Порядок приближения

Выражения для точности аппроксимации

В науке , технике и других количественных дисциплинах порядок аппроксимации относится к формальным или неформальным выражениям, определяющим точность аппроксимации .

Использование в науке и технике

В формальных выражениях порядковый номер , используемый перед порядком слов, относится к наивысшей степени в ряду, используемом в приближении . Выражения: приближение нулевого порядка , приближение первого порядка , приближение второго порядка и т. д. используются как устойчивые фразы . Выражение приближение нулевого порядка также распространено. Количественные числительные иногда используются в выражениях, таких как приближение нулевого порядка , приближение порядка одного и т. д.

Пропуск порядка слов приводит к фразам , имеющим менее формальное значение. Такие фразы, как «первое приближение» или «к первому приближению», могут относиться к приблизительному значению величины . ^{[1] [2]} Фраза «к нулевому приближению» указывает на дикую догадку . ^[3] Выражение «порядок приближения» иногда неформально используется для обозначения числа значащих цифр , в порядке возрастания точности или к порядку величины . Однако это может сбивать с толку, поскольку эти формальные выражения напрямую не относятся к порядку производных.

Выбор разложения в ряд зависит от научного метода, используемого для исследования явления . Ожидается, что порядок аппроксимации выражения будет указывать на все более точные аппроксимации функции в указанном интервале . Выбор порядка аппроксимации зависит от цели исследования . Возможно, кто-то захочет упростить известное аналитическое выражение , чтобы разработать новое приложение или, наоборот, попытаться подогнать кривую к точкам данных . Более высокий порядок аппроксимации не всегда более полезен, чем более низкий. Например, если величина постоянна в пределах всего интервала, аппроксимация ее рядом Тейлора второго порядка не увеличит точность.

В случае гладкой функции приближение n -го порядка является многочленом степени n , который получается путем усечения ряда Тейлора до этой степени. Формальное использование порядка приближения соответствует пропуску некоторых членов ряда, используемых в разложении . Это влияет на точность . Ошибка обычно варьируется в пределах интервала. Таким образом, термины ( нулевой , первый , второй и т. д.), используемые выше, не дают прямой информации о процентной ошибке или значимых цифрах . Например, в разложении рядов Тейлора показательной функции член нулевого порядка равен члену первого порядка равен члену второго порядка равен и так далее. Если каждый член более высокого порядка меньше предыдущего. Если то приближения первого порядка часто достаточно. Но при члене первого порядка не меньше члена нулевого порядка, А при даже члене второго порядка больше члена нулевого порядка. $${\displaystyle e^{x}=\underbrace {1} _{0^{\text{th}}}+\underbrace {x} _{1^{\text{st}}}+\underbrace {\frac {x^{2}}{2!}} _{2^{\text{nd}}}+\underbrace {\frac {x^{3}}{3!}} _{3^{\text{rd}}}+\underbrace {\frac {x^{4}}{4!}} _{4^{\text{th}}}+\ldots \;,}$$ ${\displaystyle 1;}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x^{2}/2,}$ ${\displaystyle |x|<1,}$ ${\displaystyle |x|<<1,\,}$ $${\displaystyle e^{x}\approx 1+x,}$$ ${\displaystyle x=1,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle x=2,}$ ${\displaystyle 2^{3}/3!=4/3,\,}$

Нулевой порядок

Нулевое приближение — это термин, который ученые используют для первого грубого ответа. Делается много упрощающих предположений , и когда требуется число, часто дается ответ порядка величины (или нулевые значащие цифры ). Например, вы можете сказать «в городе проживает несколько тысяч человек », когда на самом деле в нем проживает 3914 человек. Это также иногда называют порядком приближения величины . Ноль «нулевого порядка» представляет тот факт, что даже единственное данное число, «несколько», само по себе определено неточно.

Аппроксимация функции нулевого порядка (то есть математическое определение формулы для подгонки нескольких точек данных ) будет константой или плоской линией без наклона : полиномом степени 0. Например,

${\displaystyle x=[0,1,2],}$

${\displaystyle y=[3,3,5],}$

${\displaystyle y\sim f(x)=3.67}$

может быть — если бы сообщалась точность точек данных — приблизительным соответствием данным, полученным простым усреднением значений x и значений y . Однако точки данных представляют собой результаты измерений , и они отличаются от точек в евклидовой геометрии . Таким образом, указание среднего значения, содержащего три значащие цифры в выходных данных, при наличии только одной значащей цифры во входных данных может быть признано примером ложной точности . При подразумеваемой точности точек данных ±0,5 приближение нулевого порядка может в лучшем случае дать результат для y ~3,7 ± 2,0 в интервале x от −0,5 до 2,5, учитывая стандартное отклонение .

