Нулевой морфизм

Биуниверсальное свойство в теории категорий

В теории категорий , разделе математики , нулевой морфизм — это особый вид морфизма , проявляющий свойства, подобные морфизмам в нулевой объект и обратно .

Определения

Предположим, C — категория , а f  : X → Y — морфизм в C. Морфизм f называется постоянным морфизмом (или иногда морфизмом левых нулей ), если для любого объекта W в C и любого g , h  : W → X , fg = fh . Двойственным образом f называется коконстантным морфизмом (или иногда морфизмом правого нуля ), если для любого объекта Z в C и любого g , h  : Y → Z , gf = hf . Нулевой морфизм — это морфизм, который одновременно является постоянным и коконстантным морфизмом.

Категория с нулевыми морфизмами — это категория, в которой для каждых двух объектов A и B в C существует фиксированный морфизм 0 _AB  : A → B , и этот набор морфизмов таков, что для всех объектов X , Y , Z в C и все морфизмы f  : Y → Z , g  : X → Y , следующая диаграмма коммутирует:

Морфизмы 0 _XY обязательно являются нулевыми морфизмами и образуют совместимую систему нулевых морфизмов.

Если C — категория с нулевыми морфизмами, то набор 0 _XY уникален. ^[1]

Этот способ определения «нулевого морфизма» и фразы «категория с нулевыми морфизмами» по отдельности неудачен, но если каждое hom-множество имеет «нулевой морфизм», то категория «имеет нулевые морфизмы».

Примеры

• В категории групп (или модулей ) нулевой морфизм — это гомоморфизм f  : G → H , который отображает весь G в единичный элемент H. Нулевым объектом в категории групп является тривиальная группа 1 = {1}, единственная с точностью до изоморфизма . Каждый нулевой морфизм можно факторизовать через 1 , т. е . f  : G → 1 → H.
• В более общем смысле, предположим, что C — любая категория с нулевым объектом 0 . Тогда для всех объектов X и Y существует единственная последовательность морфизмов

  0 _XY  : X → 0 → Y

  Семейство всех построенных таким образом морфизмов наделяет C структурой категории с нулевыми морфизмами.
• Если C — преаддитивная категория , то каждое hom-множество Hom( X , Y ) является абелевой группой и, следовательно, имеет нулевой элемент. Эти нулевые элементы образуют совместимое семейство нулевых морфизмов для C , превращая его в категорию с нулевыми морфизмами.
• Категория множеств не имеет нулевого объекта, но имеет исходный объект — пустое множество ∅. Единственными морфизмами правых нулей в Set являются функции ∅ → X для множества X .

Связанные понятия

Если C имеет нулевой объект 0 , то для данных двух объектов X и Y в C существуют канонические морфизмы f  : X → 0 и g  : 0 → Y. Тогда gf — нулевой морфизм в Mor _C ( X , Y ). Таким образом, каждая категория с нулевым объектом является категорией с нулевыми морфизмами, заданными композицией 0 _XY  : X → 0 → Y .

Если категория имеет нулевые морфизмы, то можно определить понятия ядра и коядра для любого морфизма в этой категории.

Рекомендации

• Раздел 1.7 Парейгиса, Бодо (1970), Категории и функторы , Чистая и прикладная математика, том. 39, Академик Пресс , ISBN 978-0-12-545150-5
• Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (2007), Теория категорий , Heldermann Verlag.

Примечания

1. «Категория с нулевыми морфизмами — Stack Overflow на русском» Math.stackexchange.com . 17 января 2015 г. Проверено 30 марта 2016 г.