критерий текучести фон Мизеса

Теория разрушения в механике сплошной среды

В механике сплошной среды критерий максимальной энергии искажения (также критерий текучести фон Мизеса ^[1] ) утверждает, что текучесть пластичного материала начинается, когда второй инвариант девиаторного напряжения достигает критического значения. ^[2] Это часть теории пластичности , которая в основном применяется к пластичным материалам, таким как некоторые металлы . До текучести можно предположить, что реакция материала имеет линейно-упругое , нелинейно-упругое или вязкоупругое поведение. ${\displaystyle J_{2}}$

В материаловедении и инженерии критерий текучести по Мизесу также формулируется в терминах напряжения по Мизесу или эквивалентного растягивающего напряжения , . Это скалярное значение напряжения, которое можно вычислить из тензора напряжений Коши . В этом случае говорят, что материал начинает течь, когда напряжение по Мизесу достигает значения, известного как предел текучести , . Напряжение по Мизесу используется для прогнозирования текучести материалов при сложной нагрузке по результатам одноосных испытаний на растяжение . Напряжение по Мизесу удовлетворяет свойству, при котором два напряженных состояния с одинаковой энергией искажения имеют одинаковое напряжение по Мизесу. ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

Поскольку критерий текучести фон Мизеса не зависит от первого инварианта напряжения , он применим для анализа пластической деформации пластичных материалов, таких как металлы, поскольку начало текучести для этих материалов не зависит от гидростатической составляющей тензора напряжений . ${\displaystyle I_{1}}$

Хотя считалось, что он был сформулирован Джеймсом Клерком Максвеллом в 1865 году, Максвелл описал только общие условия в письме Уильяму Томсону (лорду Кельвину). ^[3] Ричард Эдлер фон Мизес строго сформулировал его в 1913 году. ^{[2] [4]} Титус Максимилиан Хубер (1904) в статье, написанной на польском языке, в некоторой степени предвосхитил этот критерий, правильно полагаясь на энергию деформации искажения, а не на полную энергию деформации, как его предшественники. ^{[5] [6] [7]} Генрих Генки сформулировал тот же критерий, что и фон Мизес, независимо в 1924 году. ^[8] По вышеуказанным причинам этот критерий также называют «теорией Максвелла–Хубера–Хенки–фон Мизеса».

Математическая формулировка

Поверхности текучести фон Мизеса в координатах главного напряжения описывают цилиндр с радиусом вокруг гидростатической оси. Также показана гексагональная поверхность текучести Трески . ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

Математически критерий текучести фон Мизеса выражается как:

${\displaystyle J_{2}=k^{2}\,\!}$

Здесь предел текучести материала при чистом сдвиге. Как показано далее в этой статье, в начале текучести величина предела текучести при сдвиге при чистом сдвиге в √3 раза меньше предела текучести при растяжении в случае простого растяжения. Таким образом, имеем: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}}$

где — предел текучести материала при растяжении. Если мы установим напряжение по Мизесу равным пределу текучести и объединим приведенные выше уравнения, критерий текучести по Мизесу запишется как: ${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle \sigma _{v}=\sigma _{y}={\sqrt {3J_{2}}}}$

или

${\displaystyle \sigma _{v}^{2}=3J_{2}=3k^{2}}$

Заменяя компонентами тензора напряжений Коши , получаем ${\displaystyle J_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{v}}^{2}={\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6\left(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2}\right)\right]={\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}$,

где называется девиаторным напряжением. Это уравнение определяет поверхность текучести как круговой цилиндр (см. рисунок), кривая текучести которого, или пересечение с девиаторной плоскостью, представляет собой окружность с радиусом , или . Это подразумевает, что условие текучести не зависит от гидростатических напряжений. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}k}$ ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

Редуцированное уравнение фон Мизеса для различных напряженных состояний

Критерий текучести фон Мизеса в условиях 2D (плоской) нагрузки: если напряжение в третьем измерении равно нулю ( ), то для координат напряжения в красной области не прогнозируется текучести . Поскольку критерий текучести Трески находится в красной области, критерий фон Мизеса более мягкий. ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Одноосное (1D) напряжение

В случае одноосного напряжения или простого растяжения критерий фон Мизеса просто сводится к ${\displaystyle \sigma _{1}\neq 0,\sigma _{3}=\sigma _{2}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!}$,

Это означает, что материал начинает течь, когда достигает предела текучести материала , в соответствии с определением предела текучести при растяжении (или сжатии). ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

Многоосное (2D или 3D) напряжение

Эквивалентное растягивающее напряжение или эквивалентное напряжение фон Мизеса используется для прогнозирования текучести материалов в условиях многоосной нагрузки с использованием результатов простых одноосных испытаний на растяжение. Таким образом, мы определяем ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!}$

где — компоненты тензора девиатора напряжений : ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!}$.

