В математике отношение ( / ˈ r eɪ ʃ ( i ) oʊ / ) показывает , сколько раз одно число содержит другое. Например, если в вазе с фруктами восемь апельсинов и шесть лимонов, то отношение апельсинов к лимонам составляет восемь к шести (то есть 8:6, что эквивалентно отношению 4:3). Аналогично отношение лимонов к апельсинам составляет 6:8 (или 3:4), а отношение апельсинов к общему количеству фруктов составляет 8:14 (или 4:7).
Числа в соотношении могут быть величинами любого рода, например, количеством людей или предметов, или такими, как измерения длины, веса, времени и т. д. В большинстве контекстов оба числа должны быть положительными .
Отношение может быть определено либо указанием обоих составляющих чисел, записанных как « a к b » или « a:b », либо указанием только значения их частного а/б . [1] [2] [3] Равные частные соответствуют равным отношениям. Утверждение, выражающее равенство двух отношений, называется пропорцией .
Следовательно, отношение можно рассматривать как упорядоченную пару чисел, дробь с первым числом в числителе и вторым в знаменателе, или как значение, обозначенное этой дробью. Отношения количеств, заданные (ненулевыми) натуральными числами , являются рациональными числами и иногда могут быть натуральными числами.
Более конкретное определение, принятое в физических науках (особенно в метрологии ) для отношения , — это безразмерное частное между двумя физическими величинами, измеренными в одной и той же единице . [4] Частное между двумя величинами, измеренными в разных единицах, можно назвать скоростью . [5]
Соотношение чисел A и B можно выразить как: [6]
Когда отношение записано в форме A : B , символ из двух точек иногда является знаком препинания двоеточие . [8] В Unicode это U+003A : COLON , хотя Unicode также предоставляет специальный символ отношения, U+2236 ∶ RATIO . [9]
Числа A и B иногда называются членами отношения , где A — антецедент , а B — консеквент . [ 10]
Утверждение, выражающее равенство двух отношений A : B и C : D, называется пропорцией , [11] и записывается как A : B = C : D или A : B ∷ C : D. Эта последняя форма, когда ее говорят или пишут на английском языке, часто выражается как
A , B , C и D называются членами пропорции. A и D называются ее крайними значениями , а B и C называются ее средними значениями . Равенство трех или более отношений, например A : B = C : D = E : F , называется непрерывной пропорцией . [12]
Иногда используются соотношения с тремя или даже более членами, например, соотношение длин сторон бруска « два на четыре », имеющего длину десять дюймов, равно
хорошую бетонную смесь (в единицах объема) иногда называют
Для (довольно сухой) смеси цемента и воды в соотношении 4:1 по объему можно сказать, что соотношение цемента и воды составляет 4:1, то есть цемента в 4 раза больше, чем воды, или что воды на четверть (1/4) больше, чем цемента.
Смысл такой пропорции отношений с более чем двумя членами заключается в том, что отношение любых двух членов в левой части равно отношению соответствующих двух членов в правой части.
