В математике метод устранения знаменателей , также называемый устранением дробей , представляет собой метод упрощения уравнения , приравнивающего два выражения, каждое из которых является суммой рациональных выражений , включая простые дроби .
Рассмотрим уравнение
Наименьшее общее кратное двух знаменателей 6 и 15 z равно 30 z , поэтому умножаем обе стороны на 30 z :
Результатом является уравнение без дробей.
Упрощенное уравнение не полностью эквивалентно исходному. Когда мы подставляем y = 0 и z = 0 в последнее уравнение, обе стороны упрощаются до 0, поэтому мы получаем 0 = 0 , математическую истину. Но та же замена, примененная к исходному уравнению, дает x /6 + 0/0 = 1 , что математически бессмысленно .
Без потери общности можно предположить, что правая часть уравнения равна 0, поскольку уравнение E 1 = E 2 можно эквивалентно переписать в виде E 1 − E 2 = 0 .
Итак, пусть уравнение имеет вид
Первым шагом является определение общего знаменателя D этих дробей — желательно наименьшего общего знаменателя , который является наименьшим общим кратным Q i .
Это означает, что каждый Q i является множителем D , поэтому D = R i Q i для некоторого выражения R i , которое не является дробью. Тогда
при условии, что R i Q i не принимает значения 0 – в этом случае D также равно 0.
Итак, теперь у нас есть
При условии, что D не принимает значение 0, последнее уравнение эквивалентно
в котором знаменатели исчезли.
Как показывают условия, необходимо проявлять осторожность, чтобы не вводить нули D , рассматриваемые как функция неизвестных уравнения , как ложные решения .
Рассмотрим уравнение
Наименьший общий знаменатель равен x ( x + 1)( x + 2) .
Следуя методу, описанному выше, получаем:
Упрощая это еще больше, получаем решение x = −3 .
Легко проверить, что ни один из нулей x ( x + 1) ( x + 2) – а именно x = 0 , x = −1 и x = −2 – не является решением окончательного уравнения, поэтому никаких ложных решений введено не было.
