Почти наверняка

В теории вероятностей событие считается почти наверняка произошедшим (иногда сокращенно обозначаемым как as ), если оно произошло с вероятностью 1 (по отношению к мере вероятности). ^[1] Другими словами, множество исходов, при которых событие не произошло, имеет вероятность 0, даже если множество может быть не пустым. Эта концепция аналогична концепции « почти всюду » в теории меры . В вероятностных экспериментах на конечном пространстве выборок с ненулевой вероятностью для каждого результата нет разницы между почти наверняка и наверняка (поскольку наличие вероятности 1 влечет за собой включение всех точек выборки ); однако это различие становится важным, когда пространство выборки представляет собой бесконечное множество , ^[2], поскольку бесконечное множество может иметь непустые подмножества вероятности 0.

Некоторые примеры использования этой концепции включают сильную и однородную версии закона больших чисел , непрерывность траекторий броуновского движения и теорему о бесконечной обезьяне . Термины почти наверняка (ac) и почти всегда (aa) также используются. Почти никогда не описывает противоположность почти наверняка : событие, которое происходит с вероятностью ноль, происходит почти никогда . ^[3]

Формальное определение

Пусть будет вероятностным пространством . Событие происходит почти наверняка, если . Эквивалентно, происходит почти наверняка, если вероятность не наступления равна нулю : . В более общем случае любое множество (не обязательно из ) происходит почти наверняка, если содержится в нулевом множестве : подмножестве из таком, что . ^[4] Понятие почти наверняка зависит от меры вероятности . Если необходимо подчеркнуть эту зависимость, принято говорить, что событие происходит P -почти наверняка, или почти наверняка . $(\Omega, {\mathcal {F}},P)$ $E\in {\mathcal {F}}$ $P(E)=1$ $E$ $E$ $P(E^{C})=0$ $E\subseteq \Omega$ ${\mathcal {F}}$ $E^{C}$ $N$ ${\mathcal {F}}$ $P(N)=0$ $P$ $E$ $\left(\!P\right)$

Наглядные примеры

В общем случае событие может произойти «почти наверняка», даже если рассматриваемое вероятностное пространство включает в себя результаты, которые не принадлежат событию, как иллюстрируют следующие примеры.

Метание дротика

Представьте себе, что вы бросаете дротик в единичный квадрат (квадрат площадью 1 ) так, чтобы дротик всегда попадал в точную точку квадрата, таким образом, что каждая точка квадрата имеет одинаковую вероятность попадания. Поскольку квадрат имеет площадь 1, вероятность того, что дротик попадет в любую конкретную подобласть квадрата, равна площади этой подобласти. Например, вероятность того, что дротик попадет в правую половину квадрата, равна 0,5, поскольку правая половина имеет площадь 0,5.

Далее рассмотрим событие, когда дротик попадает точно в точку на диагоналях единичного квадрата. Поскольку площадь диагоналей квадрата равна 0, вероятность того, что дротик приземлится точно на диагонали, равна 0. То есть дротик почти никогда не приземлится на диагонали (эквивалентно, он почти наверняка не приземлится на диагонали), даже несмотря на то, что множество точек на диагоналях не пусто, а точка на диагонали не менее возможна, чем любая другая точка.

Многократное подбрасывание монеты

Рассмотрим случай, когда подбрасывается (возможно, предвзятая) монета, соответствующая вероятностному пространству , где событие происходит, если выпадает орел и если выпадает решка. Для этой конкретной монеты предполагается, что вероятность выпадения орел равна , из чего следует, что дополнительное событие, то есть выпадение решки, имеет вероятность . $(\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)$ $\{H\}$ $\{Т\}$ $P(H)=p\in (0,1)$ $P(T)=1-p$

Теперь предположим, что был проведен эксперимент, в котором монета подбрасывается многократно, с результатами и предположением, что результат каждого подбрасывания независим от всех остальных (т. е. они независимы и одинаково распределены ; iid ). Определим последовательность случайных величин в пространстве подбрасывания монеты, где . т . е. каждая записывает результат th подбрасывания. $\omega _{1},\omega _{2},\ldots$ $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ $X_{i}(\omega )=\omega _{i}$ $X_{i}$ $я$