Можно проследить происхождение слова «ratio» до древнегреческого λόγος ( logos ). Ранние переводчики переводили его на латынь как ratio («разум»; как в слове «рациональный»). Более современная интерпретация значения Евклида больше похожа на вычисление или подсчет. [14] Средневековые писатели использовали слово proportio («пропорция») для обозначения ratio и ratioalitas («пропорциональность») для обозначения равенства отношений. [15]
Евклид собрал результаты, представленные в «Началах» из более ранних источников. Пифагорейцы разработали теорию отношения и пропорции применительно к числам. [16] Концепция числа пифагорейцев включала только то, что сегодня называется рациональными числами, что ставит под сомнение справедливость теории в геометрии, где, как также обнаружили пифагорейцы, существуют несоизмеримые отношения (соответствующие иррациональным числам ). Открытие теории отношений, которая не предполагает соизмеримости, вероятно, принадлежит Евдоксу Книдскому . Изложение теории пропорций, которое появляется в книге VII «Начал», отражает более раннюю теорию отношений соизмеримых величин. [17]
Существование множественных теорий кажется излишне сложным, поскольку отношения в значительной степени отождествляются с частными и их предполагаемыми значениями. Однако это сравнительно недавнее развитие, как можно видеть из того факта, что современные учебники геометрии все еще используют различную терминологию и обозначения для отношений и частных. Причины этого двояки: во-первых, было ранее упомянутое нежелание принимать иррациональные числа как истинные числа, а во-вторых, отсутствие широко используемой символики для замены уже устоявшейся терминологии отношений задержало полное принятие дробей в качестве альтернативы до 16-го века. [18]
В пятой книге « Начал» Евклида содержится 18 определений, все из которых относятся к соотношениям. [19] Кроме того, Евклид использует идеи, которые были настолько общеупотребительны, что он не включил для них определения. Первые два определения говорят, что часть величины — это другая величина, которая «измеряет» ее, и наоборот, кратное величины — это другая величина, которую она измеряет. В современной терминологии это означает, что кратное величины — это величина, умноженная на целое число, большее единицы, а часть величины (имеется в виду аликвотная часть ) — это часть, которая при умножении на целое число, большее единицы, дает величину.
Евклид не определяет термин «мера», как он здесь используется, однако, можно сделать вывод, что если величина взята за единицу измерения, а вторая величина дана как целое число этих единиц, то первая величина измеряет вторую. Эти определения повторяются, почти слово в слово, как определения 3 и 5 в книге VII.
Определение 3 описывает, что такое отношение в общем виде. Оно не является строгим в математическом смысле, и некоторые приписывают его редакторам Евклида, а не самому Евклиду. [20] Евклид определяет отношение как отношение между двумя величинами одного и того же типа , поэтому этим определением определяются отношения двух длин или двух площадей, но не отношение длины и площади. Определение 4 делает это более строгим. Оно утверждает, что отношение двух величин существует, когда существует кратное каждой из них, которое превышает другую. В современных обозначениях отношение существует между величинами p и q , если существуют целые числа m и n, такие что mp > q и nq > p . Это условие известно как свойство Архимеда .
Определение 5 является самым сложным и трудным. Оно определяет, что означает равенство двух отношений. Сегодня это можно сделать, просто заявив, что отношения равны, когда равны частные членов, но такое определение было бы бессмысленным для Евклида. В современных обозначениях определение равенства Евклида заключается в том, что заданные величины p , q , r и s , p : q ∷ r : s тогда и только тогда, когда для любых положительных целых чисел m и n , np < mq , np = mq или np > mq в соответствии с тем, что nr < ms , nr = ms или nr > ms соответственно. [21] Это определение имеет сходство с сечениями Дедекинда , так как при положительных n и q np становится равным mq как п/д соответствует рациональному числу м/н (разделив оба члена на nq ). [22]
Определение 6 гласит, что величины, имеющие одинаковое отношение, пропорциональны или находятся в пропорции . Евклид использует греческое слово ἀναλόγον (аналог), оно имеет тот же корень, что и λόγος, и связано с английским словом «analog».
Определение 7 определяет, что означает, что одно отношение меньше или больше другого, и основано на идеях, представленных в определении 5. В современных обозначениях оно гласит, что для данных величин p , q , r и s выполняется соотношение p : q > r : s , если существуют положительные целые числа m и n, такие, что np > mq и nr ≤ ms .
Как и определение 3, определение 8 некоторые считают более поздней вставкой редакторов Евклида. Оно определяет три термина p , q и r как пропорциональные, когда p : q ∷ q : r . Это распространяется на четыре термина p , q , r и s как p : q ∷ q : r ∷ r : s и так далее. Последовательности, обладающие свойством, что отношения последовательных членов равны, называются геометрическими прогрессиями . Определения 9 и 10 применяют это, говоря, что если p , q и r пропорциональны, то p : r является двойным отношением p : q , а если p , q , r и s пропорциональны , то p : s является тройным отношением p : q .
В общем, сравнение количеств двухсущностного отношения может быть выражено как дробь, полученная из отношения. Например, в отношении 2:3 количество, размер, объем или количество первой сущности равно количеству, размеру, объему или количеству второй сущности.
