Корректно поставленная задача

Термин, касающийся свойств, которыми должны обладать математические модели физических явлений.

В математике корректно поставленная задача — это задача, для которой выполняются следующие свойства: ^[a]

1. У проблемы есть решение
2. Решение уникально
3. Поведение решения непрерывно меняется в зависимости от начальных условий.

Примерами архетипических корректно поставленных задач являются задача Дирихле для уравнения Лапласа и уравнение теплопроводности с указанными начальными условиями. Их можно рассматривать как «естественные» задачи, поскольку существуют физические процессы, моделируемые этими задачами.

Задачи, которые не являются корректно поставленными в указанном выше смысле, называются некорректно поставленными . Обратные задачи часто являются некорректно поставленными; например, обратное уравнение теплопроводности, выводящее предыдущее распределение температуры из конечных данных, не является корректно поставленным, поскольку решение очень чувствительно к изменениям в конечных данных.

Континуальные модели часто должны быть дискретизированы для получения численного решения. Хотя решения могут быть непрерывными относительно начальных условий, они могут страдать от численной нестабильности при решении с конечной точностью или с ошибками в данных.

Кондиционирование

Даже если проблема хорошо поставлена, она все равно может быть плохо обусловленной , то есть небольшая ошибка в исходных данных может привести к гораздо большим ошибкам в ответах. Проблемы в нелинейных сложных системах (так называемых хаотических системах) дают хорошо известные примеры неустойчивости. Плохо обусловленная проблема обозначается большим числом условий .

Если задача поставлена ​​корректно, то у нее есть хорошие шансы на решение на компьютере с использованием устойчивого алгоритма . Если задача поставлена ​​некорректно, ее необходимо переформулировать для численной обработки. Обычно это включает включение дополнительных предположений, таких как гладкость решения. Этот процесс известен как регуляризация . Регуляризация Тихонова является одной из наиболее часто используемых для регуляризации линейных некорректных задач.

Энергетический метод

Энергетический метод полезен для установления как единственности, так и непрерывности относительно начальных условий (т.е. он не устанавливает существование). Метод основан на выводе верхней границы функционала, подобного энергии, для данной задачи.

Пример : Рассмотрим уравнение диффузии на единичном интервале с однородными граничными условиями Дирихле и подходящими начальными данными (например, для которых ). ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Умножьте уравнение на и проинтегрируйте в пространстве на единичном интервале, чтобы получить ${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}}$$

Это говорит нам, что ( p-норма ) не может расти со временем. Умножая на два и интегрируя по времени, от до , находим ${\displaystyle \|u\|_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

Этот результат представляет собой оценку энергии для данной задачи.

Чтобы показать единственность решений, предположим, что есть два различных решения проблемы, назовем их и , каждое из которых удовлетворяет тем же исходным данным. После определения затем, через линейность уравнений, находим, что удовлетворяет ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w=u-v}$ ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Применение оценки энергии говорит нам, что подразумевает ( почти везде ). ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$ ${\displaystyle u=v}$

Аналогично, чтобы показать непрерывность относительно начальных условий, предположим, что и являются решениями, соответствующими различным начальным данным и . Рассматривая еще раз, находим, что удовлетворяет тем же уравнениям, что и выше, но с . Это приводит к оценке энергии , которая устанавливает непрерывность (т.е. поскольку и становятся ближе, измеряемой нормой их разности, то ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$ ${\displaystyle w=u-v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$

Принцип максимума является альтернативным подходом к установлению единственности и непрерывности решений относительно начальных условий для этого примера. Существование решений этой задачи может быть установлено с помощью рядов Фурье .

Смотрите также

• Спектроскопия полного поглощения – пример обратной задачи или некорректной задачи в реальной жизненной ситуации, которая решается с помощью алгоритма максимизации ожидания.

Примечания

1. Это определение корректно поставленной задачи взято из работы Жака Адамара по математическому моделированию физических явлений .

Ссылки

• Адамар, Жак (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur означает телосложение . Бюллетень Принстонского университета. стр. 49–52.
• Паркер, Сибил Б., ред. (1989) [1974]. Словарь научных и технических терминов McGraw-Hill (4-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-045270-9.
• Тихонов, АН; Арсенин, ВЯ (1977). Решения некорректно поставленных задач . Нью-Йорк: Winston. ISBN 0-470-99124-0.
• Штраус, Вальтер А. (2008). Уравнения с частными производными; Введение (2-е изд.). Hoboken: Wiley. ISBN 978-0470-05456-7.