В этом случае любая бесконечная последовательность орлов и решек является возможным результатом эксперимента. Однако любая конкретная бесконечная последовательность орлов и решек имеет вероятность 0 быть точным результатом (бесконечного) эксперимента. Это потому, что предположение iid подразумевает, что вероятность переворачивания всех орлов над бросками просто . Позволяя, получаем 0, так как по предположению. Результат тот же самый, независимо от того, насколько мы смещаем монету в сторону орла, пока мы ограничиваем строго между 0 и 1. Фактически, тот же результат сохраняется даже в нестандартном анализе — где допускаются бесконечно малые вероятности. ^[5] $n$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $n\rightarrow \infty$ $p\in (0,1)$ $p$

Более того, событие «последовательность бросков содержит хотя бы один » также произойдет почти наверняка (т. е. с вероятностью 1). Но если вместо бесконечного числа бросков, броски прекратятся через некоторое конечное время, скажем, 1 000 000 бросков, то вероятность получения последовательности, состоящей только из орлов, , больше не будет равна 0, в то время как вероятность получения хотя бы одной решки, , больше не будет равна 1 (т. е. событие больше не является почти достоверным). $Т$ $p^{1,000,000}$ $1-p^{1,000,000}$

Асимптотически почти наверняка

В асимптотическом анализе свойство считается выполненным асимптотически почти наверняка (aas), если над последовательностью множеств вероятность сходится к 1. Это эквивалентно сходимости по вероятности . Например, в теории чисел большое число является асимптотически почти наверняка составным, по теореме о простых числах; а в теории случайных графов утверждение «связано » ( где обозначает графы на вершинах с вероятностью ребра ) верно aas, когда для некоторого $G(n,p_{n})$ $G(n,p)$ $n$ $p$ $\varepsilon >0$

p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.

^[6]

В теории чисел это называется « почти все », как в «почти все числа являются составными». Аналогично, в теории графов это иногда называется «почти наверняка». ^[7]

Смотрите также

Почти
Почти везде соответствующая концепция в теории меры
Сходимость случайных величин , для «почти наверное сходимости»
С большой вероятностью
Правило Кромвеля , которое гласит, что вероятности почти никогда не следует устанавливать равными нулю или единице.
Вырожденное распределение , для "почти наверное константы"
Теорема о бесконечной обезьяне , теорема, использующая вышеупомянутые термины.
Список математического жаргона

Примечания

^ Weisstein, Eric W. "Почти наверняка". mathworld.wolfram.com . Получено 16.11.2019 .
^ "Почти наверняка - Math Central". mathcentral.uregina.ca . Получено 16.11.2019 .
^ Грэдель, Эрих; Колайтис, Фокион Г.; Либкин, Леонид ; Маркс, Маартен; Спенсер, Джоэл; Варди, Моше Й.; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (2007). Теория конечных моделей и ее приложения . Springer. стр. 232. ISBN 978-3-540-00428-8.
^ Жакод, Жан; Проттер (2004). Основы вероятности . Спрингер. п. 37. ИСБН 978-3-540-438717.
^ Уильямсон, Тимоти (01.07.2007). «Насколько вероятна бесконечная последовательность орлов?». Анализ . 67 (3): 173–180. doi :10.1093/analys/67.3.173. ISSN 0003-2638.
^ Фридгут, Эхуд; Рёдль, Войтех; Ручинский, Анджей; Тетали, Прасад (январь 2006 г.). «Острый порог для случайных графов с одноцветным треугольником в каждой раскраске ребер». Мемуары Американского математического общества . 179 (845). Книжный магазин AMS: 3–4. doi : 10.1090/memo/0845. ISSN 0065-9266. S2CID 9143933.
^ Спенсер, Джоэл Х. (2001). "0. Два начальных примера". Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. Т. 22. Springer. стр. 4. ISBN 978-3540416548.

Ссылки

Роджерс, LCG; Уильямс, Дэвид (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы . Том 1: Основы. Cambridge University Press. ISBN 978-0521775946.
Уильямс, Дэвид (1991). Вероятность с Мартингалами . Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. ISBN 978-0521406055.