Зональные сферические гармоники

В математическом исследовании вращательной симметрии зональные сферические гармоники представляют собой особые сферические гармоники , инвариантные относительно вращения вокруг определенной фиксированной оси. Зональные сферические функции представляют собой широкое расширение понятия зональных сферических гармоник, позволяющее создать более общую группу симметрии .

На двумерной сфере уникальная зональная сферическая гармоника степени ℓ, инвариантная относительно вращений, фиксирующих северный полюс, представлена ​​в сферических координатах где P _ℓ - многочлен Лежандра степени ℓ . Общая зональная сферическая гармоника степени ℓ обозначается , где x — точка на сфере, представляющая фиксированную ось, а y — переменная функции. Этого можно добиться вращением основной зональной гармоники. $${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )=P_{\ell }(\cos \theta )}$$ ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$ ${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).}$

В n -мерном евклидовом пространстве зональные сферические гармоники определяются следующим образом. Пусть x — точка на ( n −1)-сфере. Определить как двойственное представление линейного функционала в конечномерном гильбертовом пространстве H _ℓ сферических гармоник степени ℓ. Другими словами, имеет место следующее воспроизводящее свойство : для всех Y ∈ H _ℓ . Интеграл берется по инвариантной вероятностной мере. ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$ $${\displaystyle P\mapsto P(\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle Y(\mathbf {x} )=\int _{S^{n-1}}Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )Y(\mathbf {y} )\,d\Omega (y)}$$

Связь с гармоническими потенциалами

Зональные гармоники естественным образом появляются как коэффициенты ядра Пуассона для единичного шара в R ⁿ : для единичных векторов x и y , где - площадь поверхности (n-1)-мерной сферы. _Они также связаны с ядром Ньютона через где x , y ∈ Rn ^, а константы cn _{, k} определяются выражениями $${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {1-r^{2}}{|\mathbf {x} -r\mathbf {y} |^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}Z_{\mathbf {x} }^{(k)}(\mathbf {y} ),}$$ ${\displaystyle \omega _{n-1}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n,k}{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf {x} /|\mathbf {x} |}^{(k)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)}$$ $${\displaystyle c_{n,k}={\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {2k+n-2}{(n-2)}}.}$$

Коэффициенты ряда Тейлора ядра Ньютона (при подходящей нормировке) представляют собой в точности ультрасферические полиномы . Таким образом, зональные сферические гармоники можно выразить следующим образом. Если α = ( n −2)/2 , то где c _{n , ℓ} — константы, указанные выше, а — ультрасферический многочлен степени ℓ. $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$$ ${\displaystyle C_{\ell }^{(\alpha )}}$

Характеристики

• Зональные сферические гармоники инвариантны относительно вращения, а это означает, что для каждого ортогонального преобразования R . И наоборот, любая функция f ( x , y ) на Sn ⁻¹ × Sn ^{−1 ,} которая является сферической гармоникой по y для каждого фиксированного ^x и удовлетворяет этому свойству инвариантности, является постоянным кратным зональной гармоники степени ℓ . $${\displaystyle Z_{R\mathbf {x} }^{(\ell )}(R\mathbf {y} )=Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$$
• Если Y ₁ , ..., Y _d — ортонормированный базис H ℓ _, то $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )=\sum _{k=1}^{d}Y_{k}(\mathbf {x} ){\overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.}$$
• Оценка при x = y дает $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {x} )=\omega _{n-1}^{-1}\dim \mathbf {H} _{\ell }.}$$

Рекомендации

• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.