В математике парадокс фон Неймана , названный в честь Джона фон Неймана , представляет собой идею о том, что можно разбить плоскую фигуру, например единичный квадрат, на наборы точек и подвергнуть каждый набор сохраняющему площадь аффинному преобразованию таким образом, чтобы в результате получить две плоские фигуры того же размера, что и исходная. Это было доказано в 1929 году Джоном фон Нейманом , предполагающим аксиому выбора . Он основан на более раннем парадоксе Банаха–Тарского , который, в свою очередь, основан на парадоксе Хаусдорфа .
Банах и Тарский доказали, что при использовании изометрических преобразований результат разборки и повторной сборки двумерной фигуры обязательно будет иметь ту же площадь, что и оригинал. Это сделало бы создание двух единичных квадратов из одного невозможным. Но фон Нейман понял, что трюк таких так называемых парадоксальных разложений заключается в использовании группы преобразований , включающих в качестве подгруппы свободную группу с двумя образующими . Группа преобразований, сохраняющих площадь (будь то специальная линейная группа или специальная аффинная группа ), содержит такие подгруппы, и это открывает возможность выполнения парадоксальных разложений с их использованием.
Ниже приводится неформальное описание метода, найденного фон Нейманом. Предположим, что у нас есть свободная группа H линейных преобразований, сохраняющих площадь, порожденная двумя преобразованиями, σ и τ, которые находятся недалеко от единичного элемента. Свободная группа означает, что все ее элементы могут быть выражены единственным образом в виде для некоторого n , где s и s — все ненулевые целые числа, за исключением, возможно, первого и последнего . Мы можем разделить эту группу на две части: те, которые начинаются слева с σ в некоторой ненулевой степени (мы называем это множество A ), и те, которые начинаются с τ в некоторой степени (то есть равно нулю — мы называем это множество B , и оно включает единичный элемент).
Если мы воздействуем на любую точку в евклидовом 2-пространстве различными элементами H, мы получаем то, что называется орбитой этой точки. Таким образом, все точки на плоскости можно классифицировать по орбитам, которых существует бесконечное число с мощностью континуума . Используя аксиому выбора , мы можем выбрать одну точку из каждой орбиты и назвать множество этих точек M. Мы исключаем начало координат, которое является неподвижной точкой в H. Если мы затем воздействуем на M всеми элементами H , мы порождаем каждую точку плоскости (кроме начала координат) ровно один раз. Если мы воздействуем на M всеми элементами A или B , мы получаем два непересекающихся множества, объединение которых представляет собой все точки, кроме начала координат.
Теперь возьмем какую-нибудь фигуру, например, единичный квадрат или единичный круг. Затем выберем другую фигуру, полностью находящуюся внутри нее, например, меньший квадрат с центром в начале координат. Мы можем покрыть большую фигуру несколькими копиями маленькой фигуры, хотя некоторые точки будут покрыты двумя или более копиями. Затем мы можем назначить каждую точку большой фигуры одной из копий маленькой фигуры. Назовем множества, соответствующие каждой копии . Теперь мы сделаем взаимно-однозначное отображение каждой точки большой фигуры на точку внутри нее, используя только преобразования, сохраняющие площадь. Мы возьмем точки, принадлежащие , и перенесем их так, чтобы центр квадрата оказался в начале координат. Затем мы возьмем те точки в нем, которые находятся во множестве A, определенном выше, и применим к ним сохраняющую площадь операцию σ τ. Это помещает их в множество B . Затем мы возьмем точки, принадлежащие B , и применим к ним операцию σ 2 . Теперь они все еще будут находиться в B , но множество этих точек будет не пересекаться с предыдущим множеством. Продолжаем таким образом, используя σ 3 τ на точках A из C 2 (после центрирования) и σ 4 на его точках B и т. д. Таким образом, мы отобразили все точки из большой фигуры (за исключением некоторых фиксированных точек) взаимно-однозначным образом на точки типа B , не слишком далеко от центра и внутри большой фигуры. Затем мы можем сделать второе отображение на точки типа A.
На этом этапе мы можем применить метод теоремы Кантора-Бернштейна-Шредера . Эта теорема гласит, что если у нас есть инъекция из множества D в множество E (например, из большой фигуры в точки типа A в ней) и инъекция из E в D (например, тождественное отображение из точек типа A в фигуре в себя), то между D и E существует взаимно-однозначное соответствие . Другими словами, имея отображение из большой фигуры в подмножество точек A в ней, мы можем сделать отображение (биекцию) из большой фигуры во все точки A в ней. (В некоторых областях точки отображаются в себя, в других они отображаются с помощью отображения, описанного в предыдущем абзаце.) Аналогично мы можем сделать отображение из большой фигуры во все точки B в ней. Таким образом, глядя на это с другой стороны, мы можем разделить фигуру на ее точки A и B , а затем отобразить каждую из них обратно во всю фигуру (то есть содержащую оба вида точек)!
Этот набросок упускает некоторые вещи, например, как обращаться с фиксированными точками. Оказывается, для обхода этого требуется больше отображений и больше наборов.
Парадокс для квадрата можно усилить следующим образом:
Это имеет последствия, касающиеся проблемы меры. Как отмечает фон Нейман,
Чтобы объяснить это немного подробнее, вопрос о том, существует ли конечно-аддитивная мера, которая сохраняется при определенных преобразованиях, зависит от того, какие преобразования разрешены. Банахова мера множеств на плоскости, которая сохраняется при переносах и вращениях, не сохраняется при неизометрических преобразованиях, даже когда они сохраняют площадь многоугольников. Как объяснялось выше, точки плоскости (кроме начала координат) можно разделить на два плотных множества , которые мы можем назвать A и B. Если точки A данного многоугольника преобразуются определенным сохраняющим площадь преобразованием, а точки B — другим, оба множества могут стать подмножествами точек B в двух новых многоугольниках. Новые многоугольники имеют ту же площадь, что и старый многоугольник, но два преобразованных множества не могут иметь ту же меру, что и раньше (так как они содержат только часть точек B ), и поэтому нет меры, которая «работает».
Класс групп, выделенный фон Нейманом в ходе изучения феномена Банаха–Тарского, оказался весьма важным для многих областей математики: это аменабельные группы , или группы с инвариантным средним, и включают в себя все конечные и все разрешимые группы . Вообще говоря, парадоксальные разложения возникают, когда группа, используемая для эквивалентностей в определении равноразложимости, не является аменабельной.
Работа фон Неймана оставила открытой возможность парадоксального разложения внутренности единичного квадрата относительно линейной группы SL (2, R ) (Wagon, вопрос 7.4). В 2000 году Миклош Лачкович доказал, что такое разложение существует. [2] Точнее, пусть A — семейство всех ограниченных подмножеств плоскости с непустой внутренностью и на положительном расстоянии от начала координат, а B — семейство всех плоских множеств со свойством, что объединение конечного числа множеств переносится относительно некоторых элементов SL (2, R ) и содержит проколотую окрестность начала координат. Тогда все множества в семействе A являются SL (2, R )-равноразложимыми, и то же самое касается множеств в B . Отсюда следует, что оба семейства состоят из парадоксальных множеств.
