Ноль диез

Понятие в теории множеств

В математической дисциплине теории множеств 0 ^# ( ноль диез , также 0# ) — это множество истинных формул о неразличимых и упорядоченно-неразличимых в конструктивной вселенной Гёделя . Его часто кодируют как подмножество натуральных чисел (используя нумерацию Гёделя ), или как подмножество наследственно конечных множеств , или как действительное число . Его существование недоказуемо в ZFC , стандартной форме аксиоматической теории множеств , но следует из подходящей большой кардинальной аксиомы. Он был впервые представлен как множество формул в диссертации Сильвера 1966 года, позже опубликованной как Сильвер (1971), где он обозначался как Σ, и переоткрыт Соловеем (1967, стр. 52), который рассматривал его как подмножество натуральных чисел и ввел обозначение O ^# (с заглавной буквой O; позже оно было изменено на цифру «0»).

Грубо говоря, если 0 ^# существует, то вселенная множеств V намного больше, чем вселенная L конструируемых множеств, в то время как если 0 # не существует, то вселенная всех множеств близко аппроксимируется конструируемыми множествами.

Определение

Ноль диез был определен Сильвером и Соловеем следующим образом. Рассмотрим язык теории множеств с дополнительными константными символами , , ... для каждого ненулевого натурального числа. Тогда определяется как множество чисел Гёделя истинных предложений о конструируемой вселенной, с интерпретируемым как несчетное кардинальное число . (Здесь имеется в виду в полной вселенной, а не конструируемой вселенной.) ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \aleph _{i}}$ ${\displaystyle \aleph _{i}}$ ${\displaystyle \aleph _{i}}$

В этом определении есть тонкость: по теореме Тарского о неопределимости в общем случае невозможно определить истинность формулы теории множеств на языке теории множеств. Чтобы решить эту проблему, Сильвер и Соловей предположили существование подходящего большого кардинала, такого как кардинал Рамсея , и показали, что с этим дополнительным предположением можно определить истинность утверждений о конструируемой вселенной. В более общем смысле определение работает при условии, что существует несчетное множество неразличимых для некоторых , и фраза « существует» используется как сокращенный способ сказать это. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Замкнутое множество неразличимых по порядку элементов для (где — предельный ординал) является множеством неразличимых элементов Сильвера , если: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle I}$неограничен в , и ${\displaystyle \alpha }$
• если неограничено в ординале , то оболочка Скулема в равна . Другими словами, каждый определим в из параметров в . ${\displaystyle I\cap \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle I\cap \beta }$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle x\in L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle I\cap \beta }$

Если существует множество неразличимых элементов Сильвера для , то оно уникально. Кроме того, для любого несчетного кардинала будет существовать уникальное множество неразличимых элементов Сильвера для . Объединение всех этих множеств будет собственным классом неразличимых элементов Сильвера для самой структуры . Тогда определяется как множество всех чисел Гёделя формул, таких что ${\displaystyle L_{\omega _{1}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle L_{\alpha }\models \theta (\alpha _{1},\alpha _{2}\ldots \alpha _{n})}$

где — любая строго возрастающая последовательность членов . Поскольку они неразличимы, определение не зависит от выбора последовательности. ${\displaystyle \alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{n}<\alpha }$ ${\displaystyle I}$

Любой имеет свойство . Это позволяет определить истину для конструируемой вселенной: ${\displaystyle \alpha \in I}$ ${\displaystyle L_{\alpha }\prec L}$

${\displaystyle L\models \varphi [x_{1}...x_{n}]}$только если для некоторых . ${\displaystyle L_{\alpha }\models \varphi [x_{1}...x_{n}]}$ ${\displaystyle \alpha \in I}$

Существует несколько незначительных вариаций определения , которые не оказывают существенного влияния на его свойства. Существует много различных вариантов нумерации Гёделя, и зависит от этого выбора. Вместо того, чтобы рассматривать как подмножество натуральных чисел, его также можно кодировать как подмножество формул языка, или как подмножество наследственно конечных множеств, или как действительное число. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Заявления, подразумевающие существование

