Слабое измерение

Измерение квантовой системы, которое минимально ее возмущает

В квантовой механике (и вычислениях и информации ) слабое измерение — это тип квантового измерения , в результате которого наблюдатель получает в среднем очень мало информации о системе, но также и очень мало возмущает ее состояние. ^[1] Согласно теореме Буша ^[2], любая квантовая система обязательно возмущается измерением, но величина возмущения описывается параметром, называемым силой измерения.

Слабое измерение является подмножеством более общей формы квантового измерения, описываемой операторами, известными как POVM , где сила измерения низкая. В литературе слабые измерения также известны как нечеткие, ^[3] нечеткие, ^{[3] [4]} тусклые, шумные, ^[5] приблизительные и нежные ^[6] измерения. Кроме того, слабые измерения часто путают с отдельным, но связанным понятием слабого значения . ^[7]

Наиболее распространенными методами слабого измерения являются связывание квантовой системы со вспомогательным кубитом и проективное измерение вспомогательного кубита (что приводит к слабому измерению интересующей квантовой системы), измерение небольшой части больших запутанных систем, а в атомной физике — фазово-контрастное изображение.

История

Слабые измерения впервые были рассмотрены в контексте слабых непрерывных измерений квантовых систем ^[8] (т. е. квантовой фильтрации и квантовых траекторий ). Физика непрерывных квантовых измерений заключается в следующем. Рассмотрим использование вспомогательного элемента, например поля или тока , для зондирования квантовой системы. Взаимодействие между системой и зондом коррелирует две системы. Обычно взаимодействие лишь слабо коррелирует систему и вспомогательный элемент (в частности, унитарный оператор взаимодействия нужно только разложить до первого или второго порядка в теории возмущений). Измеряя вспомогательный элемент и затем используя квантовую теорию измерений, можно определить состояние системы, обусловленное результатами измерения. Чтобы получить сильное измерение, необходимо связать и затем измерить множество вспомогательных элементов. В пределе, когда имеется континуум вспомогательных элементов, процесс измерения становится непрерывным во времени. Этот процесс впервые описали: Майкл Б. Менский; ^{[9] [10]} Вячеслав Белавкин ; ^{[11] [12]} Альберто Баркиелли, Л. Ланц, ГМ Проспери; ^[13] Баркиелли; ^[14] Карлтон Кейвс ; ^{[15] [16]} Кейвс и Джеральд Дж. Милберн . ^[17] Позднее Говард Кармайкл ^[18] и Говард М. Уайзман ^[19] также внесли важный вклад в эту область.

Понятие слабого измерения часто ошибочно приписывают Якиру Ааронову , Дэвиду Альберту и Льву Вайдману . ^[7] В своей статье они рассматривают пример слабого измерения (и, возможно, вводят в обиход термин «слабое измерение») и используют его для обоснования своего определения слабого значения , которое они определили там впервые.

Пример: предел слабого магнита Штерна-Герлаха

Эксперимент Штерна-Герлаха является типичным примером квантования электронного спинового углового момента. Он включает в себя сильный градиент магнитного поля, который вызывает спин-зависимую силу на электронах, проходящих через поле, создавая два чисто спиновых пучка электронов, выходящих из аппарата.

Предположим, что магнит в этом аппарате создает очень слабый градиент, например, кусочек кристалла кальцита.

Теория: Соединение с Ancilla

Не существует общепринятого определения слабого измерения. Один из подходов заключается в том, чтобы объявить слабое измерение обобщенным измерением, в котором некоторые или все операторы Крауса близки к тождеству. ^[20] Применяемый ниже подход заключается в слабом взаимодействии двух систем и последующем измерении одной из них. ^[21] После подробного описания этого подхода мы проиллюстрируем его примерами.

Слабое взаимодействие и сопутствующее измерение

Рассмотрим систему, которая начинается в квантовом состоянии , и вспомогательную систему, которая начинается в состоянии . Совместное начальное состояние — . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle }$

Эти две системы взаимодействуют через гамильтониан , который генерирует временные эволюции (в единицах, где ), где - "сила взаимодействия", которая имеет единицы обратного времени. Предположим, что время взаимодействия фиксировано и мало, так что . ${\displaystyle H=A\otimes B}$ ${\displaystyle U(t)=\exp[-ixtH]}$ ${\displaystyle \hbar =1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t=\Delta t}$ ${\displaystyle \lambda =x\Delta t}$ ${\displaystyle \lambda ^{3}\approx 0}$

Разложение ряда в дает ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3})\\&\approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned}}}$

