Перекрестное умножение

Математическая техника

В математике , особенно в элементарной арифметике и элементарной алгебре , учитывая уравнение между двумя дробями или рациональными выражениями , можно перекрестно умножить, чтобы упростить уравнение или определить значение переменной.

Этот метод также иногда называют методом «перекрестить сердце», потому что можно нарисовать линии, напоминающие контур сердца, чтобы запомнить, какие элементы нужно перемножить.

Учитывая уравнение типа

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

где b и d не равны нулю, можно перекрестно умножить, чтобы получить

${\displaystyle ad=bc\quad {\text{or}}\quad a={\frac {bc}{d}}.}$

В евклидовой геометрии того же расчета можно добиться, рассматривая отношения как у подобных треугольников .

Процедура

На практике метод перекрестного умножения означает, что мы умножаем числитель каждой (или одной) стороны на знаменатель другой стороны, эффективно пересекая члены:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}},\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}$

Математическое обоснование метода основано на следующей более длинной математической процедуре. Если мы начнем с основного уравнения

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

мы можем умножить члены каждой стороны на одно и то же число, и члены останутся равными. Следовательно, если умножить дробь каждой части на произведение знаменателей обеих частей — bd — получим

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}$

Мы можем свести дроби к наименьшим членам, заметив, что два вхождения b в левой части сокращаются, как и два вхождения d в правой части, оставляя

${\displaystyle ad=bc,}$

и мы можем разделить обе части уравнения на любой из элементов — в этом случае мы будем использовать d — получая

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}}.}$

Другое обоснование перекрестного умножения состоит в следующем. Начиная с данного уравнения

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

умножить над/д= 1 слева и черезб/б= 1 справа, получая

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}},}$

и так

${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$

Сократим общий знаменатель bd = db , оставив

${\displaystyle ad=cb.}$

Каждый шаг этих процедур основан на одном фундаментальном свойстве уравнений . Перекрестное умножение — это упрощенная, легко понятная процедура, которой можно научить студентов.

Использовать

Это обычная процедура в математике, используемая для сокращения дробей или вычисления значения заданной переменной в дроби. Если у нас есть уравнение

${\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}},}$

где x — переменная, решение которой нас интересует, мы можем использовать перекрестное умножение, чтобы определить, что

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}$

Например, предположим, что мы хотим знать, какое расстояние проедет автомобиль за 7 часов, если мы знаем, что его скорость постоянна и что за последние 3 часа он уже проехал 90 миль. Преобразовав слово задача в пропорции, получим

${\displaystyle {\frac {x}{7\ {\text{hours}}}}={\frac {90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}}.}$

Перекрестное умножение доходности

${\displaystyle x={\frac {7\ {\text{hours}}\times 90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}},}$

и так

${\displaystyle x=210\ {\text{miles}}.}$

Обратите внимание, что даже простые уравнения, такие как

${\displaystyle a={\frac {x}{d}}}$

решаются с помощью перекрестного умножения, поскольку недостающий член b неявно равен 1:

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}$

Любое уравнение, содержащее дроби или рациональные выражения, можно упростить, умножив обе части на наименьший общий знаменатель . Этот шаг называется очисткой дробей .

Правило трех

Правило трех ^[1] представляло собой историческую сокращенную версию особой формы перекрестного умножения, которой можно было обучать студентов наизусть. Это считалось вершиной колониального математического образования ^[2] и до сих пор фигурирует в национальной программе среднего образования Франции ^[3] и в программе начального образования Испании. ^[4]

Для уравнения вида

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},}$

где оцениваемая переменная находится в правом знаменателе, правило трех гласит, что

${\displaystyle x={\frac {bc}{a}}.}$

В этом контексте a называется крайним значением пропорции , а b и c называются средними .

Это правило было известно китайским математикам еще до II века нашей эры ^[5] , хотя в Европе оно использовалось гораздо позже.

Правило трех приобрело известность из-за того, что его особенно трудно объяснить. ^{[ нужна цитация ]} «Арифметика Кокера» , главный учебник 17-го века, вводит обсуждение правила трех ^[6] с проблемой «Если 4 ярда ткани стоят 12 шиллингов, сколько будут стоить 6 ярдов по этой ставке?» Правило трех дает непосредственный ответ на эту проблему; тогда как в современной арифметике мы бы решили ее, введя переменную x , обозначающую стоимость 6 ярдов ткани, и записав уравнение

${\displaystyle {\frac {4\ {\text{yards}}}{12\ {\text{shillings}}}}={\frac {6\ {\text{yards}}}{x}}}$

а затем используя перекрестное умножение для вычисления x :

${\displaystyle x={\frac {12\ {\text{shillings}}\times 6\ {\text{yards}}}{4\ {\text{yards}}}}=18\ {\text{shillings}}.}$

В анонимной рукописи, датированной 1570 годом ^[7] , говорилось: «Умножение — это досада, / Разделение так же плохо; / Правило трёх меня озадачивает, / И практика сводит меня с ума».