Условие о существовании кардинала Рамсея, подразумевающее, что существует, можно ослабить. Существование - кардиналов Эрдёша подразумевает существование . Это близко к наилучшему возможному, поскольку существование подразумевает, что в конструируемой вселенной существует - кардинал Эрдёша для всех счетных , поэтому такие кардиналы не могут быть использованы для доказательства существования . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Гипотеза Чанга подразумевает существование . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Утверждения, эквивалентные существованию

Кюнен показал, что существует тогда и только тогда, когда существует нетривиальное элементарное вложение конструктивной вселенной Гёделя в себя. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$

Дональд А. Мартин и Лео Харрингтон показали, что существование эквивалентно определенности аналитических игр lightface . Фактически, стратегия для универсальной аналитической игры lightface имеет ту же степень Тьюринга, что и . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Из теоремы Йенсена о покрытии следует , что существование эквивалентно тому, что оно является регулярным кардиналом в конструируемой вселенной . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle L}$

Сильвер показал, что существование несчетного множества неразличимых величин в конструируемой вселенной эквивалентно существованию . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Последствия существования и несуществования

Существование подразумевает, что каждый несчетный кардинал в теоретико-множественной вселенной является неразличимым в и удовлетворяет всем большим кардинальным аксиомам, которые реализуются в (например, быть полностью невыразимым ). Из этого следует, что существование противоречит аксиоме конструктивности : . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle V=L}$

Если существует, то это пример неконструируемого множества натуральных чисел. Это в некотором смысле простейшая возможность для неконструируемого множества, поскольку все и множества натуральных чисел конструируемы. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle \Delta _{3}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$

С другой стороны, если не существует, то конструируемая вселенная является базовой моделью, то есть канонической внутренней моделью , которая аппроксимирует большую кардинальную структуру рассматриваемой вселенной. В этом случае верна лемма покрытия Йенсена : ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$

Для любого несчетного множества ординалов существует конструируемое множество, такое что и имеет ту же мощность, что и . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\subset y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Этот глубокий результат принадлежит Рональду Дженсену . Используя форсинг, легко увидеть, что условие, которое несчетно, не может быть удалено. Например, рассмотрим форсинг Намбы , который сохраняет и сворачивается до ординала конфинальности . Пусть будет -последовательностью , конфинальной на и общей над . Тогда никакое множество в размера -меньшего, чем (которое несчетно в , поскольку сохраняется), не может покрыть , поскольку является регулярным кардиналом . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{2}^{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{2}^{L}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Если не существует, то отсюда также следует, что гипотеза сингулярных кардиналов верна. ^{[1] стр. 20} ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

Другие острые предметы

Если — любой набор, то определяется аналогично, за исключением того, что вместо используется , также с предикатным символом для . См. Конструктивная вселенная#Относительная конструктивность . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L[x]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$

Смотрите также

• 0 † — множество, похожее на 0 ^# , где конструируемая вселенная заменяется большей внутренней моделью с измеримым кардиналом .

Ссылки

1. P. Holy, «Результаты абсолютизации в теории множеств» (2017). Доступ 24 июля 2024 г.

• Drake, FR (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основаниям математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Харрингтон, Лео (1978). «Аналитическая определенность и 0 #». Журнал символической логики . 43 (4): 685–693. doi :10.2307/2273508. ISSN  0022-4812. MR  0518675.
• Jech, Thomas (2003). Теория множеств . Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Збл  1007.03002.
• Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-00384-3.
• Мартин, Дональд А. (1970). «Измеримые кардиналы и аналитические игры». Fundamenta Mathematicae . 66 (3): 287–291. doi : 10.4064/fm-66-3-287-291 . ISSN  0016-2736. MR  0258637.
• Сильвер, Джек Х. (1971). «Некоторые приложения теории моделей в теории множеств». Annals of Mathematical Logic . 3 (1): 45–110. doi : 10.1016/0003-4843(71)90010-6 . MR  0409188.

• Соловей, Роберт М. (1967). «Неконструируемый Δ¹
  ₃множество целых чисел». Труды Американского математического общества . 127 (1): 50–75. doi :10.2307/1994631. ISSN  0002-9947. MR  0211873.

Цитаты