В этом случае текучесть происходит, когда эквивалентное напряжение, , достигает предела текучести материала при простом растяжении, . Например, напряженное состояние стальной балки при сжатии отличается от напряженного состояния стальной оси при кручении, даже если оба образца сделаны из одного и того же материала. С учетом тензора напряжений, который полностью описывает напряженное состояние, эта разница проявляется в шести степенях свободы , поскольку тензор напряжений имеет шесть независимых компонент. Поэтому трудно сказать, какой из двух образцов находится ближе к пределу текучести или даже достиг его. Однако с помощью критерия текучести по Мизесу, который зависит исключительно от значения скалярного напряжения по Мизесу, т. е. одной степени свободы, это сравнение становится простым: большее значение по Мизесу означает, что материал находится ближе к пределу текучести. ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

В случае чистого касательного напряжения , , тогда как для всех остальных , критерий фон Мизеса становится следующим: ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=0}$

${\displaystyle \sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!}$.

Это означает, что в начале текучести величина касательного напряжения при чистом сдвиге в раз меньше, чем предел текучести при простом растяжении. Критерий текучести фон Мизеса для чистого касательного напряжения, выраженный в главных напряжениях, равен ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!}$

В случае главного плоского напряжения и критерий фон Мизеса принимает вид: ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{23}=\sigma _{31}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!}$

Это уравнение представляет собой эллипс на плоскости . ${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$

Краткое содержание

Физическая интерпретация критерия текучести фон Мизеса

Хенки (1924) предложил физическую интерпретацию критерия фон Мизеса, предполагая, что текучесть начинается, когда упругая энергия искажения достигает критического значения. ^[6] По этой причине критерий фон Мизеса также известен как критерий максимальной энергии деформации искажения. Это происходит из соотношения между и упругой энергией деформации искажения : ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle W_{\text{D}}}$

${\displaystyle W_{\text{D}}={\frac {J_{2}}{2G}}\,\!}$с модулем упругого сдвига . ${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\,\!}$

В 1937 году ^[9] Арпад Л. Надаи предположил, что текучесть начинается, когда октаэдрическое напряжение сдвига достигает критического значения, т. е. октаэдрического напряжения сдвига материала при пределе текучести при простом растяжении. В этом случае критерий текучести фон Мизеса также известен как критерий максимального октаэдрического напряжения сдвига ввиду прямой пропорциональности, которая существует между и октаэдрическим напряжением сдвига, которое по определению равно ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\,\!}$

таким образом, мы имеем

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\sigma _{\text{y}}\,\!}$

Плотность энергии деформации состоит из двух компонент - объемной или диалистической и дисторсионной. Объемная компонента отвечает за изменение объема без изменения формы. Дисторсионная компонента отвечает за деформацию сдвига или изменение формы.

Практическое инженерное использование критерия текучести фон Мизеса

Как показано в приведенных выше уравнениях, использование критерия фон Мизеса в качестве критерия текучести применимо только тогда, когда следующие свойства материала являются изотропными, а отношение предела текучести при сдвиге к пределу текучести при растяжении имеет следующее значение: ^[10]

${\displaystyle {\frac {F_{sy}}{F_{ty}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0.577\!}$

Поскольку ни один материал не будет иметь это соотношение точно, на практике необходимо использовать инженерное суждение, чтобы решить, какая теория разрушения подходит для данного материала. В качестве альтернативы, для использования теории Треска, то же самое соотношение определяется как 1/2.

Запас прочности по доходности записывается как

${\displaystyle MS_{\text{yld}}={\frac {F_{y}}{\sigma _{\text{v}}}}-1}$

Смотрите также

• Поверхность текучести
• Уравнение Хубера
• Анри Треска
• Стивен Тимошенко
• Теория Мора-Кулона
• Критерий разрушения Хука-Брауна
• Выход (инжиниринг)
• Стресс
• Напряжение
• 3-D эластичность
• Критерий текучести Бигони–Пикколроаза

Ссылки

1. "Критерий фон Мизеса (критерий максимальной энергии искажения)". Engineer's edge . Получено 8 февраля 2018 г. .
2. фон Мизес, Р. (1913). «Механик der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Математически-физический класс. 1913 (1): 582–592.
3. Джонс, Роберт Миллард (2009). Деформационная теория пластичности, стр. 151, раздел 4.5.6. Bull Ridge Corporation. ISBN 9780978722319. Получено 11.06.2017 .
4. Форд (1963). Advanced Mechanics of Materials . Лондон: Longmans.
5. Хубер, MT (1904). «Właściwa praca odksztalcenia jko miara wytezenia materiału». Czasopismo Techniczne . 22 . Львов.Переводится как «Удельная работа деформации как мера материального усилия». Архивы механики . 56 : 173–190. 2004.
6. Hill, R. (1950). Математическая теория пластичности . Оксфорд: Clarendon Press.
7. Тимошенко, С. (1953). История сопротивления материалов . Нью-Йорк: McGraw-Hill.
8. Хенки, Х. (1924). «Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material Hervorgerufen Nachspannngen». З. Энджью. Математика. Мех . 4 (4): 323–334. Бибкод : 1924ZaMM....4..323H. дои : 10.1002/zamm.19240040405.
9. SMA Kazimi. (1982). Механика твердого тела. Tata McGraw-Hill. ISBN 0-07-451715-5 
10. Надай, А. (1950). Теория течения и разрушения твердых тел . Нью-Йорк: McGraw-Hill.