Чарльз Дарвин ссылается на использование им правила трех при оценке числа видов в недавно обнаруженном роде. ^[8] В письме Уильяму Дарвину Фоксу в 1855 году Чарльз Дарвин заявил: «Я не верю ни во что, кроме реальных измерений и правила трех». ^[9] Карл Пирсон принял это заявление в качестве девиза своего недавно основанного журнала «Биометрика» . ^[10]

Двойное правило трех

Расширением правила трех было двойное правило трех , которое включало поиск неизвестного значения там, где известны пять, а не три других значения.

Примером такой задачи может быть: Если 6 строителей могут построить 8 домов за 100 дней, сколько дней потребуется 10 строителям, чтобы построить 20 домов с той же скоростью? , и это можно настроить как

${\displaystyle {\frac {\frac {8\ {\text{houses}}}{100\ {\text{days}}}}{6\ {\text{builders}}}}={\frac {\frac {20\ {\text{houses}}}{x}}{10\ {\text{builders}}}},}$

что при двукратном перекрестном умножении дает

${\displaystyle x={\frac {20\ {\text{houses}}\times 100\ {\text{days}}\times 6\ {\text{builders}}}{8\ {\text{houses}}\times 10\ {\text{builders}}}}=150\ {\text{days}}.}$

В « Песне безумного садовника » Льюиса Кэрролла есть строки: «Он думал, что видел садовую дверь / которая открывается ключом: / Он посмотрел еще раз и обнаружил, что это / двойное правило трех». ^[11]

Смотрите также

• Перекрестное соотношение
• Коэффициент шансов
• Поворот (угол)

Рекомендации

1. Иногда это также называют золотым правилом , хотя такое использование встречается редко по сравнению с другими вариантами использования золотого правила . См. Э. Кобэм Брюэр (1898). "Золотое правило". Словарь фраз и басен Брюера . Филадельфия: Генри Альтемус.
2. Убиратан Д'Амброзио; Джозеф В. Добен; Карен Хангер Паршалл (2014). «Математическое образование в Америке в досовременный период». У Александра Карпа; Герт Шубринг (ред.). Справочник по истории математического образования . Спрингер Наука. п. 177. ИСБН 978-1-4614-9155-2.
3. "Socle de Connaissances, пильер 3" . Министерство образования Франции. 30 декабря 2012 года . Проверено 24 сентября 2015 г.
4. «Настоящий декрет 126/2014 от 28 февраля о том, что установлена ​​базовая учебная программа начального образования» . Министерство образования, культуры и депортации. 28 февраля 2014 г. стр. 19349–19420 . Проверено 10 мая 2022 г.
5. Шен Каншен; Джон Н. Кроссли; Энтони В.-К. Лунь (1999). Девять глав математического искусства: спутник и комментарий . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
6. Эдвард Кокер (1702). Арифметика Кокера. Лондон: Джон Хокинс. п. 103.
7. Краткий Оксфордский словарь цитат, 1964.
8. Ариев, Андре (2022). «Чарльз Дарвин как статистический мыслитель». Исследования по истории и философии науки . 95 : 215–223. дои :10.1016/j.shpsa.2022.08.005. PMID  36113233. S2CID  252246047.
9. Стиглер, Стивен М. (7 марта 2016 г.). Семь столпов статистической мудрости (Иллюстрированное издание). Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0674088917.
10. Стиглер, Стивен М. (7 марта 2016 г.). Семь столпов статистической мудрости (Иллюстрированное издание). Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0674088917.
11. Сильви и Бруно , Глава 12.

дальнейшее чтение

• Брайан Бурелл: Руководство Merriam-Webster по повседневной математике: справочник по дому и бизнесу . Мерриам-Вебстер, 1998, ISBN 9780877796213 , стр. 85–101. 
• «Доктор математика», Правило трех
• «Доктор Математик», Авраам Линкольн и правило трех
• Сокращенная система арифметики Пайка: предназначена для облегчения изучения науки о числах, включает в себя наиболее ясные и точные правила, иллюстрированную полезными примерами, к которым добавлены соответствующие вопросы для проверки ученых и краткая система книг. ведение., 1827 г. - факсимиле соответствующего раздела
• Правило трех, примененное Михаилом Родосским в пятнадцатом веке.
• Правило трёх в «Матушке Гусыне»
• Редьярд Киплинг: Вы можете решить это с помощью дробей или простого правила трех, но путь Твидл-дума — это не путь Твидл-ди.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с перекрестным умножением, на Викискладе?