Если точки данных представлены как

${\displaystyle x=[0.00,1.00,2.00],}$

${\displaystyle y=[3.00,3.00,5.00],}$

приближение нулевого порядка приводит к

${\displaystyle y\sim f(x)=3.67.}$

Точность результата оправдывает попытку вывести мультипликативную функцию для этого среднего, например,

${\displaystyle y\sim x+2.67.}$

Однако следует быть осторожным, поскольку мультипликативная функция будет определена для всего интервала. Если доступны только три точки данных, то нет никаких знаний об остальной части интервала , которая может быть большой его частью. Это означает, что y может иметь другой компонент, который равен 0 на концах и в середине интервала. Известно несколько функций, обладающих этим свойством, например, y = sin π x . Ряд Тейлора полезен и помогает предсказать аналитическое решение , но одно лишь приближение не дает убедительных доказательств.

Первого порядка

Приближение первого порядка — это термин, который ученые используют для немного лучшего ответа. ^[3] Делаются некоторые упрощающие предположения, и когда требуется число, часто дается ответ только с одной значащей цифрой («город имеет4 × 10 ³ , или четыре тысячи , жителей»). В случае приближения первого порядка, по крайней мере, одно из приведенных чисел является точным. В приведенном выше примере нулевого порядка было указано количество «несколько», но в примере первого порядка указано число «4».

Аппроксимация функции первого порядка (то есть математическое определение формулы для подгонки нескольких точек данных) будет линейной аппроксимацией, прямой линией с наклоном: полиномом степени 1. Например:

${\displaystyle x=[0.00,1.00,2.00],}$

${\displaystyle y=[3.00,3.00,5.00],}$

${\displaystyle y\sim f(x)=x+2.67}$

является приближенным соответствием данным. В этом примере есть приближение нулевого порядка, которое совпадает с приближением первого порядка, но метод его получения отличается; т. е. спонтанная попытка нащупать взаимосвязь оказалась столь же хорошей, как и «обоснованная догадка».

Второго порядка

Приближение второго порядка — это термин, который ученые используют для ответа приличного качества. Делается несколько упрощающих предположений, и когда требуется число, ответ с двумя или более значимыми цифрами («город имеет3,9 × 10 ³ , или тридцать девятьсот , жителей) обычно дается. Как и в примерах выше, термин «2-й порядок» относится к числу точных цифр, указанных для неточного количества. В этом случае «3» и «9» даются как два последовательных уровня точности, а не просто «4» из первого порядка или «несколько» из нулевого порядка, как в примерах выше.

Аппроксимация функции второго порядка (то есть математическое определение формулы для подгонки нескольких точек данных) будет квадратным многочленом , геометрически — параболой : многочленом степени 2. Например:

${\displaystyle x=[0.00,1.00,2.00],}$

${\displaystyle y=[3.00,3.00,5.00],}$

${\displaystyle y\sim f(x)=x^{2}-x+3}$

является приблизительным соответствием данным. В этом случае, при наличии только трех точек данных, парабола является точным соответствием на основе предоставленных данных. Однако точки данных для большей части интервала недоступны, что требует осторожности (см. «нулевой порядок»).

Высшего порядка

Хотя приближения более высокого порядка существуют и имеют решающее значение для лучшего понимания и описания реальности, они обычно не обозначаются числами.

Продолжая вышесказанное, для идеального соответствия четырем точкам данных потребуется аппроксимация третьего порядка и т. д. См. полиномиальную интерполяцию .

Разговорное использование

Эти термины также используются в разговорной речи учеными и инженерами для описания явлений, которые можно игнорировать как незначительные (например, «Конечно, вращение Земли влияет на наш эксперимент, но это эффект такого высокого порядка, что мы не сможем его измерить». или «При таких скоростях относительность является эффектом четвертого порядка, о котором мы беспокоимся только при ежегодной калибровке».) В этом использовании порядковый номер приближения не является точным, но используется для подчеркивания его незначительности; чем больше используемое число, тем менее важен эффект. Терминология в этом контексте представляет высокий уровень точности, необходимый для учета эффекта, который, как предполагается, очень мал по сравнению с общим предметом. Чем выше порядок, тем большая точность требуется для измерения эффекта, и, следовательно, малость эффекта по сравнению с общим измерением.

Смотрите также

• Линеаризация
• Теория возмущений
• ряд Тейлора
• Метод Чепмена–Энскога
• Обозначение «Большое О»

Ссылки

1. первое приближение в Третьем новом международном словаре Вебстера, Кёнеманн, ISBN  3-8290-5292-8 .
2. в первом приближении в Онлайн-словаре и переводах Webster-dictionary.org.
3. с нулевым приближением в Онлайн-словаре и переводах Webster-dictionary.org.