Если есть 2 апельсина и 3 яблока, то соотношение апельсинов к яблокам составляет 2:3, а соотношение апельсинов к общему количеству фруктов составляет 2:5. Эти соотношения также можно выразить в виде дроби: апельсинов на 2/3 меньше, чем яблок, и 2/5 фруктов составляют апельсины. Если концентрат апельсинового сока нужно разбавить водой в соотношении 1:4, то одну часть концентрата смешивают с четырьмя частями воды, что дает в общей сложности пять частей; количество концентрата апельсинового сока составляет 1/4 количества воды, в то время как количество концентрата апельсинового сока составляет 1/5 от общего количества жидкости. Как в соотношениях, так и в дробях важно четко понимать, что с чем сравнивается, и новички часто делают ошибки по этой причине.
Дроби также могут быть выведены из соотношений с более чем двумя сущностями; однако, соотношение с более чем двумя сущностями не может быть полностью преобразовано в одну дробь, поскольку дробь может сравнивать только две величины. Отдельная дробь может использоваться для сравнения величин любых двух сущностей, охватываемых соотношением: например, из соотношения 2:3:7 мы можем сделать вывод, что величина второй сущности равна величине третьей сущности.
Если мы умножим все величины, участвующие в соотношении, на одно и то же число, соотношение останется действительным. Например, соотношение 3:2 равно 12:8. Обычно члены либо приводятся к наименьшему общему знаменателю , либо выражаются в долях на сотню ( процентах ).
Если смесь содержит вещества A, B, C и D в соотношении 5:9:4:2, то на каждые 9 частей B приходится 5 частей A, 4 части C и 2 части D. Так как 5+9+4+2=20, то общая смесь содержит 5/20 A (5 частей из 20), 9/20 B, 4/20 C и 2/20 D. Если мы разделим все числа на общую сумму и умножим на 100, мы получим проценты : 25% A, 45% B, 20% C и 10% D (что эквивалентно записи соотношения в виде 25:45:20:10).
Если два или более соотношения величин охватывают все величины в конкретной ситуации, говорят, что «целое» содержит сумму частей: например, фруктовая корзина, содержащая два яблока и три апельсина и никаких других фруктов, состоит из двух частей яблок и трех частей апельсинов. В этом случае, , или 40% целого составляют яблоки и , или 60% целого составляют апельсины. Такое сравнение определенной величины с «целым» называется пропорцией.
Если отношение состоит только из двух значений, его можно представить в виде дроби, в частности, в виде десятичной дроби. Например, старые телевизоры имеют соотношение сторон 4:3 , что означает, что ширина составляет 4/3 высоты (это также может быть выражено как 1,33:1 или просто 1,33, округленное до двух знаков после запятой). Более современные широкоэкранные телевизоры имеют соотношение сторон 16:9, или 1,78, округленное до двух знаков после запятой. Один из популярных широкоэкранных форматов фильмов — 2,35:1 или просто 2,35. Представление соотношений в виде десятичных дробей упрощает их сравнение. При сравнении 1,33, 1,78 и 2,35 очевидно, какой формат предлагает более широкое изображение. Такое сравнение работает только тогда, когда сравниваемые значения согласованы, как всегда выражение ширины по отношению к высоте.
Отношения можно сократить (как и дроби), разделив каждую величину на общие множители всех величин. Что касается дробей, то простейшей формой считается та, в которой числа в отношении являются наименьшими возможными целыми числами.
Таким образом, отношение 40:60 по смыслу эквивалентно отношению 2:3, причем последнее получается из первого путем деления обеих величин на 20. Математически мы записываем 40:60 = 2:3 или, что эквивалентно, 40:60∷2:3. Словесный эквивалент: «40 относится к 60 так же, как 2 к 3».
Отношение, в котором обе величины представлены целыми числами и которое нельзя сократить дальше (используя целые числа), называется простейшим или наименьшим отношением.
