${\displaystyle m=0,1,\dots ,n=1,2,\dots }$

Анимации нескольких режимов вибрации

Ниже показано несколько мод вместе с их квантовыми числами. Аналогичные волновые функции атома водорода также указаны, а также соответствующие угловые частоты . Значения являются корнями функции Бесселя . Это выводится из граничного условия, которое дает . ${\displaystyle \omega _{mn}=\lambda _{mn}c={\dfrac {\alpha _{mn}}{a}}c=\alpha _{mn}c/a}$ ${\displaystyle \alpha _{mn}}$ ${\displaystyle J_{m}}$ ${\displaystyle \forall \theta \in [0,2\pi ],\forall t,\ u_{mn}(r=a,\theta ,t)=0}$ ${\displaystyle J_{m}(\lambda _{mn}a)=J_{m}(\alpha _{mn})=0}$

• 
  Режим (1с) с ${\displaystyle u_{01}}$ ${\displaystyle \alpha _{01}=2.40483}$
• 
  Режим (2с) с ${\displaystyle u_{02}}$ ${\displaystyle \alpha _{02}=5.52008}$
• 
  Режим (3с) с ${\displaystyle u_{03}}$ ${\displaystyle \alpha _{03}=8.65373}$

• 
  Режим (2п) с ${\displaystyle u_{11}}$ ${\displaystyle \alpha _{11}=3.83171}$
• 
  Режим (3п) с ${\displaystyle u_{12}}$ ${\displaystyle \alpha _{12}=7.01559}$
• 
  Режим (4п) с ${\displaystyle u_{13}}$ ${\displaystyle \alpha _{13}=10.1735}$

• 
  Режим (3d) с ${\displaystyle u_{21}}$ ${\displaystyle \alpha _{21}=5.13562}$
• 
  Режим (4d) с ${\displaystyle u_{22}}$ ${\displaystyle \alpha _{22}=8.41724}$
• 
  Режим (5d) с ${\displaystyle u_{23}}$ ${\displaystyle \alpha _{23}=11.6198}$

Больше значений можно легко вычислить, используя следующий код Python с библиотекой: ^[1] ${\displaystyle \alpha _{mn}}$scipy

из  scipy  импортировать  специальный  как  scm  =  0  # порядок функции Бесселя (т.е. угловая мода для круглой мембраны)nz  =  3  # желаемое количество корнейalpha_mn  =  sc . jn_zeros ( m ,  nz )  # выводит nz нулей Jm

Смотрите также

• Вибрирующая струна , одномерный случай
• Модели Хладни , раннее описание родственного явления, в частности, связанного с музыкальными инструментами; см. также киматика
• Слушание формы барабана , характеристика мод относительно формы мембраны
• Атомная орбиталь , связанная квантово-механическая и трехмерная проблема

Ссылки

1. Руководство пользователя SciPy по функциям Бесселя

• H. Asmar, Nakhle (2005). Уравнения с частными производными с рядами Фурье и граничными задачами . Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall. стр. 198. ISBN 0-13-148096-0.