Поскольку необходимо было только расширить унитарное до низкого порядка в теории возмущений, мы называем это слабым взаимодействием. Кроме того, тот факт, что унитарное является преимущественно оператором тождества, так как и малы, подразумевает, что состояние после взаимодействия не отличается радикально от начального состояния. Объединенное состояние системы после взаимодействия равно ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle |\Psi '\rangle =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\right)|\Psi \rangle .}$

Теперь мы проводим измерение на вспомогательной системе, чтобы узнать о системе, это известно как измерение, связанное с вспомогательной системой. Мы рассмотрим измерения в базисе (на вспомогательной системе) таким образом, что . Действие измерения на обе системы описывается действием проекторов на совместное состояние . Из квантовой теории измерений мы знаем, что условное состояние после измерения ${\displaystyle |q\rangle }$ ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ ${\displaystyle \Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|}$ ${\displaystyle |\Psi '\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{aligned}}}$

где — нормировочный фактор для волновой функции. Обратите внимание, что состояние вспомогательной системы записывает результат измерения. Объект — оператор в системном гильбертовом пространстве и называется оператором Крауса . ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$

По отношению к операторам Крауса состояние комбинированной системы после измерения имеет вид

${\displaystyle |\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .}$

Объекты являются элементами того, что называется POVM , и должны подчиняться так, чтобы соответствующие вероятности в сумме давали единицу: . Поскольку вспомогательная система больше не коррелирует с первичной системой, она просто записывает результат измерения, мы можем проследить его. Это дает условное состояние только первичной системы: ${\displaystyle E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}}$ ${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ ${\textstyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$

${\displaystyle |\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}},}$

который мы все еще маркируем по результату измерения . Действительно, эти соображения позволяют вывести квантовую траекторию . ${\displaystyle q}$

Пример операторов Крауса

Мы будем использовать канонический пример гауссовых операторов Крауса, приведенный Баркиелли, Ланцем, Проспери; ^[13] и Кейвсом и Милберном. ^[17] Возьмем , где положение и импульс в обеих системах имеют обычное каноническое коммутационное соотношение . Возьмем начальную волновую функцию вспомогательного оператора, чтобы получить гауссово распределение ${\displaystyle H=x\otimes p}$ ${\displaystyle [x,p]=i}$

${\displaystyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})]|q'\rangle .}$

Позиционная волновая функция вспомогательного объекта равна

${\displaystyle \Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2})].}$

Операторы Крауса (по сравнению с обсуждением выше, мы установили ) ${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

в то время как соответствующие элементы POVM являются

${\displaystyle {\begin{aligned}E(q)&=M_{q}^{\dagger }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

которые подчиняются . Альтернативное представление часто встречается в литературе. Используя спектральное представление оператора положения , мы можем записать ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что . ^[17] То есть, в определенном пределе эти операторы ограничиваются сильным измерением положения; для других значений мы называем измерение конечной силы; а как , мы говорим, что измерение является слабым. ${\textstyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \to \infty }$

Теория: Фазово-контрастная визуализация

Фазово-контрастное изображение — это метод визуализации, используемый в атомной физике с холодными и плотными разреженными газами атомов, чаще всего конденсатами Бозе-Эйнштейна . Он использует атомы в качестве линзы и измеряет интерференцию между светом, сдвинутым по фазе атомами, и светом, который не проходит через атомы.

Сила измерения определяется расстройкой светового потока изображения и временем взаимодействия света с атомами.

Компромисс между получением информации и нарушением порядка

Как указано выше, теорема Буша ^[2] предотвращает бесплатный обед: не может быть прироста информации без помех. Однако компромисс между приростом информации и помехами был охарактеризован многими авторами, включая CA Fuchs и Asher Peres ; ^[22] Fuchs; ^[23] Fuchs и KA Jacobs; ^[24] и K. Banaszek. ^[25]

Недавно соотношение между получением информации и возмущением было изучено в контексте так называемой «леммы мягкого измерения» ^{[6] [26] .}

Приложения

С самых первых дней было ясно, что основное применение слабых измерений будет для управления с обратной связью или адаптивных измерений квантовых систем. Действительно, это мотивировало большую часть работы Белавкина, и явный пример был дан Кейвсом и Милберном. Ранним применением адаптивных слабых измерений было применение приемника Долинара , ^[27] которое было реализовано экспериментально. ^{[28] [29]} Другим интересным применением слабых измерений является использование слабых измерений, за которыми следует унитарный, возможно, обусловленный результатом слабого измерения, для синтеза других обобщенных измерений. ^[20] Книга Уайзмана и Милберна ^[21] является хорошим источником для многих современных разработок.

Дальнейшее чтение

• Теория и практика квантовых измерений, Эндрю Джордан (Cambridge Press 2024) ISBN  9781009100069
• Статья Бруна ^[1]
• Статья Якобса и Штека ^[30]
• Квантовая теория измерений и ее приложения, К. Якобс (Cambridge Press, 2014) ISBN 9781107025486 
• Квантовое измерение и управление, HM Wiseman и GJ Milburn (Cambridge Press, 2009) ^[21]
• Статья Тамира и Коэна ^[31]

Ссылки

1. Тодд А. Брун (2002). «Простая модель квантовых траекторий». Am. J. Phys . 70 (7): 719–737. arXiv : quant-ph/0108132 . Bibcode :2002AmJPh..70..719B. doi :10.1119/1.1475328. S2CID  40746086.
2. Paul Busch (2009). J. Christian; W.Myrvold (ред.). "No Information Without Disturbance": Quantum Limitations of Measurement . Приглашенный вклад, "Quantum Reality, Relativistic Causality, and Closing the Epistemic Circle: An International Conference in Honour of Abner Shimony", Perimeter Institute, Waterloo, Ontario, Canada, 18–21 июля 2006 г. Том 73. Springer-Verlag, 2008. стр. 229–256. arXiv : 0706.3526 . doi :10.1007/978-1-4020-9107-0. ISBN 978-1-4020-9106-3. ISSN  1566-659X. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )
3. Gudder, Stan (2005). «Невозмущение для нечетких квантовых измерений». Нечеткие множества и системы . 155 (1): 18–25. doi :10.1016/j.fss.2005.05.009.
4. Эшер Перес (1993). Квантовая теория, концепции и методы . Kluwer. стр. 387. ISBN 978-0-7923-2549-9.
5. AN Korotkov (2003). "Noisy Quantum Measurement of Solid-State Qubits: Bayesian Approach". В Y. v. Nazarov (ред.). Quantum Noise in Mesoscopic Physics . Springer Netherlands. стр. 205–228. arXiv : cond-mat/0209629 . doi :10.1007/978-94-010-0089-5_10. ISBN 978-1-4020-1240-2. S2CID  9025386.
6. A. Winter (1999). «Теорема кодирования и сильное обращение для квантовых каналов». IEEE Trans. Inf. Theory . 45 (7): 2481–2485. arXiv : 1409.2536 . doi :10.1109/18.796385. S2CID  15675016.
7. Якир Ахаронов; Дэвид З. Альберт и Лев Вайдман (1988). «Как результат измерения компонента спина частицы со спином 1/2 может оказаться равным 100». Physical Review Letters . 60 (14): 1351–1354. Bibcode :1988PhRvL..60.1351A. doi :10.1103/PhysRevLett.60.1351. PMID  10038016. S2CID  46042317.
8. A. Clerk; M. Devoret; S. Girvin; F. Marquardt; R. Schoelkopf (2010). «Введение в квантовый шум, измерение и усиление». Rev. Mod. Phys . 82 (2): 1155–1208. arXiv : 0810.4729 . Bibcode :2010RvMP...82.1155C. doi :10.1103/RevModPhys.82.1155. S2CID  119200464.
9. MB Mensky (1979). «Квантовые ограничения для непрерывного наблюдения осциллятора». Phys. Rev. D. 20 ( 2): 384–387. Bibcode :1979PhRvD..20..384M. doi :10.1103/PhysRevD.20.384.
10. МБ Менский (1979). «Квантовые ограничения на измерение параметров движения макроскопического осциллятора». Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики . 77 (4): 1326–1339. Bibcode :1979JETP...50..667M.
11. В. П. Белавкин (1980). «Квантовая фильтрация марковских сигналов белым квантовым шумом». Радиотехника и Электроника . 25 : 1445–1453.
12. VP Belavkin (1992). «Квантовые континуальные измерения и апостериорный коллапс на CCR». Commun. Math. Phys . 146 (3): 611–635. arXiv : math-ph/0512070 . Bibcode :1992CMaPh.146..611B. doi :10.1007/bf02097018. S2CID  17016809.
13. А. Барчелли; Л. Ланц; ГМ Проспери (1982). «Модель макроскопического описания и непрерывных наблюдений в квантовой механике». Иль Нуово Чименто Б. 72 (1): 79–121. Бибкод : 1982NCimB..72...79B. дои : 10.1007/BF02894935. S2CID  124717734.
14. А. Баркиелли (1986). «Теория измерений и стохастические дифференциальные уравнения в квантовой механике». Phys. Rev. A. 34 ( 3): 1642–1649. Bibcode :1986PhRvA..34.1642B. doi :10.1103/PhysRevA.34.1642. PMID  9897442.
15. Карлтон М. Кейвс (1986). «Квантовая механика измерений, распределенных во времени. Формулировка интеграла по траектории». Phys. Rev. D. 33 ( 6): 1643–1665. Bibcode : 1986PhRvD..33.1643C. doi : 10.1103/PhysRevD.33.1643. PMID  9956814.
16. Карлтон М. Кейвс (1987). «Квантовая механика измерений, распределенных во времени. II. Связи между формулировками». Phys. Rev. D. 35 ( 6): 1815–1830. Bibcode : 1987PhRvD..35.1815C. doi : 10.1103/PhysRevD.35.1815. PMID  9957858.
17. Карлтон М. Кейвс; Г. Дж. Милберн (1987). "Квантово-механическая модель для непрерывных измерений положения" (PDF) . Phys. Rev. A . 36 (12): 5543–5555. Bibcode :1987PhRvA..36.5543C. doi :10.1103/PhysRevA.36.5543. PMID  9898842.
18. Кармайкл, Ховард (1993). Подход открытых систем к квантовой оптике, Lecture Notes in Physics . Springer .
19. Wiseman, Howard Mark (1994). Квантовые траектории и обратная связь (PhD). Университет Квинсленда .
20. O. Oreshkov; TA Brun (2005). "Слабые измерения универсальны". Phys. Rev. Lett . 95 (11): 110409. arXiv : quant-ph/0503017 . Bibcode : 2005PhRvL..95k0409O. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.110409. PMID  16196989. S2CID  43706272.
21. Wiseman, Howard M.; Milburn, Gerard J. (2009). Квантовое измерение и управление . Кембридж ; Нью-Йорк : Cambridge University Press . С. 460. ISBN 978-0-521-80442-4.
22. CA Fuchs; A. Peres (1996). «Возмущение квантового состояния против прироста информации: соотношения неопределенности для квантовой информации». Phys. Rev. A . 53 (4): 2038–2045. arXiv : quant-ph/9512023 . Bibcode :1996PhRvA..53.2038F. doi :10.1103/PhysRevA.53.2038. PMID  9913105. S2CID  28280831.
23. CA Fuchs (1996). «Прирост информации против возмущения состояния в квантовой теории». arXiv : quant-ph/9611010 . Bibcode :1996quant.ph.11010F. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
24. CA Fuchs; KA Jacobs (2001). "Информационно-компромиссные отношения для квантовых измерений конечной силы". Phys. Rev. A. 63 ( 6): 062305. arXiv : quant-ph/0009101 . Bibcode : 2001PhRvA..63f2305F. doi : 10.1103/PhysRevA.63.062305. S2CID  119476175.
25. K. Banaszek (2006). «Возмущение квантового состояния против прироста информации: соотношения неопределенности для квантовой информации». Open Syst. Inf. Dyn . 13 : 1–16. arXiv : quant-ph/0006062 . doi :10.1007/s11080-006-7263-8. S2CID  35809757.
26. T. Ogawa; H. Nagaoka (1999). "Сильное обращение к теореме о квантовом канальном кодировании". IEEE Trans. Inf. Theory . 45 (7): 2486–2489. arXiv : quant-ph/9808063 . Bibcode :2002quant.ph..8139O. doi :10.1109/18.796386. S2CID  1360955.
27. SJ Dolinar (1973). «Оптимальный приемник для квантового канала с двоичным когерентным состоянием» (PDF) . Ежеквартальный отчет о ходе работ Исследовательской лаборатории электроники Массачусетского технологического института . 111 : 115–120.
28. RL Cook; PJ Martin; JM Geremia (2007). «Оптическая когерентная дискриминация состояний с использованием квантового измерения с замкнутой петлей». Nature . 446 (11): 774–777. Bibcode :2007Natur.446..774C. doi :10.1038/nature05655. PMID  17429395. S2CID  4381249.
29. FE Becerra; J. Fan; G. Baumgartner; J. Goldhar; JT Kosloski; A. Migdall (2013). «Экспериментальная демонстрация приемника, превосходящего стандартный квантовый предел для множественной неортогональной дискриминации состояний». Nature Photonics . 7 (11): 147–152. Bibcode :2013NaPho...7..147B. doi :10.1038/nphoton.2012.316. S2CID  41194236.
30. K. Jacobs; DA Steck (2006). «Простое введение в непрерывное квантовое измерение». Contemporary Physics . 47 (5): 279–303. arXiv : quant-ph/0611067 . Bibcode : 2006ConPh..47..279J. doi : 10.1080/00107510601101934. S2CID  33746261.
31. Боаз Тамир; Элиаху Коэн (2013). «Введение в слабые измерения и слабые значения». Quanta . 2 (1): 7–17. doi : 10.12743/quanta.v2i1.14 .