Иногда полезно записывать соотношение в виде 1: x или x :1, где x не обязательно является целым числом, чтобы можно было сравнивать различные соотношения. Например, соотношение 4:5 можно записать как 1:1,25 (деление обеих сторон на 4). В качестве альтернативы его можно записать как 0,8:1 (деление обеих сторон на 5).
Если контекст делает значение ясным, соотношение в этой форме иногда записывается без 1 и символа соотношения (:), хотя математически это делает его фактором или множителем .
Отношения могут быть установлены также между несоизмеримыми величинами (величинами, отношение которых, как значение дроби, равно иррациональному числу ) . Самый ранний обнаруженный пример, найденный пифагорейцами , — это отношение длины диагонали d к длине стороны s квадрата , которое формально равно квадратному корню из 2. Другой пример — отношение длины окружности к ее диаметру, которое называется π и является не просто иррациональным числом , а трансцендентным числом .
Также хорошо известно золотое сечение двух (в основном) длин a и b , которое определяется пропорцией
Принимая отношения как дроби и имея значение x , получаем уравнение
которое имеет положительное, иррациональное решение Таким образом, по крайней мере одно из a и b должно быть иррациональным, чтобы они были в золотом сечении. Примером появления золотого сечения в математике является предельное значение отношения двух последовательных чисел Фибоначчи : даже если все эти отношения являются отношениями двух целых чисел и, следовательно, являются рациональными, пределом последовательности этих рациональных отношений является иррациональное золотое сечение.
Аналогично, серебряное соотношение a и b определяется пропорцией
Это уравнение имеет положительное, иррациональное решение , поэтому снова по крайней мере одна из двух величин a и b в соотношении серебра должна быть иррациональной.
Шансы (как в азартных играх) выражаются в виде отношения. Например, шансы "7 к 3 против" (7:3) означают, что на каждые три шанса, что событие произойдет, приходится семь шансов, что событие не произойдет. Вероятность успеха составляет 30%. В каждых десяти попытках ожидается три победы и семь поражений.
Отношения могут быть безразмерными , как в случае, когда они связывают величины в единицах одной размерности , даже если их единицы измерения изначально различны. Например, отношение одна минута : 40 секунд можно сократить, изменив первое значение на 60 секунд, так что отношение станет 60 секунд : 40 секунд . Как только единицы станут одинаковыми, их можно будет опустить, и отношение можно будет сократить до 3:2.
С другой стороны, существуют небезразмерные коэффициенты, также известные как скорости (иногда также как отношения). [23] [24] В химии отношения массовой концентрации обычно выражаются как доли веса/объема. Например, концентрация 3% м/о обычно означает 3 г вещества в каждых 100 мл раствора. Это не может быть преобразовано в безразмерное отношение, как в доли веса/веса или объема/объема.
Расположение точек относительно треугольника с вершинами A , B и C и сторонами AB , BC и CA часто выражается в расширенной пропорциональой форме в виде треугольных координат .
В барицентрических координатах точка с координатами α, β, γ — это точка, в которой невесомый лист металла в форме и размере треугольника точно уравновешивался бы, если бы на вершинах были размещены грузы, при этом соотношение грузов в точках A и B было бы α : β , соотношение грузов в точках B и C было бы β : γ , и, следовательно, соотношение грузов в точках A и C было бы α : γ .
В трилинейных координатах точка с координатами x : y : z имеет перпендикулярные расстояния до стороны BC (напротив вершины A ) и стороны CA (напротив вершины B ) в отношении x : y , расстояния до стороны CA и стороны AB (напротив C ) в отношении y : z , и, следовательно, расстояния до сторон BC и AB в отношении x : z .
Поскольку вся информация выражается в терминах отношений (отдельные числа, обозначенные как α, β, γ, x, y и z , сами по себе не имеют смысла), анализ треугольника с использованием барицентрических или трилинейных координат применим независимо от размера треугольника.
[003A is] также используется для обозначения деления или масштаба; для этого математического использования 2236 ∶ является предпочтительным
«Скорость» можно определить как отношение... «Плотность населения» — это отношение... «Расход бензина» измеряется как отношение...
{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )